【蘇科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8082" 【易錯(cuò)篇】 PAGEREF _Tc8082 \h 1
\l "_Tc10635" 【考點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc10635 \h 1
\l "_Tc9735" 【考點(diǎn)2 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc9735 \h 2
\l "_Tc23055" 【考點(diǎn)3 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc23055 \h 2
\l "_Tc6002" 【考點(diǎn)4 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc6002 \h 3
\l "_Tc4363" 【考點(diǎn)5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc4363 \h 4
\l "_Tc5222" 【考點(diǎn)6 平方差公式】 PAGEREF _Tc5222 \h 4
\l "_Tc27021" 【考點(diǎn)7 平移】 PAGEREF _Tc27021 \h 5
\l "_Tc32099" 【考點(diǎn)8 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc32099 \h 6
\l "_Tc13619" 【考點(diǎn)9 旋轉(zhuǎn)】 PAGEREF _Tc13619 \h 7
\l "_Tc27706" 【考點(diǎn)10 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc27706 \h 8
\l "_Tc17010" 【壓軸篇】 PAGEREF _Tc17010 \h 10
\l "_Tc18897" 【考點(diǎn)11 冪的運(yùn)算的逆用】 PAGEREF _Tc18897 \h 10
\l "_Tc25043" 【考點(diǎn)12 多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】 PAGEREF _Tc25043 \h 10
\l "_Tc27357" 【考點(diǎn)13 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】 PAGEREF _Tc27357 \h 11
\l "_Tc2623" 【考點(diǎn)14 整式乘法中的規(guī)律性問題】 PAGEREF _Tc2623 \h 14
\l "_Tc13190" 【考點(diǎn)15 整式乘法中的恒成立問題】 PAGEREF _Tc13190 \h 15
\l "_Tc15514" 【考點(diǎn)16 利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案】 PAGEREF _Tc15514 \h 16
\l "_Tc276" 【考點(diǎn)17 多結(jié)論類問題】 PAGEREF _Tc276 \h 18
\l "_Tc2357" 【考點(diǎn)18 新定義類問題】 PAGEREF _Tc2357 \h 19
\l "_Tc21011" 【考點(diǎn)19 閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc21011 \h 20
【易錯(cuò)篇】
【考點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】
【例1】（24-25七年級(jí)·四川資陽·期末）計(jì)算?452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．?4C．5D．?5
【變式1-1】（24-25七年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5?a5=a25B．?5a5b52=?25a10b10
C．x2+x6=x8D．?m7÷?m2=?m5
【變式1-2】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×34a÷27b的值為 ．
【變式1-3】（24-25七年級(jí)·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b為整數(shù)，則24a?3b= ．
【考點(diǎn)2 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】
【例2】（24-25七年級(jí)·四川遂寧·期末）設(shè)xm?1yn+2?x5my2=x5y7，則?12mn的值為（ ）
A．?18B．?12C．1D．12
【變式2-1】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：?2a2b3??ab22+?12a2b32?4b，其中a=2，b=1．
【變式2-2】（24-25七年級(jí)·山東聊城·期末）若am+1bn+2??a2n?1b2m=?a3b5，則m+n的值為 .
