考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知非零向量，，若，則（ ）
A．8B．C．6D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在中，為邊AB的中點，，則（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖所示的是為紀念南陽解放50周年于1998年11月4日建立的南陽解放紀念碑，某學(xué)生為測量該紀念碑的高度CD，選取與碑基在同一水平面內(nèi)的兩個測量點A，B．現(xiàn)測得，，米，在點處測得碑頂?shù)难鼋菫?，則紀念碑高CD為（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．已知向量滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
8．如圖，在中，，，為邊AB的中點，線段AC與DE交于點，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，為常數(shù)，滿足條件的唯一確定，則的值可能為（ ）
A．2B．C．D．
10．已知向量，，且，則（ ）
A．與同向的單位向量為B．與的夾角為
C．D．在上的投影向量是
11．已知函數(shù)（注：），則（ ）
A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．圖象的一條對稱軸為直線
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若扇形的弧長為，圓心角為，則扇形的面積為__________．
13．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則__________．
14．如圖，在面積為3的中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點，點在直線EF上，則的最小值為__________．．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知向量滿足，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在中，若，，求．
16．（15分）
已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
（Ⅰ）求的解析式及零點；
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間．
17．（15分）
已知函數(shù)的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最高點為．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；
（Ⅲ）當時，求的值域．
18．（17分）
在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且．
（Ⅰ）求面積的最大值；
（Ⅱ）若為邊BC的中點，求線段AD的長度．
19．（17分）
如圖，記，，，已知，．
（Ⅰ）若點在線段OA上，且，求的值；
（Ⅱ）若向量與方向相同，且，求；
（Ⅲ）若，求的最大值．
2023—2024學(xué)年（下）南陽六校高一年級期中考試
數(shù)學(xué)·答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．答案 B
命題意圖 本題考查由三角函數(shù)的定義求參數(shù)．
解析 由題知，解得．
2．答案 C
命題意圖 本題考查由向量平行的坐標表示求出，再求向量的模．
解析 ，，（舍去），或，，即．
3．答案 A
命題意圖 本題考查正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式．
解析 ．
4．答案 D
命題意圖 本題考查平面向量基本定理在平面幾何中的應(yīng)用．
解析 為AB的中點，，．
5．答案 C
命題意圖 本題考查利用正弦定理解決高度測量問題．
解析 在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．
6．答案 B
命題意圖 本題考查投影數(shù)量的定義及平面向量數(shù)量積的運算．
解析 ，，在方向上的投影數(shù)量為．
7．答案 D
命題意圖 本題考查利用余弦函數(shù)圖像求解析式，利用余弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)．
解析 由圖可知，則，又，，又，根據(jù)五點法作圖原理，得，解得，從而，的圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，，得．
8．答案 C
命題意圖 本題考查余弦定理．
解析 因為，，所以是等邊三角形，所以．因為，所以，所以．設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，所以．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．答案 ABD
命題意圖 本題考查判定三角形解的個數(shù)問題．
解析 若滿足條件的唯一確定，則或，故A，B，D正確．
10．答案 ACD
命題意圖 本題考查向量的垂直、夾角、模、投影向量及單位向量等概念．
解析 ，，，解得或（舍去）．
對于A，，與同向的單位向量為，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，，故C正確；
對于D，在上的投影向量是，故D正確．
11．答案 BC
命題意圖 本題考查誘導(dǎo)公式，求正（余）弦型函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性、對稱中心及對稱軸．
解析 對于A，，不是的周期，故A錯誤；
對于B，當時，，，又時，，在上單調(diào)遞減，故B正確；
對于，設(shè)圖象上任意一點，則關(guān)于點的對稱點為，，的圖象關(guān)于點中心對稱，故C正確；
對于D，設(shè)圖象上任意一點，則關(guān)于直線的對稱點為，，的圖像不關(guān)于直線對稱，故D錯誤．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．答案
命題意圖 本題考查扇形的弧長、面積的有關(guān)計算．
解析 設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為l．，即，，．
13．答案
命題意圖 本題考查正（余）弦定理的應(yīng)用．
解析 ，由正弦定理變形得，，又由余弦定理得，．
14．答案 6
命題意圖 本題考查平面向量在平面幾何中的應(yīng)用．
解析 如圖，取BC邊的中點，連接．，，當且僅當時取等號．設(shè)點到BC邊的距離為，則，當時取等號，的最小值為6，當且僅當且時取得．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．命題意圖 本題考查平面向量及其應(yīng)用．
解析 （Ⅰ），
，
，
又，．
（Ⅱ）在中，，
，
．
16．命題意圖 本題考查三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性以及圖象變換．
解析 （Ⅰ）的圖象關(guān)于直線對稱，
，
得，又，，．
令，得，
的零點為．
（Ⅱ），
令，，
可得，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為．
17．命題意圖 本題考查求函數(shù)解析式、用“五點法”畫圖、求三角函數(shù)的值域．
解析 （Ⅰ）由的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，可知最小正周期，．
由一個最高點為，得，
由，即，
可得，得，
又，，
．
（Ⅱ）完善表格如下：
在上的大致圖象如圖：
（Ⅲ），∴，故的值域為．
18．命題意圖 本題考查正（余）弦定理、三角形面積公式以及不等式的應(yīng)用．
解析 （Ⅰ），
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
又，故．
，，當且僅當時取等號．
，
故面積的最大值為．
（Ⅱ）是邊BC的中點，，
．
，，，
又由（Ⅰ）知，，
，，
即線段AD的長度為．
19．命題意圖 本題考查向量的基本運算．
解析 （Ⅰ）由題可知，，
又，
．
（Ⅱ）設(shè)，則，
，
解得或（舍去）．
，，
，，
，
．
（Ⅲ），，
，
．
四點均在以O(shè)B為直徑的圓上，
的最大值為該圓的直徑，為2，
即的最大值為2．
x
0
0
0
x
0
1
2
0
0
1

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