一．選擇題（每小題 3 分，共 36 分）
1．圍棋起于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的
圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出π的近似值為 ，它與π的誤差小于 0.0000003．將
0.0000003 用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣4 C．3×10﹣4 D．3×107
3．下列從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A．2（a﹣b）＝2a﹣2b
B．a(chǎn)2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．2x2﹣8y2＝2（x﹣2y）（x+2y）
4．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)8÷a2＝a4 B．（﹣2024）0＝2024
C． D．2a5?a3＝2a8
5．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與一個(gè)外角的和是 1160 度，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形
6．如圖，AB∥CD，AD∥BC，AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別是 E，
F．則圖中共有（ ）對(duì)全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若分式 的值為 0，則 x 應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
8．如圖，在△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF 垂直平分 BC，點(diǎn) P 為直線 EF 上的動(dòng)
點(diǎn)，則 AP+BP 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．11
9．如果 x2+mx+9 是一個(gè)完全平方式，則 m 的值為（ ）
A．6 B．﹣6
C．+6 或﹣6 D．以上都不正確
10．某新能環(huán)保汽車(chē)去年第四季度銷(xiāo)售總額為 2000 萬(wàn)元，由于受全球經(jīng)濟(jì)下行壓力的影
響，今年第一季度每輛車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)格比去年降低 1 萬(wàn)元，銷(xiāo)售數(shù)量與去年第四季度相同，
銷(xiāo)售總額比去年第四季度減少 20%，今年第一季度每輛車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)格是多少萬(wàn)元？設(shè)今
年第一季度每輛車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)格為 x 萬(wàn)元，根據(jù)題意列方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如圖，在等邊△ABC 中，D 是 AB 的中點(diǎn)，DE⊥AC 于點(diǎn) E，EF⊥BC 于點(diǎn) F，已知 AE
＝2，則 CF 的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 AC 的中點(diǎn)，EC⊥BD 于 E，交 BA 的延長(zhǎng)線于
F，若 BF＝10，則△FBC 的面積為（ ）
A． B． C．40 D．48
二．填空題（每小題 3 分，共 18 分）
13．點(diǎn) P（5，﹣12）關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
14．一個(gè)二次二項(xiàng)式分解后其中的一個(gè)因式為 x﹣3，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的二次二項(xiàng)
式 ．
15．若等腰三角形的頂角為 42°，則它的底角為 ．
16．已知 2x﹣5y+7＝0，則 4x+1?321﹣y 的值是 ．
17．如圖，在△ABC 中，∠BAC 的平分線 AD 和邊 BC 的垂直平分線 ED 相交于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn)
D 作 DF 垂直于 AC 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，若 AB＝8，AC＝4，則 CF 的長(zhǎng)為 ．
18．關(guān)于 x 的分式方程 的解是非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于 y 的不等式組
， 有 且 僅 有 4 個(gè) 整 數(shù) 解 ， 則 所 有 滿 足 條 件 的 整 數(shù) a 的 值 之 和
是 ．
三．解答題（共 46 分）
19．（8 分）（1）計(jì)算：7m（4m2p）2÷7m2；
（2）解分式方程： ．
20．（8 分）先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中 x 與 1，3 構(gòu)成△ABC 的三
邊且 x 為整數(shù)．
21．（6 分）如圖，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足為 D，∠BAC＝68°，∠ACB＝76°．
（1）求∠B 和∠DAC 的度數(shù)．
（2）若 CE 是∠BCA 的平分線，求∠AEC 的度數(shù)．
22．（6 分）如圖，點(diǎn) E，F(xiàn) 是線段 AB 上的兩個(gè)點(diǎn)，CE 與 DF 交于點(diǎn) M．已知 AF＝BE，AC
＝BD，∠A＝∠B．
（1）求證：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求證：△MFE 是等邊三角形．
23．（8 分）為了豐富校園文體活動(dòng)，某學(xué)校準(zhǔn)備一次性購(gòu)買(mǎi)若干個(gè)足球和排球．已知用 160
