注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得，則.故選D.
2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?所以由數(shù)軸得.
即的取值范圍為.故選：D.

3．已知向量和的夾角為，且，，則（ ）
A．3B．C．D．13
【答案】A
【解析】由題意可得，
故選：A
4．“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”.已知某運(yùn)動(dòng)員在2024年籃球聯(lián)賽中連續(xù)10場(chǎng)的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．第85百分位數(shù)為18B．眾數(shù)為12
C．中位數(shù)為17D．平均成績(jī)?yōu)?4
【答案】A
【解析】將得分?jǐn)?shù)據(jù)按升序排列為：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
對(duì)于A：因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第9位數(shù)，即為18，故A正確；
對(duì)于B：眾數(shù)為17，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：平均數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故答案為：A.
5．已知，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由于，
那么，
，則，
故選：C．
6．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】A
【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，所以，即.
又雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，所以，即，解得或（舍）.
故選：A.
7．已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是上的偶函數(shù)，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是奇函數(shù)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，合乎題意，所以，
則，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則.
故選：A.
8．如圖所示，直三棱柱是一塊石材，測(cè)量得，，，．若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為（ ）
A．，4B．，3C．，4D．，3
【答案】D
【解析】中，，，.
則斜邊的長(zhǎng)度為.
當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．
易知，設(shè)健身手球的半徑為，則，解得．
則健身手球的最大直徑為4．一個(gè)健身手球的最大體積.
直三棱柱的高，則由，
說(shuō)明直三棱柱的高最多能容納個(gè)球的直徑長(zhǎng)度，故加工成的健身手球的個(gè)數(shù)為.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．沿著下面左圖紙帶寬的三等分線(xiàn)（虛線(xiàn)）剪開(kāi)，不能得到的剪開(kāi)圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因?yàn)榧垘怯梢粋€(gè)長(zhǎng)方形紙條一端扭曲180°后粘貼而成封閉環(huán)，沿著三等分線(xiàn)剪開(kāi)時(shí)，會(huì)一次性剪完紙帶的所有三等分線(xiàn)．
所以剪開(kāi)圖是兩個(gè)套在一起的環(huán)，并且兩個(gè)環(huán)的寬度是原紙帶環(huán)寬度的.正確剪開(kāi)圖是B．
故選：ACD
10．函數(shù)，則（ ）
A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間為
C．最大值為D．有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，因的定義域?yàn)椋瑒t，故A正確；
對(duì)于B，由可得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；
對(duì)于C，由上分析，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由上分析，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
由零點(diǎn)存在定理，可知函數(shù)在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：ABD.
11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，是的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則直線(xiàn)的斜率為
B．
C．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
D．當(dāng)取最小值時(shí)，
【答案】ABD
【解析】依題意得，設(shè)直線(xiàn)：，
聯(lián)立得，則，
則，解得或，則，
或，則直線(xiàn)的斜率，故A項(xiàng)正確.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確.
因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.
，則，由拋物線(xiàn)的定義可得，
因?yàn)椋?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知的展開(kāi)式中的第2項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為198，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】60
【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
所以展開(kāi)式中第2項(xiàng)的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，解得．
令，得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
13．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關(guān).若茶水原來(lái)的溫度是，經(jīng)過(guò)分鐘后的溫度是，滿(mǎn)足，其中表示室溫，是由物體和空氣接觸狀況而定的常數(shù).在室溫恒為的房間中，已知一杯的茶水，測(cè)得溫度降到50℃需要10分鐘，則這杯茶水還需要繼續(xù)放置 分鐘，茶水溫度才降至35℃達(dá)到最佳飲用口感.
【答案】10
【解析】由題意溫度降到50℃時(shí)，
溫度降到35℃時(shí)，，
所以，所以，
,
14．對(duì)于函數(shù)，若存在使，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線(xiàn)的“優(yōu)美點(diǎn)”，已知．若曲線(xiàn)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】若函數(shù)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，將其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所得圖象的解析式為．
所以只要射線(xiàn)與的圖象有公共點(diǎn)即可，
由得，
所以有解.
由基本不等式可得時(shí)等號(hào)成立，
所以，
當(dāng)或時(shí)，,
所以的值域是.
所以，即．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿(mǎn)分13分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求的取值范圍.
【解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
故， …………………………2分
可得， …………………………3分
在中，，，
所以，，則， …………………………5分
所以. …………………………6分
（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），
所以，， …………………………7分
因?yàn)?，則，，
所以， …………………9分
因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得， ………………………11分
則，，故. …………………………13分
16．（本小題滿(mǎn)分15分）已知定義在上的函數(shù).
