一、單選題
1．計算的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
2．已知在中，且，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
3．以下變換中，能將函數(shù)的圖象變?yōu)楹瘮?shù)的圖象的是（ ）
A．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位長度
B．每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
D．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍
4．已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)①，②，③，④，⑤，則下列選項中同時滿足（1）是偶函數(shù)，（2）最小正周期是，（3）對稱軸相同這三個條件的是（ ）
A．①②⑤B．①③④C．②③⑤D．③④⑤
6．在中，，，分別是角，，的對邊，已知，且有兩解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域分別為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．周期函數(shù)不一定有最小正周期
B．時針走了1小時40分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是
C．若角滿足，，則一定為第四象限角
D．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心
10．下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．在中，若，，則
C．已知向量，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是
D．已知，，為的內(nèi)角，，的對邊，則“”的充要條件是“”
11．已知是表示不超過的最大整數(shù)（比如：，），則下列說法錯誤的是（ ）
A．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是
B．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是
C．若函數(shù)，則的值域是
D．當時，函數(shù)的零點有5個
三、填空題
12．已知單位向量，的夾角為，則向量，的夾角為 ．
13．已知關(guān)于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍為 ．
14．如圖，在梯形中，，，是邊所在直線上的動點，若該梯形的面積為，則的最小值為 ．
四、解答題
15．（1）已知向量，，若，求實數(shù)的值；
（2）已知向量，，，若，求的值．
16．已知某扇形的周長是8．
(1)當該扇形的面積最大時，求其圓心角的大?。?br>(2)在（1）的條件下，求該扇形中所含弓形的面積．（注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形．）
17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)將的圖象先向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間和其圖象的對稱中心．
18．在中，，，分別是角，，的對邊，已知是銳角，向量，，且．
(1)若，求實數(shù)的值．
(2)已知．
（i）求面積的最大值；
（ii）在（i）的條件下，判斷的形狀．
19．我市某大型綜合商場門前有條長120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側(cè)劃有24個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時段道路擁堵，該商場郭經(jīng)理提出一個改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對道路傾斜的角度，其中．
(1)若，求和的長；
(2)求關(guān)于的函數(shù)表達式；
(3)若，按照郭經(jīng)理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個？
1．A
利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求得答案.
【詳解】.
故選：A
2．D
將條件轉(zhuǎn)化為，再利用平面向量基本定理即可.
【詳解】因，則，
故，
則，所以．
故選：D
3．B
由三角函數(shù)伸縮變換，平移變換知識結(jié)合誘導(dǎo)公式，可判斷選項正誤.
【詳解】對于A，變換后的函數(shù)為
，故A錯誤；
對于B，變換后的函數(shù)為
，故B正確；
對于C，變換后的函數(shù)為
，故C錯誤；
對于D，變換后的函數(shù)為
，故D錯誤.
故選：B
4．B
根據(jù)題意可得，進而求投影向量.
【詳解】因為向量，，則，
所求投影向量的坐標為．
故選：B.
5．B
利用三角函數(shù)圖象以及函數(shù)圖象變換，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷.
【詳解】結(jié)合三角函數(shù)圖象與圖象變換，依次畫出①②③④⑤的函數(shù)圖象，
由圖象可知，②⑤不是周期函數(shù)，故②⑤不符合；
①③④均為偶函數(shù)，最小正周期為，對稱軸為，符合所有條件.
故選：B
6．C
利用正弦定理及有兩解，列不等式求邊長范圍.
【詳解】因為且，有兩解，
所以，得．
故選：C
7．D
先由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)直接求出函數(shù)定義范圍和值域，接著由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和余弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合定義將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在上的減區(qū)間即可直接計算得解.
【詳解】由題，則，即，
又為上的增函數(shù)，且，
所以所求函數(shù)值域為；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)在上的減區(qū)間，
所以，解得所求單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：D
8．A
【詳解】作出圖形如圖所示，扇形，設(shè)半徑為1，，
設(shè)，，由圖可知，
又，
所以，所以，
由，，得．，
，故．
故選：A.
9．ABD
由可判斷A，由弧度制的概念可判斷B，由各個象限三角函數(shù)符號可判斷C，由正切函數(shù)對稱中心的概念可判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)是周期函數(shù)，但沒有最小正周期，故A正確；
對于B，易知分針轉(zhuǎn)過的角是，故B正確；
對于C，由，可得：，，
所以一定為第三象限角，故C錯誤；
對于D，由，可知是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故D正確．
故選：ABD
10．BCD
對于A，向量不能比較大小；對于B，利用數(shù)量積的定義和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；
對于C，利用數(shù)量積為負同時要排除反向共線即平角的情況即可判斷；
對于D，由正弦定理和大邊（角）對大角（邊）即可判斷.
