（答案寫在答題卡上）
（滿分150分，時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A. 20種B. 16種C. 12種D. 8種
4. 在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個極值點，若，則t的值為（ ）
A. B. C. 4D. 5
5. 記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A. 120B. 85C. D.
6. 已知數(shù)列前項和（為常數(shù)），則“為遞增的等差數(shù)列”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 設(shè)，則（ ）
A B. C. D.
8. 對于，恒成立，則正數(shù)的范圍是（ ）
A B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，錯選不得分，部分選對得部分分.
9. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是遞減數(shù)列B. ，
C. D.
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 存在，函數(shù)僅有一個極值點
B. 曲線關(guān)于點對稱
C. 當時，是曲線的切線方程
D. 當時，函數(shù)有唯一零點
11. 如圖，曲線上點與x軸非負半軸上的點，構(gòu)成一系列正三角形，記為，，…，（為坐標原點）．設(shè)的邊長為，點，的面積為，則下列說法中正確的是（ ）
A. 數(shù)列的通項公式B. 數(shù)列的通項公式
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 某臺小型晚會由5個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，則該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有______種．
13. 已知等比數(shù)列的前項和，則______.
14. 已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為___________．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. （1）已知，計算：；
（2）解方程：．
16. 設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
17. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
18. 漢諾塔（Hani）游戲是源于印度古老傳說的益智游戲，該游戲是一塊銅板裝置上，有三根桿（編號A、B、C），在A桿自下而上、由大到小按順序放置若干個金盤（如下圖）．游戲的目標：把A桿上的金盤全部移到C桿上，并保持原有順序疊好．操作規(guī)則如下：每次只能移動一個盤子，并且在移動過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置于A、B、C任一桿上．記n個金盤從A桿移動到C桿需要的最少移動次數(shù)為．
（1）求，，；
（2）寫出與的關(guān)系，并求出．
（3）求證：
19. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點m，n．
（?。┣髮崝?shù)k的取值范圍；
（ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)a取值范圍．
蕪湖市2024～2025學年度第二學期期中普通高中聯(lián)考試卷
高二數(shù)學
（答案寫在答題卡上）
（滿分150分，時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】每個班都有5種選法，由分步計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】解：由題意可知，每個班都有5種選法，則由分步計數(shù)原理可得共有種方法.
故選：D
2. 已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.
【詳解】因為等差數(shù)列和前項和分別為、，滿足，
所以，
又，故，
故選：B
3. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A. 20種B. 16種C. 12種D. 8種
【答案】B
【解析】
【分析】分類討論：乙丙及中間人占據(jù)首四位、乙丙及中間人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理求得結(jié)果.
【詳解】因為乙和丙之間恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，
①當乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
②當乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法，
故選：B.
4. 在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個極值點，若，則t的值為（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用韋達定理求得，并根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，代入條件等式，即可求解.
【詳解】，
所以是方程的兩個實數(shù)根，則，，，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，且
所以，即，得.
故選：C
5. 記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．
6. 已知數(shù)列的前項和（為常數(shù)），則“為遞增的等差數(shù)列”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式函數(shù)性質(zhì)、與的關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由等差數(shù)列的前項和，
類比表達式，有.
當為遞增等差數(shù)列時，有；
反之，當時，例如，可得；
，則，
此時數(shù)列從第二項開始才為遞增的等差數(shù)列；
所以“為遞增的等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
8. 對于，恒成立，則正數(shù)的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，兩邊同乘以后可同構(gòu)函數(shù)，
由其單調(diào)性可化為恒成立，利用導數(shù)求出的最大值即可得解.
【詳解】由恒成立可得，即恒成立，
由，可得恒成立，
令，則，
由知，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以恒成立，
則恒成立，即恒成立，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，，
所以只需，即.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為后，能夠兩邊同乘以，同構(gòu)出函數(shù)，再由單調(diào)性化簡為恒成立.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，錯選不得分，部分選對得部分分.
9. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是遞減數(shù)列B. ，
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質(zhì)得到，，即可判斷B、C，又判斷A，根據(jù)，判斷D.
【詳解】，，
∴，
，
∴，，
∴，，且，故B、C正確；
∴公差，等差數(shù)列是遞增數(shù)列，故A錯誤；
因為，，所以時，取得最小值，
所以，故D正確.
故選：BCD.
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 存在，函數(shù)僅有一個極值點
B. 曲線關(guān)于點對稱
C. 當時，是曲線的切線方程
D. 當時，函數(shù)有唯一零點
【答案】BC
【解析】
【分析】求導即可判斷函數(shù)極值點個數(shù)，從而判斷A，利用函數(shù)對稱性的定義代入計算，即可判斷B，利用導數(shù)的幾何意義即可判斷C，借助函數(shù)單調(diào)性以及極值，即可確定零點個數(shù)，從而判斷D.
詳解】對于A，由題意可得，當時，恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點，當時，令，
即，解得，此時函數(shù)有兩個極值點，
所以不存在，使函數(shù)僅有一個極值點，故A錯誤；
對于B，設(shè)是圖像上任意一點，則，
點關(guān)于點對稱的點為，
將代入函數(shù)可得，
而，
所以曲線關(guān)于點對稱，故B正確；
對于C，當時，，，
若是切線方程，則其斜率為9，
令，解得，
當時，，切線方程為，
化簡可得；
當時，，切線方程為，
化簡可得；
所以是曲線的切線方程，故C正確；
對于D，由，當時，令，可得，
當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，
，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上各有一個零點，
即函數(shù)有三個零點，故D錯誤；
故選：BC
11. 如圖，曲線上的點與x軸非負半軸上的點，構(gòu)成一系列正三角形，記為，，…，（為坐標原點）．設(shè)的邊長為，點，的面積為，則下列說法中正確的是（ ）
A. 數(shù)列的通項公式B. 數(shù)列的通項公式
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正三角形的性質(zhì)以及曲線方程找出數(shù)列與的遞推關(guān)系，即可判斷AB，然后求得，由平方和公式代入計算，即可判斷C，再由時，，由裂項相消法代入計算，即可判斷D.
