（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量和的夾角為，且，，則（ ）
A．3B．C．D．13
4．“體育強則中國強，國運興則體育興”.已知某運動員在2024年籃球聯(lián)賽中連續(xù)10場的得分數(shù)據(jù)為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．第85百分位數(shù)為18B．眾數(shù)為12
C．中位數(shù)為17D．平均成績?yōu)?4
5．已知，則（ ）
A．B．C．2D．3
6．已知焦點在x軸上的雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則（ ）
A．1B．C．D．1或
7．已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖所示，直三棱柱是一塊石材，測量得，，，．若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為（ ）
A．，4B．，3C．，4D．，3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．沿著下面左圖紙帶寬的三等分線（虛線）剪開，不能得到的剪開圖是（ ）
A．B．
C．D．
10．函數(shù)，則（ ）
A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間為
C．最大值為D．有兩個零點
11．已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，是的準線與軸的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則直線的斜率為
B．
C．（為坐標原點）
D．當取最小值時，
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知的展開式中的第2項的系數(shù)與第2項二項式系數(shù)之和為198，則展開式中的常數(shù)項為 ．
13．中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關(guān).若茶水原來的溫度是，經(jīng)過分鐘后的溫度是，滿足，其中表示室溫，是由物體和空氣接觸狀況而定的常數(shù).在室溫恒為的房間中，已知一杯的茶水，測得溫度降到50℃需要10分鐘，則這杯茶水還需要繼續(xù)放置 分鐘，茶水溫度才降至35℃達到最佳飲用口感.
14．對于函數(shù)，若存在使，則稱點是曲線的“優(yōu)美點”，已知．若曲線存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求的取值范圍.
16．（本小題滿分15分）已知定義在上的函數(shù).
(1)若，判斷是否存在極小值點，并說明理由；
(2)若存在兩個零點，求的取值范圍.
17．（本小題滿分15分）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，.
(1)證明：；
(2)當直線與平面所成的角最大時，求三棱臺的體積.
18．（本小題滿分17分）已知橢圓的焦距為，以橢圓短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，過點的直線分別交橢圓于點，點始終在第一象限且與點關(guān)于軸對稱，直線分別交軸于點．
(1)求橢圓的方程；
(2)求點的坐標；
(3)證明：．
19．（本小題滿分17分）在數(shù)軸的坐標原點放置一個機器人，它每過1秒都將以的概率向數(shù)軸正方向或負方向移動1個單位長度，機器人每次經(jīng)過或3時都會向雷達發(fā)送一次信息，且雷達會瞬間收到.設(shè)事件表示“機器人的前 次移動均未向雷達發(fā)送信息”.
(1)求，
(2)已知①②兩個結(jié)論：①；②設(shè)是一列無窮個事件，若存在正數(shù)，對于任意的均有，則“中只有有限個事件同時發(fā)生”的概率為1.
（i）證明：事件；“雷達會收到信息”的概率為1；
（ii）求機器人首次發(fā)送信息時所在位置為3的概率.

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