說明：共8大題，計23小題，滿分150分，作答時間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
解析：解：的相反數(shù)是3，
故選：A．
2. 下列各式中，計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：A．不能合并，所以A不正確，該選項不符合題意；
B．，所以B不正確，該選項不符合題意；
C．，所以C不正確，該選項不符合題意；
D．，所以D正確，該選項符合題意．
故選：D．
3. 石墨烯是2004年科學家從石墨中分離出的單層石墨片，這是目前世界上人工制得的最薄的材料，僅為米，數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
解析：解：，
故選B．
4. 一個由兩個長方體組成的幾何體按如圖所示的方式水平放置，則它的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：從上面觀察組合體是外面是一個正方形，中間有一個正方形，且都是實線，如圖所示．
故選：C．
5. 點向右平移3個單位長度后，恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】C
解析：解：由題意知，，
∵在的圖象上，
∴．
故選：C．
6. 某校舉行以“我和我的祖國”為主題的演講比賽，7位評委給某同學打分（滿分10分），該同學的得分情況是8，6，8，7，8，5，7．對于該組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（ ）
A. 平均數(shù)為7B. 眾數(shù)為8C. 中位數(shù)為7D. 方差為2
【答案】D
解析：解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為5，6，7，7，8，8，8，處在最中間的數(shù)是7，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，故C不符合題意；
∵這組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，故B不符合題意；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A不符合題意；
這組數(shù)據(jù)的方差為 ，故D符合題意；
故選：D．
7. 如圖，四邊形內接于，連接，且平分，則錯誤的結論是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：A、 無法證明，故選項A錯誤，符合題意；
B、∵平分，∴，∴，故選項B正確，不符合題意；
C、∵四邊形內接于，∴，故選項C正確，不符合題意；
D、∵平分，∴，∴，∴，故選項D正確，不符合題意；
故選：A
8. 如圖，是等邊三角形，是邊上一點，連接，點在的延長線上，且，延長交于點，若，則的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
解析：解：過點作交于點作于點，如圖，
∵是等邊三角形，
∴
∵，
∴
∴是等邊三角形，
∴
設，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
故選：B
9. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：根據(jù)二次函數(shù)圖象得出，
拋物線對稱軸為
∴
∴二次函數(shù)的開口向上，與y軸交于正半軸，對稱軸為；
一次函數(shù)的圖像經過第一、二、四象限，
故選：C．
10. 如圖，矩形的邊分別是上的動點，連接，將沿著翻折，點的對應點為點，連接和，當?shù)闹底钚r，的最小值為（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】C
解析：解：根據(jù)題意得：點的軌跡在以點為圓心，的長為半徑的圓上，所以當三點共線時，的值最小，此時，．
設， ．
在中，
∴，即
解得，3．
∴，，
作于點，
則，
∴，
在和中，
．
如圖，作點關于直線的對稱點，則，
連接與的交點即所求，此時的值最小，且，
在中，．
故選：C
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. ________．
【答案】2
解析：解：
，
故答案為：2．
12. 分解因式：_____．
【答案】
解析：解：
，
故答案為：．
13. 我國明代商人，珠算發(fā)明家程大位在《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：一古寺內有三百六十四只碗，如果三個和尚共吃一碗飯，四個和尚共吃一碗羹，碗剛好夠用．問古寺內共有和尚多少人?根據(jù)上述問題，可知和尚的總人數(shù)是________．
【答案】624人
解析：解：設寺內有x個和尚，
依題意，得：
解得
故答案為：624人
14. 如圖，是反比例函數(shù)在第一象限內的圖象上的一點，連接并延長至點，使得，過點作軸于點，交反比例函數(shù)的圖象于點．
（1）若，則________．
（2）________．
【答案】 ①. ②. 3
解析：（1）如圖，過點作軸．
在中，，，
．
（2）如圖，連接，作軸于點，交于點．
分別是的中點，
，且相似比均為．
設的面積為，則的面積為的面積為，
的面積為的面積為．
與的高相等，
．
故答案為：，3．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 解不等式：．
【答案】
解析】解：
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
系數(shù)化為1，得．
16. 如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為．
（1）以原點為位似中心，將放大為原來的3倍，畫出放大后的．
