安徽省黃山市黟縣部分學校2024-2024學年九年級下學期四月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．本試卷滿分為150分，考試時間120分鐘；
2．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”答題是無效的；
3．考試結束后，請將“答題卷”交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．）
1. 實數(shù)的相反數(shù)是（）
A B. C. D.
2. 英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，獲得了諾貝爾物理學獎，石墨烯是目前世界上最薄卻最堅硬的納米材料，同時也是導電性最好的材料，其理論厚度僅米，將用科學記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
3. 一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（）
A. B. C. D.
4. 西遞、宏村以其世外桃源般田園風光和豐富多彩的歷史文化內(nèi)涵聞名天下．相關部門對“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客的出行方式進行了隨機抽樣調(diào)查，整理繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，下列結論不正確的是（）
A. 本次抽樣調(diào)查人
B. 本次抽樣中選擇公共交通出行的有人
C. 扇形統(tǒng)計圖中，“其他”所對應的圓心角是
D. 若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人
5. 時鐘分針長6厘米，從早上9點整到9點分，分針針尖所走過的路程是（）
A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
6. 已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個交點的橫坐標為，則的值為（）
A B. C. 5D. 3
7. 如圖，在中，，點D，E在邊上，且，，則的長是（）
A. B. C. D.
8. 如果是的一個因式，則的值是（）
A B. C. 0D. 1
9. 如圖1，在中，，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，過點作，垂足為．設點運動的路程為，與的差為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，點，是線段，與軸的交點，則圖2中點對應的點位置到點對應的點位置所經(jīng)歷的時長為（）
A. 2秒B. 4秒C. 秒D. 秒
10. 如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上任一點，把沿翻折，點B的對應點為，連接、，則以下結論正確的是（）
①當與相似時，；②的最小值是；③點到距離的最小值是；④取的中點P，連接，則的最大值是．
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是______．
12. 方程的解是______．
13. 如圖，小穎為學校聯(lián)歡會設計了一個“配紫色”游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形．游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤．若其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)出了藍色，則可配成紫色．此時，配成紫色的概率是______．

14. 如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發(fā)，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點F，連接，點Q是線段的中點，連接，則
（1）當時，_______；
（2）連接，則在點P運動的整個過程中，線段長的最小值為_______．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分
15. 計算：
16. 人工智能是研究用計算機來模擬人的某些思維過程和智能行為（如學習、推理、思考、規(guī)劃等）的學科，主要包括計算機實現(xiàn)智能的原理、制造類似于人腦智能的計算機，使計算機能實現(xiàn)更高層次的應用．某校為迎接五十周年校慶舉行創(chuàng)新大賽，決賽是用電腦程序控制智能賽車在指定賽道上進行30米比賽，“領航號”和“致遠號”兩輛賽車在第一輪比賽時，兩輛賽車從起點同時出發(fā)，當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的，“領航號”比“致遠號”每秒多行駛0.8米，求“致遠號”的行駛速度．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，在由邊長是個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在格點(網(wǎng)格線的交點)上．
（1）點的坐標為，以點為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)至；
（2）點通過（1）中旋轉(zhuǎn)后，對應點的坐標為；
（3）用無刻度直尺在邊上作出一點，使得 (保留作圖痕跡)．
18. 對于任意一個三位正整數(shù)，我們可以記為，即（，，，且均為整數(shù)）．若規(guī)定：對三位正整數(shù)進行運算，得到整數(shù)．例如，．
（1）計算：；
（2）當時，證明：的結果一定是的倍數(shù)．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求隧道的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，，結果精確到個位）
20. 如圖，點，在以為直徑的上，且，經(jīng)過點的切線與的延長線交于點，與的延長線交于點，連接．
（1）求證：．
（2）若，，求的長．
六、（本題滿分12分）
21. 2024年3月5日，《政府工作報告》提出了開展“人工智能”行動，涵蓋眾多行業(yè)和領域，其中大型語言模型是最近的熱門話題．某實踐小組開展了對A，B兩款聊天機器人的使用滿意度調(diào)查，并從中各隨機抽取20份，對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（評分分數(shù)用x表示，結果分為四個等級：不滿意：，比較滿意：，滿意：，非常滿意：）．下面給出了部分信息：
抽取的對A款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89；
抽取的對B款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中，，，；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪款聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）．
七、（本題滿分12分）
22. 如圖①，在菱形中，點分別在上，．
（1）求證：；
（2）如圖②，若為中點，連接．
①求證：平分；
②若，，求的值．
八、（本題滿分14分）
23. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．
（1）若，請求出此時函數(shù)圖象的頂點坐標；