【詳解】對于A，因為向量有方向，所以不能像實數(shù)一樣比較大小，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，由即
解得，故C正確；
對于D，由正弦定理，可知，故D正確．
故選：BCD.
11．BD
利用函數(shù)的周期性的定義，計算并判斷A,B；利用正弦函數(shù)的值域，計算并判斷C；利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合分析兩個函數(shù)圖象的交點，可判斷D.
【詳解】對于A，因為的最小正周期是，即，
所以，所以函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是，故A正確；
對于B，因為，則，
所以不是函數(shù)的最小正周期，故B錯誤；
對于C，因為，所以，，
所以當時，；當時，，則，故C正確；
對于D，函數(shù)的零點就是函數(shù)與的圖象的交點，
其中，函數(shù)是周期為1的函數(shù)，其值域為，
當時，函數(shù)與的圖象如下，
由圖象可知，它們在內(nèi)有6個交點，故D錯誤．
故選：BD.
12．/
由條件結(jié)合數(shù)量積定義求，再利用數(shù)量積的運算律結(jié)合向量模的性質(zhì)求，，，再利用向量夾角公式求結(jié)論.
【詳解】由已知，，
所以，
又，，
所以，
，
，
設(shè)向量，的夾角為，
所以．
又因為，所以.
所以向量，的夾角為．
故答案為：.
13．
利用換元法，分離參變量，構(gòu)造兩個函數(shù)圖象有交點問題，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】令，則，
原方程可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有解，
分離參變量得：，
即等價于直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點．
又因為的圖象開口向下，對稱軸為直線，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即．
故答案為：.
14．16
取的中點，作，垂足為，根據(jù)數(shù)量積的運算律整理可得，根據(jù)題型面積可得，利用基本不等式結(jié)合高線性質(zhì)即可得最小值.
【詳解】取的中點，作，垂足為，
則，
因為該梯形的面積為，且，，
則，即，
可得，
所以的最小值為16.
故答案為：16.
15．（1）；（2）
（1）由共線向量的坐標表示，建立方程，可得答案；
（2）由向量線性運算的坐標表示，根據(jù)垂直向量數(shù)量積的坐標表示，建立方程，結(jié)合向量模長公式，可得答案.
【詳解】（1）因為，所以由，解得．
（2）因為，，．所以．
因為，所以，即，解得，
即，所以．
16．(1)
(2)．
（1）設(shè)該扇形的半徑為，弧長為，可得，利用基本不等式可求扇形的面積的最大值；進而可求圓心角的大??；
（2）由（1）知，．求得三角形的面積，進而可求弓形的面積.
【詳解】（1）設(shè)該扇形的半徑為，弧長為，
則，
當且僅當時，等號成立，
此時該扇形的面積，，
其圓心角，
故所求圓心角．
（2）由（1）知，．
又因為兩半徑與圓心角所對弦構(gòu)成的三角形面積，
所以所求弓形的面積，
故所求弓形的面積是．
17．(1)；
(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，，，．
【詳解】（1）由的部分圖象知，當時，，
當時，，解得，．
因為，所以，則．
因為且，得，故．
（2）將的圖象先向左平移個單位長度，得到的圖象，
將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得的圖象．
令，整理得，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
令，則，故圖象的對稱中心為，．
18．(1)
(2)（i）；（ii）等邊三角形
【詳解】（1）因為是銳角，且，，
所以，
解得或（舍去），所以，
由余弦定理得，
又，則，結(jié)合，
所以．
（2）（i）由（1）知，，
由余弦定理得，
即，得，
當且僅當時，等號成立，
則，
即面積的最大值為.
（ii）由（i）可知， 取得最大值時，，
又，所以為等邊三角形．
19．(1)米，米．
(2)，．
(3)13個．
（1）由圖，結(jié)合幾何性質(zhì)與三角函數(shù)可得答案；
（2）由圖可得，后由（1）可得答案；
（3）由（2）及可得 .設(shè)改造后停車位數(shù)量最大值為，由圖可得第個車位頂點到的距離，后結(jié)合可得，即可得答案.
【詳解】（1）由題意得米，米，，
則，即．
由，且，，可得，，
則米，米．
（2）由（1）可得，，
，
故，．
（3）由，可得，即．
設(shè)，則，
整理得，解得．
由，可得．
當時，解得，，不符合題意；
當時，解得，，符合題意．
設(shè)改造后停車位數(shù)量的最大值為，如圖，過停車位頂點作的垂線，垂足為，
則頂點到線段的距離為．
由圖及題意可知，，
則．
因為，
所以，，，
則．
由題可知，即，解得，則取，
故該路段改造后的停車位比改造前增加了個．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
B
C
D
A
ABD
BCD
題號
11









答案
BD









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