（2）以直線為對稱軸，畫出（1）中關于直線對稱．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【小問1解析】
如圖所示：即為所求；
【小問2解析】
即為所求．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 勞動教育已納人人才培養(yǎng)全過程，某學校加大勞動教育投人，建設校園農場．該農場一種作物的產量在兩年內從200千克增加到242千克，若平均每年的增產率相同，求該作物平均每年的增產率．
【答案】該作物平均每年的增產率為10%．
解析：解：設該作物平均每年的增產率為，根據(jù)題意，得
，
解得（不合題意，舍去）．
答：該作物平均每年的增產率為．
18. 觀察下列等式．
第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：．
第4個等式：．
第5個等式：．
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題．
（1）寫出第6個等式：________．
（2）寫出你猜想的第個等式：________（用含的式子表示），并證明．
【答案】（1）
（2），證明見解析
【小問1解析】
解：觀察等式可知：
第6個等式：，
故答案為：；
小問2解析】
解：第個等式：，
證明：左邊 ，
右邊，
左邊=右邊，
，
故答案為：
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 安徽省科技館是大型公益性科普教育場所，開館以來，吸引了大量學生和家長前去參觀和體驗．如圖1，這是館內的一個全國最大的球狀屏幕，圖2是它的示意圖，是球屏的平面圖，的直徑為28米，是測角儀，高度為0.5米．垂直水平地面，此時測得球屏視線最上部的仰角為，即，視線最下部的仰角為，即．視線與相切，切點分別為和．求點到的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】點至的距離為3.3米．
解析：解：如圖，連接．
與相切，
平分．
，
．
又的直徑為28米，
米．
在中，米．
由題意得四邊形是矩形，
米．
在中，米，
米．
答：點至的距離為3.3米．
20. 如圖，菱形的對角線相交于點，分別過點作的平行線，且與相交于點．
（1）求證：四邊形是矩形．
（2）求四邊形與菱形的面積比．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【小問1解析】
證明：四邊形為菱形，
．
∴，
，
四邊形為平行四邊形，
平行四邊形為矩形．
【小問2解析】
解：四邊形為菱形，
．
又菱形的面積，
矩形的面積，
四邊形與菱形的面積比為．
六、（本題滿分12分）
21. 某中學近期舉行了“我的中國夢”歌手大賽，根據(jù)初賽成績，選出了5位歌手．為了了解學生最喜愛的歌手，隨機抽取若干名學生進行投票，投給自己最喜愛的歌手，每人都要投票且只投一人，將投票結果繪制成如圖所示的兩個不完整的統(tǒng)計圖．
（1）本次隨機抽取的學生人數(shù)為________，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）若參與投票的學生共有500名，可估計出其中最喜愛歌手的學生人數(shù)為_______，扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角的度數(shù)為________°．
（3）學校計劃在4位歌手中隨機抽取2位分享心得體會，求恰好選中歌手和歌手的概率．
【答案】（1）60人，圖見解析；
（2）125；54； （3）．
【小問1解析】
解：本次隨機抽取的學生人數(shù)為（人）．
最喜愛E人數(shù)為：（人）
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：60；
【小問2解析】
解：最喜愛歌手的學生人數(shù)為（人）；
扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角的度數(shù)為，
故答案為：125；54；
【小問3解析】
解：畫樹狀圖如下：
以上共有12種等可能的結果，恰好選中歌手和歌手的結果有2種，
恰好選中歌手和歌手的概率為．
七、（本題滿分12分）
22. 如圖，在平面直角坐標系中，已知點，連接，某同學設計了一條拋物線取不同的值，便可得到不同的拋物線，設拋物線與直線交于點．
（1）用含的代數(shù)式表示拋物線的對稱軸及頂點坐標．
（2）設點的縱坐標為，當取得最小值時，拋物線上有兩點，且，請求出的最小值，并比較與的大小．
（3）當拋物線與線段有公共點時，求出的取值范圍．
【答案】（1）對稱軸為直線，頂點坐標為；
（2）最小值是，；
（3）或．
【小問1解析】
解： ，
該拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為．
【小問2解析】
解：把代入拋物線解析式，得，
當時，取得最小值，且最小值是，
此時拋物線的解析式為，
當時，隨的增大而增大．
．
【小問3解析】
解：當拋物線分別經過點時，
可得，
解得或．
如圖1，當拋物線在對稱軸右側的部分分別經過點時，拋物線與線段有一個公共點，此時；
如圖2，當拋物線在對稱軸左側的部分分別經過點時，拋物線與線段有一個公共點，此時．
綜上所述，符合題意的的取值范圍為或．
八、（本題滿分14分）
23. 如圖，四邊形是正方形，是對角線，點和點分別在邊和上，且，過點作，交的延長線于點，連接．
（1）求證：．
（2）當為的中點時，求．
（3）求證：．
【答案】（1）見解析；
（2）；
（3）見解析．
【小問1解析】
證明：是正方形的對角線，
．
又，
，
，
．
，
，
．
【小問2解析】
解：是正方形的對角線，
．
，
．
設，則，
如圖1，過點作于點，則
∵
∴，
∴是等腰直角三角形．
又，
．
，
，
，
，
．
又，
，
，
在中，．
【小問3解析】
證明：如圖2，作于點，連接．
由（1）知，設，
則，
，
，
在中，．

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