（2）二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，當點的縱坐標取到最大值時，求出此時的面積；
（3）當時，在處取得最小值，請直接寫出的范圍．
九年級（下）四月月考
數(shù)學試題
注意事項：
1．本試卷滿分為150分，考試時間120分鐘；
2．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”答題是無效的；
3．考試結束后，請將“答題卷”交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．）
1. 實數(shù)的相反數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)的定義：相反數(shù)是只有符號不同的兩個數(shù)；熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：實數(shù)的相反數(shù)是，
故選：D．
2. 英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，獲得了諾貝爾物理學獎，石墨烯是目前世界上最薄卻最堅硬的納米材料，同時也是導電性最好的材料，其理論厚度僅米，將用科學記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故選：C．
3. 一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖．根據(jù)簡單幾何體的三視圖的畫法，看得見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示可得答案．
【詳解】解：該幾何體的俯視圖是從上面看該幾何體，選項D中的圖形符合題意，
故選：D．
4. 西遞、宏村以其世外桃源般的田園風光和豐富多彩的歷史文化內(nèi)涵聞名天下．相關部門對“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客的出行方式進行了隨機抽樣調(diào)查，整理繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，下列結論不正確的是（）
A. 本次抽樣調(diào)查人
B. 本次抽樣中選擇公共交通出行的有人
C. 扇形統(tǒng)計圖中，“其他”所對應的圓心角是
D. 若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，對圖表的分析是解題關鍵．
根據(jù)自駕人數(shù)及其對應的百分比可得樣本容量；用樣本總?cè)藬?shù)乘以對應的百分比可得選擇公共交通出行的人數(shù)；根據(jù)各部分百分比之和等于可得“其他”的百分比，在乘以即可；利用樣本估計總體可得選擇自駕出行的人數(shù)．
【詳解】解：A、本次抽樣調(diào)查的樣本容量是人，此選項正確；
B、樣本中選擇公共交通出行的有人，此選項正確；
C、扇形統(tǒng)計圖中，“其他”所對應的圓心角是，此選項正確；
D、若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人，此選項錯誤．
故選：D．
5. 時鐘分針長6厘米，從早上9點整到9點分，分針針尖所走過的路程是（）
A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查弧長的計算，解題的關鍵是理解題意，記住弧長公式，利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：從早上9點整到9點分，分針轉(zhuǎn)過的圓心角，
從早上9點整到9點分，分針尖所走過的路程(厘米)
故選∶C．
6. 已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個交點的橫坐標為，則的值為（）
A. B. C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．把代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得交點坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值．
【詳解】解：在中，
令，
解得，
則交點坐標是：，
代入，得．
解得．
故選：A．
7. 如圖，在中，，點D，E在邊上，且，，則的長是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
由題意得出，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再證，得出，，設，則，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：在中，，，，
，
，
把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
則，，，，
，
，
，
在和中
，
設，則，
在中，由勾股定理得，
，
即，
得，
即．
故選：A．
8. 如果是的一個因式，則的值是（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查因式分解，根據(jù)題意可知是方程的一個根，然后代入解題即可．
【詳解】解：∵是的一個因式，
∴當時，，
解得：，
故選：B．
9. 如圖1，在中，，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，過點作，垂足為．設點運動的路程為，與的差為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，點，是線段，與軸的交點，則圖2中點對應的點位置到點對應的點位置所經(jīng)歷的時長為（）
A. 2秒B. 4秒C. 秒D. 秒
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解直角三角形的相關計算，正確讀取圖中的信息是解題的關鍵．先得出當時，則，，再解讀當時，且與的差為，且此時停止運動了，說明點P與點C重合，則，運用，得，設故，分別算出在點M時，以及在點N時的時間，再計算它們的差值，即可作答．
【詳解】解：∵過點作，垂足為，
∴，
當時，則，
∴此時，
由圖2得時，，
∵與的差為，
∴，
∴，
當時，且與的差為，此時停止運動了，說明點P與點C重合，
∵，
∴說明點P與點Q重合，
則，
即，
則，
由圖2得，在點M時，則，
即，
在中，，
設
則，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，
∴（秒），
由圖2得，在點N時，則，
即，
此時點P是的中點，
∴，
則（秒），
∴（秒），
故選：C．
10. 如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上任一點，把沿翻折，點B的對應點為，連接、，則以下結論正確的是（）
①當與相似時，；②的最小值是；③點到距離的最小值是；④取的中點P，連接，則的最大值是．
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)，熟練掌握隱形圓上的點到定點和定直線的距離問題是解答的關鍵．利用相似三角形的性質(zhì)可判斷①；②由折疊性質(zhì)得，則點在以點E為圓心，1為半徑的圓上運動，如圖，連接，當C、、E共線時，有最小值，最小值為，利用勾股定理求解即可判斷②；過E作于G，當、、共線時，最小，即點到距離的最小，最小值為的長度，利用三角形的面積公式求得，進而求得可判斷③；取的中點，連接、，利用三角形的中位線求得，則點P在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，當點P在的延長線上時，最大，最大值為，利用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得即可判斷④，進而可得答案．
