注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、考生號、座號填寫在相應(yīng)位置，認(rèn)真核對條形碼上的姓名考生號和座號，并將條形碼粘貼在指定位置上．
2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚．
3．請按照題號在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．保持卡面清潔，不折疊、不破損．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】∵為邊上的中線，∴，
∵E為的中點，∴，
∴，
故選：D.
2. 設(shè)，為一組基底，已知向量，，，若，，三點共線，則實數(shù)k值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加法法則求出，將，，三點共線轉(zhuǎn)化為與共線即可求解.
【詳解】，，
，
又，且，，三點共線，，
即，
，.
故選：C.
3. 平面向量與向量滿足,且，,則向量與的夾角為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，得到，代入已知等式得到，設(shè)向量與的夾角為，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和，，算出，最后根據(jù)兩個向量夾角的范圍，可得答案
【詳解】，則
又
，解得
設(shè)向量與的夾角為，
則，即
解得
，
，
故選
【點睛】本題給出兩個向量的模，并且在已知它們的和向量與其中一個向量數(shù)量積的情況下，求兩個向量的夾角，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算和兩個向量夾角等知識，屬于基礎(chǔ)題．
4. 已知，，且，，則的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】設(shè)，由，得 ，
所以.
故選：C
5. 在中，，AC邊上的中線，，則AC的長為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得，平方后即可得到AC的長.
【詳解】因為，
所以，
又，，，
則，所以，即.
故選：.
【點睛】本題主要考查的是向量運算，解題的關(guān)鍵是利用平方公式進行求解，是基礎(chǔ)題.
6. 向量在向量方向上的投影向量的模為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解向量在向量方向上的投影向量為，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)運算求解即可.
【詳解】由已知可得，，
向量在向量方向上的投影向量為，
所以向量在向量方向上的投影向量的模為.
故選：.
7. 在200m高的山頂上，測得山下塔頂與塔底的俯角分別為30°和60°，則塔高為（ ）
A. mB. m
C. mD. m
【答案】C
【解析】
【分析】利用正切三角函數(shù)，首先求出的長，再利用正切三角函數(shù)求出，最后代入計算即可.
【詳解】依題意可得圖象如圖所示,從塔頂向山體引一條垂線,垂足為.
則,則，
,
塔高,
故選：C.
8. 在中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式得到，從而，再由正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，由的范圍計算可得.
【詳解】因為，則由正弦定理得，
又，
所以，
則，
又，，則
所以或，即或（舍去），
則，
所以，解得，則，
所以
，
所以的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是利用正弦定理將邊化角，得到、，最后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù).
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則與同向的單位向量為
C. 若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為
D. 若，則的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷AB選項，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及基本不等式可判斷D選項.
【詳解】由，，
A選項：，
則，解得，則，，
所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；
B選項：，則，解得，
即，，，
所以與同向的單位向量為，B選項正確；
C選項：時，，
又與的夾角為銳角，
則，解得，且，
即，C選項錯誤；
D選項：由，得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D選項正確；
故選：BD.
10. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 當(dāng)時，最小值為
C. 當(dāng)有兩個解時，的取值范圍是
D. 當(dāng)為銳角三角形時，的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】定義法求向量數(shù)量積判斷選項A；利用向量數(shù)量積求，配方法求最小值判斷選項B；由正弦定理解三角形，求有兩個解時需要的條件判斷選項C；由為銳角三角形求角B的范圍，結(jié)合正弦定理求的取值范圍判斷選項D.
【詳解】中，內(nèi)角所對的邊分別為，
若，則，A選項錯誤；
當(dāng)時，
，
當(dāng)時等號成立，所以最小值為，B選項正確；
由正弦定理，，當(dāng)有兩個解時，
且，的取值范圍是，C選項錯誤；
，，當(dāng)為銳角三角形時，，
解得，則，，
，所以的取值范圍是，D選項正確.
故選：BD.
11. 對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C. 向量與共線
D. 過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及定義化簡，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點共線即可證.
【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時才有，錯誤；
B：由，又，故，正確；
C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；
D：，又三點共線，則，故，正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：綜合應(yīng)用外心、垂心、重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律、幾何含義以及平面向量基本定理判斷各選項正誤.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，，則的面積為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理可得，再根據(jù)面積公式求解即可.
【詳解】因為，，，
由余弦定理可得，
所以，所以的面積為.
故答案為：.
13. 在中，是線段上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運算可得，再由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，因為，
所以，且三點共線，
則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：
14. 如圖，在中，，，D，E分別是直線，上點，，，且，則_____．若P是線段上的一個動點，則的最小值為_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由題可知，，由，可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得的值，從而求得；設(shè)，，根據(jù)平面向量的混合運算可推出，再利用配方法即可得解．
【詳解】∵，，∴，，
∵，
∴
，
解得，
∵，∴．
設(shè)，，
∴

，
∴當(dāng)時，有最小值，．
故答案為：；．
【點睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，是兩個單位向量，其夾角為60°，，．
（1）求，；
（2）求與的夾角．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用模長公式及向量數(shù)量積的運算律即得；
（2）利用向量夾角公式求解即可.
【小問1詳解】
因為，是兩個單位向量，其夾角為60°，
則，，,
又，
所以，
同理，
所以；
【小問2詳解】
由題得，，
設(shè)與的夾角為θ，
則，
因為θ∈[0,π]，所以，
則向量與的夾角為．
16. 如圖，在四邊形中，已知，，，，．
（1）求BD的長；
（2）求CD的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理計算可得；
（2）首先求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，最后由正弦定理計算可得；
【小問1詳解】
解：在中，設(shè)，
由余弦定理
，整理得
解得或（舍去），
線段的長等于8；
【小問2詳解】
解：因為，，所以，
所以，
在中由正弦定理，得
17. 如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意根據(jù)向量的線性運算法則得到，，再根據(jù)三點共線，求得即可求解.
（2）根據(jù)題意得到，，結(jié)合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
因為是線段的中點，所以，
又因為，設(shè)，則有，
因為三點共線，所以，解得，即，
所以．
【小問2詳解】
因為， ，
由（1）可知，，所以，
因為三點共線，所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
所以的最小值為．
18. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）求；
（2）若．求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將已知中的切化弦，再利用兩角和的正弦公式進行化簡即可求出；
（2）由余弦定理可得到，再利用基本不等式即可求出的范圍.
【小問1詳解】
，，
，，
，，，
；
【小問2詳解】
，，
由余弦定理得，，即，
，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又，，
的取值范圍是.
19. 是直線外一點，點在直線上（點與點任一點均不重合），我們稱如下操作為“由點對施以視角運算”：若點在線段上，記；若點在線段外，記.在中，角的對邊分別是，點在射線上.
（1）若是角的平分線，且，由點對施以視角運算，求的值；
（2）若，由點對施以視角運算，，求的周長；
（3）若，，由點對施以視角運算，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，從而得到，即可得解；
（2）根據(jù)所給定義及條件得到，再由余弦定理求出，即可求出，從而求出三角形的周長；
（3）依題意可得，由等面積法得到，從而得到，再由乘“1”法及基本不等式計算可得.
【小問1詳解】
因為是角的平分線，所以且在線段上，
所以，
又，所以；
【小問2詳解】
因為點在射線上，，且，所以在線段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（負(fù)值已舍去），
所以，
所以的周長為.
【小問3詳解】
因為，所以，則，
因為，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
所以的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵理解所給定義，第三問關(guān)鍵是推導(dǎo)出，即.

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