元購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量與用 130 元購(gòu)買(mǎi)排球的數(shù)量相同，足球的單價(jià)比排球的單價(jià)多 15 元．
（1）求足球和排球的單價(jià)各是多少元；
（2）根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況，需要一次性購(gòu)買(mǎi)足球和排球共 100 個(gè)，若要求總費(fèi)用不超過(guò)
7100 元，則學(xué)校最多可以購(gòu)買(mǎi) 個(gè)足球．
24．（10 分）用一條直線分割一個(gè)三角形，如果能分割出一個(gè)等腰三角形，那么就稱(chēng)這條直
線為該三角形的一條等腰分割線．在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝
3．
（1）如圖 1，O 為 AB 的中點(diǎn)，則直線 OC △ABC 的等腰分割線（填“是”或“不
是 ”）．
（2）如圖 2，點(diǎn) P 是邊 AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線 BP 是△ABC 的等腰分割線時(shí)，求 PC
的長(zhǎng)度．
（3）如圖 3，若將△ABC 放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) Q 是邊 AB 上的一點(diǎn)，
如果直線 CQ 是△ABC 的等腰分割線，則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ．（直接
寫(xiě)出答案）．
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D D D C A B C B A A
13. （5，12） 14. x2﹣9
15. 69° 16. 1
17. 2 18. -3
19. 解：（1）7m（4m2p）2÷7m2；
＝7m?16m4p2÷7m2
＝112m5p2÷7m2
＝16m3p2；
（2） ，
1 ，
方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得 x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝1，
解得：x ，
檢驗(yàn)：當(dāng) x 時(shí)，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以 x 是原分式方程的解，
即原分式方程的解是 x ．
20. 解：
，
又∵x 與 1，3 構(gòu)成△ABC 的三邊，
∴2＜x＜4，
又∵x 為整數(shù)，
∴x＝3，
∴原式 ．
21. 解：（1）∵∠BAC＝68°，∠ACB＝76°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣68°﹣76°＝36°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝14°；
（2）∵CE 是∠BCA 的平分線，
∴∠ACE ACB 76°＝38°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACE＝180°﹣38°﹣68°＝74°．
22. 證明：（1）∵AF＝BE，
∴AF+EF＝BE+EF，
即 AE＝BF．
∵AC＝BD，∠A＝∠B，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA＝∠DFB，
∴ME＝MF，
∵∠FME＝60°，
∴△MFE 是等邊三角形（有一個(gè)角是 60°的等腰三角形是等邊三角形）．
23. 解：（1）設(shè)排球的單價(jià)是 x 元，則足球的單價(jià)是（x+15）元，
根據(jù)題意得： ，
解得：x＝65，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝65 是所列方程的解，且符合題意，
∴x+15＝65+15＝80（元）．
答：足球的單價(jià)是 80 元，排球的單價(jià)是 65 元；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi) y 個(gè)足球，則購(gòu)買(mǎi)（100﹣y）個(gè)排球，
根據(jù)題意得：80y+65（100﹣y）≤7100，
解得：y≤40，
∴y 的最大值為 40，
∴學(xué)校最多可以購(gòu)買(mǎi) 40 個(gè)足球．
故答案為：40．
24. 解：（1）∵∠ACB＝90°，O 為 AB 中點(diǎn)，
在 Rt△ACB 中，OC AB＝AO＝BO，
∴等腰△AOC 和等腰△BOC．
則直線 OC 是△ABC 的等腰分割線；
故答案為：是．
（2）①當(dāng) AP＝BP 時(shí)，BC＝3，
設(shè) CP＝x，
①當(dāng) PA＝PB＝4﹣x，
在 Rt△BPC 中，BC2+PC2＝PB2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得 x ．
即：CP ．
②CP＝CB 時(shí)，CP＝BC＝3；
即 CP 的長(zhǎng)為 或 3．
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB 5，
∵S△ABC BC?AC AB?OC，
∴OC ，
∴ ，
①若△ACQ 為等腰三角形，
如圖 1，當(dāng) AC＝AQ 時(shí)，AC＝4，AQ＝4，
∴OQ＝AQ﹣OA＝4 ．
∴Q ，
如圖 2，當(dāng) QC＝QA 時(shí)，Q 為 AB 中點(diǎn)，AQ＝BQ AB ．
∴OQ＝OA﹣AQ ，
∴Q（ ，0），
當(dāng) CA＝CQ 時(shí)，Q 不在邊 AB 上，舍去．
②若△BCQ 為等腰三角形．
如圖 3，當(dāng) CQ＝CB 時(shí)，
OQ＝OB ，
∴Q（ ，0），
如圖 4，當(dāng) BC＝BQ 時(shí)，BQ＝BC＝3，
∴ ，
∴Q（ ，0），
如圖 2，當(dāng) QC＝QB 時(shí)，Q 為 AB 中點(diǎn)，BQ＝AQ ，
此時(shí) Q（ ，0）．
綜合以上可得點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（ ，0）或 或 或 ．
故答案為：（ ，0）或 或 或 ．

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