【詳解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，
①當時，則，即，
解得；
當時，則，即，
解得，
綜上，當與相似時，或，故①錯誤；
②由折疊性質(zhì)得，則點在以點E為圓心，1為半徑圓上運動，如圖，連接，當C、、E共線時，有最小值，最小值為，
在中，，
∴的最小值為，故②正確；
③過E作于G，當、、共線時，最小，即點到距離最小，最小值為的長度，
由得，
∴，
∴點到距離的最小值為，故③正確；
④取的中點，連接、，
∵點P是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴點P在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，當點P在的延長線上時，最大，最大值為，
過O作于H，則，又，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴的最大值是，故④正確，
綜上，結論正確的是②③④，
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)題意可得，解不等式即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟解答即可求解，正確計算是解題的關鍵．
【詳解】解：方程兩邊乘以，得，
解得，
檢驗：當時，，
∴，
故答案為：．
13. 如圖，小穎為學校聯(lián)歡會設計了一個“配紫色”游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形．游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤．若其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)出了藍色，則可配成紫色．此時，配成紫色的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到可配成紫色的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】解：列表如下：
由表格可知一共有6種等可能性的結果數(shù)，其中可配成紫色的結果數(shù)有1種，
∴配成紫色概率是，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．
14. 如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發(fā)，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點F，連接，點Q是線段的中點，連接，則
（1）當時，_______；
（2）連接，則在點P運動的整個過程中，線段長的最小值為_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）過F作于K，連接，證明四邊形是矩形，可得．證明，可得，最后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．
（2）連接，取中點K，連接并延長與的延長線交于點J，連接，證明Q在的垂直平分線上，即得出當時，最小，結合勾股定理求出，證明，即得出，再求出，即可列出，求解即可．
【詳解】解：（1）過F作于K，連接，
∵矩形中，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵點Q是線段的中點，
∴．
故答案為：；
（2）如圖，連接，取的中點K，連接并延長與的延長線交于點J，連接，
∵，點Q是線段的中點，
∴，
∴Q在的垂直平分線上，
∴當為線段的垂直平分線且時，最小，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，較難．正確作出輔助線是解題關鍵．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分
15. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，根據(jù)零指數(shù)冪、算術平方根的定義、乘方的定義分別計算，再相加減即可求解，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：原式
．
16. 人工智能是研究用計算機來模擬人的某些思維過程和智能行為（如學習、推理、思考、規(guī)劃等）的學科，主要包括計算機實現(xiàn)智能的原理、制造類似于人腦智能的計算機，使計算機能實現(xiàn)更高層次的應用．某校為迎接五十周年校慶舉行創(chuàng)新大賽，決賽是用電腦程序控制智能賽車在指定賽道上進行30米比賽，“領航號”和“致遠號”兩輛賽車在第一輪比賽時，兩輛賽車從起點同時出發(fā)，當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的，“領航號”比“致遠號”每秒多行駛0.8米，求“致遠號”的行駛速度．
【答案】“致遠號”的行駛速度為米/秒
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應用，設“致遠號”的行駛速度為米/秒，則“領航號”的行駛速度為米/秒，根據(jù)“當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解題意，找準等量關系，正確列出分式方程是解此題的關鍵．
【詳解】解：設“致遠號”的行駛速度為米/秒，則“領航號”的行駛速度為米/秒，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：“致遠號”的行駛速度為米/秒．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，在由邊長是個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在格點(網(wǎng)格線的交點)上．
（1）點的坐標為，以點為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)至；
（2）點通過（1）中旋轉(zhuǎn)后，對應點的坐標為；
（3）用無刻度直尺在邊上作出一點，使得 (保留作圖痕跡)．
【答案】（1）見解析（2）
（3）見解析
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，寫出點的坐標，格點作圖；
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到繞順時針旋轉(zhuǎn)的對應點，，順次連接，即可求解；
（2）根據(jù)坐標系寫出點的坐標，即可求解；
（3）取為頂點的格點，連接交于點，則點即為所求；
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：根據(jù)坐標系可得
故答案為：．
【小問3詳解】
解：如圖所示，點即為所求
18. 對于任意一個三位正整數(shù)，我們可以記為，即（，，，且均為整數(shù)）．若規(guī)定：對三位正整數(shù)進行運算，得到整數(shù)．例如，．
（1）計算：；
（2）當時，證明：的結果一定是的倍數(shù)．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（）根據(jù)定義計算即可；
（）根據(jù)定義求出即可求證；
本題考查了實數(shù)的新定義運算，完全平方公式的運用，理解新定義運算是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
證明：
，
∵是整數(shù)，
∴是的倍數(shù)，