【變式2-3】（24-25七年級(jí)·浙江金華·期中）如圖，在正方形內(nèi)，將2張①號(hào)長(zhǎng)方形紙片和3張②號(hào)長(zhǎng)方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長(zhǎng)相等．

（1）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為2厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為 厘米；
（2）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積為40平方厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積是 平方厘米．
【考點(diǎn)3 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】
【例3】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長(zhǎng)方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當(dāng)BC的長(zhǎng)變化時(shí)，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為 ．
【變式3-1】（24-25七年級(jí)·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2+5x+4恒成立，則a+b= ．
【變式3-2】（24-25七年級(jí)·湖南邵陽·期末）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，小麗在練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x3+4x2y?2x2”那么“■”中的一項(xiàng)是 ．
【變式3-3】（24-25七年級(jí)·湖南常德·期末）如圖，某校園的學(xué)子餐廳Wi?Fi密碼做成了數(shù)學(xué)題，小亮在餐廳就餐時(shí)，思索了會(huì)，輸入密碼，順利的連接到了學(xué)子餐廳的網(wǎng)絡(luò)．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數(shù)是 ．
【考點(diǎn)4 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】
【例4】（24-25七年級(jí)·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，若要拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b、寬為a+2b的長(zhǎng)方形，需要B類卡片（ ）
A．2張B．3張C．4張D．5張
【變式4-1】（24-25七年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）有一塊長(zhǎng)為(m+6)米（m為正數(shù)），寬為(m+3)米的長(zhǎng)方形土地，若把這塊地的長(zhǎng)增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（ ）
A．沒有變化B．變大了C．變小了D．無法確定
【變式4-2】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：12b2a?4b?2a+ba?b?2ab+1，且單項(xiàng)式xa+3y與?3xyb是同類項(xiàng)．
【變式4-3】（24-25七年級(jí)·福建福州·期末）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
我們發(fā)現(xiàn)，x+px+q=x2+p+qx+pq．這個(gè)規(guī)律可以利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
運(yùn)用規(guī)律
(1)如果x+3x?5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x?2．
①求a?3b?3的值；
②求1a2+1b2的值．
【考點(diǎn)5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年級(jí)·甘肅蘭州·期中）已知a2+b2+c2=2a?4b+6c?14， 則abc的值是（ ）
A．4B．?4C．8D．?8
【變式5-1】（24-25七年級(jí)·上海閔行·期中）如果關(guān)于x的整式9x2?2m?1x+14是某個(gè)整式的平方，那么m的值是 ．
【變式5-2】（24-25七年級(jí)·福建漳州·期中）若x，y是自然數(shù)，且滿足x2+y2=4x+2y?4，則x+y= ．
【變式5-3】（24-25七年級(jí)·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24，則(x?2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【考點(diǎn)6 平方差公式】
【例6】（24-25七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）某同學(xué)在計(jì)算3(4+1)(42+1)時(shí)，把3寫成4?1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：3(4+1)(42+1)=(4?1)(4+1)(42+1)=(42?1)(42+1)=162?1=255，請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【變式6-1】（24-25七年級(jí)·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy?x
C．x+y?x?yD．?x+yy?x
【變式6-2】（24-25七年級(jí)·福建泉州·期中）為了美化校園，學(xué)校把一個(gè)邊長(zhǎng)為ama>4的正方形跳遠(yuǎn)沙池的一組對(duì)邊各增加1m，另一組對(duì)邊各減少1m，改造成長(zhǎng)方形的跳遠(yuǎn)沙池．如果這樣，你覺得沙池的面積會(huì)（ ）
A．變小B．變大C．沒有變化D．無法確定
【變式6-3】（24-25七年級(jí)·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內(nèi)中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結(jié)構(gòu)外表是明二假三層，它的間架結(jié)構(gòu)復(fù)雜新穎、巧妙結(jié)合，采用了我國(guó)古建筑中的一種凹凸結(jié)合的連接方式——榫卯（sǔn mǎ）結(jié)構(gòu)，精密謹(jǐn)嚴(yán)天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個(gè)榫卯結(jié)構(gòu)的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個(gè)長(zhǎng)為2a+bcm，寬為2a?bcm的長(zhǎng)方形，中間鑿掉一個(gè)邊長(zhǎng)為acm的正方形，且該零件的高為acm．求這個(gè)零部件體積．

【考點(diǎn)7 平移】
【例7】（24-25七年級(jí)·廣東廣州·期中）現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形草地，需在其中修建一條路寬都相等的小路，下列四種設(shè)計(jì)方案中，修建小路后，有一個(gè)方案剩余的草坪（陰影部分）面積與其他三個(gè)方案的都不相等，則這個(gè)方案是（ ）