(1)若，判斷是否存在極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【解】（1）依題意可得，
，故， …………………………1分
設(shè)，則， …………………………2分
，
在上單調(diào)遞增， …………………………4分
，
在上單調(diào)遞增，無(wú)極小值點(diǎn)； …………………………6分
（2）令，可得，
所以與恰有兩個(gè)交點(diǎn)， …………………………7分
設(shè)，則， …………………………8分
令可得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 …………………………11分
， …………………………13分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， …………………………14分
的取值范圍是 …………………………15分
17．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，.
(1)證明：；
(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角最大時(shí)，求三棱臺(tái)的體積.
【解】（1）在三棱臺(tái)中，
取的中點(diǎn)，連接， …………………………1分
由，得，
由平面平面，平面平面，
平面，得平面，
而平面，則， …………………………3分
又，
則四邊形是菱形，， …………………………4分
而平面，
因此平面，又平面，
所以. …………………………5分
（2）取中點(diǎn)，則，
由平面平面，平面平面，
平面，則平面，直線(xiàn)兩兩垂直， ……………………6分
以點(diǎn)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，
， …………………………7分
設(shè)平面的法向量，則，
取，得， …………………………9分
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，
， …………………12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以三棱臺(tái)的體積
. …………………………15分
18．（本小題滿(mǎn)分17分）已知橢圓的焦距為，以橢圓短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)始終在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)分別交軸于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)證明：．
【解】（1）由橢圓短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
得，則， ………………………2分
所以橢圓的方程為. …………………………3分
（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，，， …………………4分
由點(diǎn)在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，
由消去得，
則，
， ………………………6分
直線(xiàn)方程為， …………………………7分
令，得
， ……………………10分
所以點(diǎn). …………………………11分
（3）由（2）知，，
， …………………………13分
由，
得， …………………………15分
因此，
所以. …………………………17分
19．（本小題滿(mǎn)分17分）在數(shù)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)放置一個(gè)機(jī)器人，它每過(guò)1秒都將以的概率向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，機(jī)器人每次經(jīng)過(guò)或3時(shí)都會(huì)向雷達(dá)發(fā)送一次信息，且雷達(dá)會(huì)瞬間收到.設(shè)事件表示“機(jī)器人的前 次移動(dòng)均未向雷達(dá)發(fā)送信息”.
(1)求，
(2)已知①②兩個(gè)結(jié)論：①；②設(shè)是一列無(wú)窮個(gè)事件，若存在正數(shù)，對(duì)于任意的均有，則“中只有有限個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率為1.
（i）證明：事件；“雷達(dá)會(huì)收到信息”的概率為1；
（ii）求機(jī)器人首次發(fā)送信息時(shí)所在位置為3的概率.
【解】（1）由題意，前2 次移動(dòng)向雷達(dá)發(fā)送信息，
則需要連續(xù)向左移動(dòng)2次，則， …………………………1分
若機(jī)器人經(jīng)過(guò)，則必不經(jīng)過(guò)3，包括：
前兩次都向左移動(dòng)1個(gè)單位；
先向左移動(dòng)1個(gè)單位，再向右移1個(gè)單位，再向左移動(dòng)2個(gè)單位；
先向右移動(dòng)1個(gè)單位，再向左移動(dòng)3個(gè)單位，
則其概率， …………………………3分
若機(jī)器人經(jīng)過(guò)3，則必不經(jīng)過(guò)，包括：前3次連續(xù)向右移動(dòng)，
則其概率，
故； …………………………5分
（2）（i），
因此， …………………………7分
，
，
對(duì)于一系列無(wú)窮事件，存在正數(shù)，
對(duì)于任意的n都有，， …………………………9分
則“中只有有限個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率為1，
即“中有事件不發(fā)生”的概率為1，即“雷達(dá)會(huì)收到信息”的概率為 ………………………10分
（ii）設(shè)事件機(jī)器人從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)至3首次發(fā)送信息，
根據(jù)（i），機(jī)器人發(fā)信息的概率為1，即它會(huì)從0運(yùn)動(dòng)至或3的概率為1，
再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，機(jī)器人初始位置為0，首次發(fā)信息在的概率與初始位置在1，
首次發(fā)信息在3的概率相等，即 ………………………11分
設(shè)事件表示點(diǎn)移動(dòng)到1，事件，表示點(diǎn)移動(dòng)到0，設(shè)事件表示點(diǎn)移動(dòng)到
易知事件與事件相互獨(dú)立，故 …………………………12分
又根據(jù)全概率公式，若機(jī)器人初始位置為0，
第一次移動(dòng)后的位置為1 或，故，
故，① …………………………14分
若機(jī)器人初始位置為，第一次移動(dòng)后的位置為0，故，
即，② …………………………16分
解①②，解得，
從而雷達(dá)第一次收到信息時(shí)機(jī)器人位置為3的概率為 …………………………17分

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