即的結果一定是的倍數(shù)．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求隧道的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，，結果精確到個位）
【答案】隧道的長為米．
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．如圖，過點D作于點E，根據(jù)方位圖易得，，，再根據(jù)三角函數(shù)即可求出的長；進而求出的長，的長，即可求出的長．
【詳解】解：如圖
如圖，過點D作于點E，反向延長至，
，
，
又，
，
，
∴．
∵，．
在中，
．
在中，
．
∴．
答：隧道的長為米．
20. 如圖，點，在以為直徑的上，且，經(jīng)過點的切線與的延長線交于點，與的延長線交于點，連接．
（1）求證：．
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，通過圓的切線的性質(zhì)，得，結合可得，進而得∥，即可求解；
（2）由（1）得∥，證得，通過相似三角形的性質(zhì)得，結合題意，求得與的值，再通過勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
證明：連接．
與相切，
．
，
，
，
，
，
∥，
，
．
【小問2詳解】
解：由（1）得，
，
，
，，
，解得，
．
在中，，
．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理和推論，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓的有關性質(zhì)是解題關鍵．
六、（本題滿分12分）
21. 2024年3月5日，《政府工作報告》提出了開展“人工智能”行動，涵蓋眾多行業(yè)和領域，其中大型語言模型是最近的熱門話題．某實踐小組開展了對A，B兩款聊天機器人的使用滿意度調(diào)查，并從中各隨機抽取20份，對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（評分分數(shù)用x表示，結果分為四個等級：不滿意：，比較滿意：，滿意：，非常滿意：）．下面給出了部分信息：
抽取的對A款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89；
抽取的對B款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中，，，；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪款聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）．
【答案】（1）15，88.5，98
（2）A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：因為對兩款機器人的評的平均數(shù)相同，但A款評的中位數(shù)比B款的高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)等知識，
（1）用1分別減去其他三個等級所占百分比可得的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值，根據(jù)眾數(shù)的定義可得的值；
（2）通過比較，款的評分統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)解答即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：，
即，
款的評分非常滿意有（個，“滿意”的數(shù)據(jù)為84、86、86、87、88、89，
把款的評分數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是88、89，
中位數(shù)，
在款的評分數(shù)據(jù)中，98出現(xiàn)的次數(shù)最多，
眾數(shù)；
【小問2詳解】
款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
理由如下：因為對兩款機器人的評的平均數(shù)相同，但A款評的中位數(shù)比B款的高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．
款聊天機器人更受用戶喜愛（答案不唯一）．
七、（本題滿分12分）
22. 如圖①，在菱形中，點分別在上，．
（1）求證：；
（2）如圖②，若為中點，連接．
①求證：平分；
②若，，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（）證明即可求證；
（）①由相似三角形的性質(zhì)得，進而得，即得，得到，即可求證；②連接，證明四邊形是菱形，得到，進而得，即得是等邊三角形，得到，即可得，再根據(jù)即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是菱形，
∴，
，
，
，
，
，
即；
【小問2詳解】
①證明：由（）證得，
，
為中點，
，
，
即，
，
，
，
平分；
②解：如圖②，連接，
∵ ，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，為中點，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
，
由（）①知，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
中點，
∴，
，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關鍵．
八、（本題滿分14分）
23. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．
（1）若，請求出此時函數(shù)圖象的頂點坐標；
（2）二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，當點的縱坐標取到最大值時，求出此時的面積；
（3）當時，在處取得最小值，請直接寫出的范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
（）由，則二次函數(shù)，然后配成頂點式即可求解；
（）令，則，則，，故，當時，，當時，有最大值，然后利用面積公式即可求解；
（）分當時，當時兩種情況，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴二次函數(shù)，
∴，
∴此時函數(shù)圖象的頂點坐標；
【小問2詳解】
解：令，則，
解得：，，
∴，
當時，，
∴當時，有最大值，
∴，
∴此時的面積為；
【小問3詳解】
解：由得，則與軸交點為，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
當時，開口向上，則，
∴當離對稱軸越遠，的值越大，
∵，
當時，時的值比時的值大，
∴不符合題意；
當時，開口向下，則，
∴當離對稱軸越遠，的值越小，
∵當時，在處取得最小值，
∴，解得：，
∴的取值范圍為．
設備
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
“非常滿意”所點百分比
A
88
b
96
B
88
87.5
c
轉(zhuǎn)盤2
轉(zhuǎn)盤1
紅
白
黃
（紅，黃）
（白，黃）
綠
（紅，綠）
（白，綠）
藍
（紅，藍）
（白，藍）
設備
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
“非常滿意”所點百分比
A
88
b
96
B
88
87.5
c

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