【詳解】已知，設(shè)，因為為正三角形，
則直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立，化簡可得，因為，解得，則，
即，則，
由，則的橫坐標為，縱坐標為，
且在曲線上，故①，
又因為，即代入①可得，
即②，
當時，，
再將代入上式可得③，
由②③可得，即，
由 ，可得，故得，
所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
則，故A正確；
對于B，因，
則
，故B錯誤；
對于C，因為是正三角形，其面積，
則
由平方和公式，
可得， 故C正確；
對于D，因為，，
當時，，
則
，故D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系以及求和公式與不等式的相關(guān)知識，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由曲線方程得到數(shù)列的遞推公式，從而求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 某臺小型晚會由5個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，則該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有______種．
【答案】42
【解析】
【分析】先安排甲的位置，接著安排乙，最后安排剩下的三個節(jié)目，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解總數(shù)即可.
【詳解】由題意得，節(jié)目甲必須排在前兩位，則節(jié)目甲只能排在第一位或第二位．
若節(jié)目甲排在第一位，則節(jié)目乙有種情況；
若節(jié)目甲排在第二位，則節(jié)目乙有種情況．
故節(jié)目乙一共有種情況，
再安排剩下的三個節(jié)目，有種情況，
所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到編排方案共有（種）．
故答案為：42.
13. 已知等比數(shù)列的前項和，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由求得數(shù)列的前三項，由前三項成等比數(shù)列求得．
【詳解】由已知，，，
成等比數(shù)列，則，解得，
此時，也適合，
所以，滿足題意.
故答案為：，
14. 已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】先證明為奇函數(shù)，再利用導數(shù)證明為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)化簡不等式可得，再利用導數(shù)求的最小值可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)，
由，可得，
函數(shù)定義域為，
函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
因為，當且僅當時取等號，
所以函數(shù)為增函數(shù)，
不等式可化為，
故，
所以，
所以，
由已知，其中，
設(shè)，，
則
令，可得，
設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得，
所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當時，取最小值，最小值為，其中
所以，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過變形，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)將原不等式化簡為，再根據(jù)恒成立問題的處理方法求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. （1）已知，計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出并計算得解.
（2）利用組合計算公式、排列數(shù)公式求解即得.
【詳解】（1）因為，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解為.
16. 設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．
【小問1詳解】
因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
【小問2詳解】
因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
17. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）解法一：求導，分析和兩種情況，利用導數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導，可知有零點，可得，進而利用導數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.
【小問1詳解】
當時，則，，
可得，，
即切點坐標為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
【小問2詳解】
解法一：因為的定義域為，且，
若，則對任意恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：因為的定義域為，且，
若有極小值，則有零點，
令，可得，
可知與有交點，則，
若，令，解得；令，解得；
可知內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，符合題意，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，
因為則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價于，解得，
所以a的取值范圍為.
18. 漢諾塔（Hani）游戲是源于印度古老傳說的益智游戲，該游戲是一塊銅板裝置上，有三根桿（編號A、B、C），在A桿自下而上、由大到小按順序放置若干個金盤（如下圖）．游戲的目標：把A桿上的金盤全部移到C桿上，并保持原有順序疊好．操作規(guī)則如下：每次只能移動一個盤子，并且在移動過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置于A、B、C任一桿上．記n個金盤從A桿移動到C桿需要的最少移動次數(shù)為．
（1）求，，；
（2）寫出與的關(guān)系，并求出．
（3）求證：
【答案】（1）；；；
（2）（，），
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，可算出，，；
（2）先得到遞推關(guān)系式，再由構(gòu)造法求出通項公式；
（3）利用裂項相消法求和，從而證明.
【小問1詳解】
；；；
【小問2詳解】
（，）
（，）即（，），
由于，所以（，），
所以（，）．
即數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即；
【小問3詳解】
記，
因為，
所以
所以
所以．
19. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點m，n．
（?。┣髮崝?shù)k的取值范圍；
（ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）-1 （2）（?。唬áⅲ?br>【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最大值即可.
（2）（?。┣髮?，分和討論單調(diào)性，結(jié)合有兩個不同的零點，可得，繼而可求解；
（ii）由題意可得，令，即，成立，令，利用導數(shù)分、及討論單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
，,
由得，由得,
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．
【小問2詳解】
（?。┝睿瑒t．
當時，，單調(diào)遞增，
所以在上至多有一個零點，不符合題意；
當時，在上單調(diào)遞減，
令，得．
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，則，
易知當且趨向于0時，；當時，，
因為有兩個不同的零點，
所以，解得．
所以的取值范圍是.
（ii），，
由得，
即，
令，則只需，
即，．
令，
則，令，則．
因為，
當時，，則單調(diào)遞減，，
從而單調(diào)遞增，故，不符合要求；
當時，單調(diào)遞減，，
從而單調(diào)遞增，故，不符合要求．
當時，，則單調(diào)遞增，，
從而單調(diào)遞減，故，符合要求．
綜上所述．
【點睛】方法點睛：破解雙變量不等式的方法：
①轉(zhuǎn)化，即由條件入手，尋找雙變量滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；
②巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

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