一、選擇題(每題3分，共18分)
1．（2024?臨夏州）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB=45，則BC的長是（ ）
A．3B．6C．8D．9
2．（2024?資陽）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則sin∠ABE＝（ ）
A．55B．35C．45D．255
3．（2024?長春）2024年5月29日16時(shí)12分，“長春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為θ，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（ ）
A．a(chǎn)sinθ千米B．a(chǎn)sinθ千米C．a(chǎn)csθ千米D．a(chǎn)csθ千米
4．（2024?日照）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M，N，A，B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（ ）
（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
5．（2024?德陽）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房AB，小李同學(xué)在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60°，在小樓房樓頂A處測得C處的仰角為30° （AB、CD在同一平面內(nèi)，B、D在同一水平面上），則建筑物CD的高為（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+53
6．（2024?深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45°，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53°，則電子廠AB的高度為（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)（ ）
A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m
二、填空題(每題3分，共30分)
7．（2024?深圳）如圖，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B=512，D為BC上一點(diǎn)，若滿足CD=58BD，過D作DE⊥AD交AC延長線于點(diǎn)E，則CEAC= ．
8．（2024?西寧）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P在y軸上，且滿足∠PAB＝15°，則OP的長為 ．
9．（2024?江西）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan∠CAB＝ ．
10．（2024?西寧）閱讀相關(guān)資料：①如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；②西寧市的緯度約為北緯37°；③如圖2，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯37°緯線的長度，根據(jù)以上信息，北緯37°緯線的長度約為 千米（參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin37°≈0.6．cs37°≈0.8，tan37°≈0.8）
11．（2024?哈爾濱）△ABC是直角三角形，AB=23，∠ABC＝30°，則AC的長為 ．
12．（2024?南通）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為 m．
13．（2024?綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)A測得該樓頂部點(diǎn)C的仰角為60°，測得底部點(diǎn)B的俯角為45°，點(diǎn)A與樓BC的水平距離AD＝50m，則這棟樓的高度為 m（結(jié)果保留根號(hào)）．
14．（2024?湖南）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結(jié)構(gòu)簡圖，圖2為其平面示意圖．已知AB⊥CD于點(diǎn)B，AB與水平線l相交于點(diǎn)O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，則點(diǎn)C到水平線l的距離CF為 分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）．
15．（2024?眉山）如圖，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為60°時(shí)，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為 米．
16．（2024?鹽城）如圖，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P處，測得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37°，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45°，則教學(xué)樓AB的高度約為 m．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
三．解答題（共52分）
17．（6分）（2024?浙江）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的長；
（2）求sin∠DAE的值．
19．（6分）（2024?大慶）如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東30°方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)B處，測得橋頭C在南偏東60°方向上，橋頭D在南偏東45°方向上，求大橋CD的長度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73）
18．（8分）（2024?宿遷）雙塔是古黃河宿遷景觀帶的標(biāo)志性建筑之一，由九層的九龍塔和七層的七風(fēng)塔構(gòu)成．某校數(shù)學(xué)實(shí)踐小組開展測量七鳳塔高度的實(shí)踐活動(dòng)，該小組制定了測量方案，在實(shí)地測量后撰寫活動(dòng)報(bào)告，報(bào)告部分內(nèi)容如表：
已知測角儀的高度為1.2米，點(diǎn)C、E、A在同一水平直線上．根據(jù)以上信息，求塔AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（8分）（2024?河北）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長線交PQ于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的長及sin∠APC的值．
21．（8分）（2024?蘇州）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動(dòng)桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．
（1）如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α，且tanα=34（α為銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果保留根號(hào)）．
22．（8分）（2024?巴中）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1：3，BE＝6m，在B處測得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測得電線塔CD頂部D的仰角為60°．
（1）求點(diǎn)B離水平地面的高度AB．
（2）求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
23．（8分）（2024?樂山）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）
（1）如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長度；
（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請(qǐng)用含α、β和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說明理由．
測量七鳳塔高度
測量工具
測角儀、皮尺等
活動(dòng)形式
以小組為單位
測量示意圖
測量步驟及結(jié)果

如圖，步驟如下：
①在C處使用測角儀測得塔的頂部點(diǎn)B的仰角∠BDG＝37°；
②沿著CA方向走到E處，用皮尺測得CE＝24 米；
③在E處使用測角儀測得塔的頂部點(diǎn)B的仰角∠BFG＝45°.
……

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