A．B．
C．D．
【變式7-1】（24-25七年級(jí)·安徽合肥·期末）日常生活情境：移動(dòng)儲(chǔ)物柜，小明沿墻挪動(dòng)墻角的三角儲(chǔ)物柜，示意圖如圖所示．則下列能表示平移距離的是（ ）
A．線段BC的長(zhǎng)B．線段BF的長(zhǎng)
C．線段CE的長(zhǎng)D．線段AD的長(zhǎng)
【變式7-2】（24-25七年級(jí)·陜西咸陽·期末）如圖，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，將三角形ABC沿BC方向平移acmay若這兩個(gè)正方形的面積之和為34，且BE=8，求圖中陰影部分的面積．
【變式13-1】（24-25七年級(jí)·北京·期中）長(zhǎng)方形窗戶ABCD（如圖1），是由上下兩個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形AEFD和長(zhǎng)方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個(gè)小窗戶上各安裝了一個(gè)可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個(gè)遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如圖1），若窗框的面積不計(jì)，則窗戶的透光面積就是整個(gè)長(zhǎng)方形窗戶（即長(zhǎng)方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶
的遮陽簾水平向左拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．
(1)求長(zhǎng)方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25BC處時(shí)，窗戶的透光面積恰好為長(zhǎng)方形窗戶ABCD面積的一半，求ab．
【變式13-2】（24-25七年級(jí)·福建福州·期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)上發(fā)揮著重要的作用．在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)谄磮D活動(dòng)中探尋整式的乘法的奧秘．
情境一如下圖，甲同學(xué)將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個(gè)圖形，請(qǐng)你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；
情境一

情境二乙同學(xué)用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個(gè)正方形，請(qǐng)直接寫出所拼正方形的邊長(zhǎng)（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數(shù)量；
情境二

情境三丙同學(xué)聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個(gè)面積為2a2+7ab+4b2的長(zhǎng)方形；丁同學(xué)認(rèn)為丙同學(xué)的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長(zhǎng)方形．
你贊同哪位同學(xué)的說法，請(qǐng)求出該情況下所拼長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，并畫出相應(yīng)的圖形．（要求：所畫圖形的長(zhǎng)、寬與圖樣一致，并標(biāo)注每一小塊的長(zhǎng)與寬）．
【變式13-3】（24-25七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）八年級(jí)數(shù)學(xué)老師在集體備課中，發(fā)現(xiàn)利用“面積法”說明整式的乘法有助于學(xué)生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學(xué)具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長(zhǎng)方形C），
(1)在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長(zhǎng)方形，利用“面積法”可以得出的整式乘法關(guān)系式為______
(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時(shí)則給同學(xué)們發(fā)了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長(zhǎng)方形C），并要求同學(xué)們用2張A，1張B和3張C拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，請(qǐng)你在框1中畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關(guān)系式補(bǔ)充完整；
框1
(3)小朱老師在設(shè)計(jì)本單元的階梯作業(yè)時(shí)，給出如圖2所示的示意圖，請(qǐng)結(jié)合圖例，在橫線上添加適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立?br>______+______=2a2+2b2
(4)小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知a+b2+a?b2=40，求2a+b的最大值，請(qǐng)認(rèn)真思考，并完成解答．
【考點(diǎn)14 整式乘法中的規(guī)律性問題】
【例14】（24-25七年級(jí)·四川眉山·期中）觀察下列各式：
(x?1)(x+1)=x2?1；
(x?1)(x2+x+1)=x3?1；
(x?1)(x3+x2+x+1)=x4?1；
…
根據(jù)規(guī)律計(jì)算： 22022?22021+22020?22019+……+24?23+22?2的值是（ ）
A．22023?23B．22023?1C．?22023
【變式14-1】（24-25七年級(jí)·廣西南寧·期中）閱讀：在計(jì)算x?1xn+xn?1+xn?2+…+x+1的過程中，我們可以先從簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【觀察】① x?1x+1=_____；
② x?1x2+x+1=_____；
③ x?1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x?1xn+xn?1+xn?2+…+x+1=__________；
(3)【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【變式14-2】（24-25七年級(jí)·廣東湛江·期末）觀察并驗(yàn)證下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)續(xù)寫等式：13+23+33+43+53=________；（寫出最后結(jié)果）
(2)我們已經(jīng)知道1+2+3+???+n=12n(n+1)，根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：13+23+33+???+(n?1)3+n3=________；（結(jié)果用因式乘積表示）
(3)利用（2）中得到的結(jié)論計(jì)算：
33+63+93+???+573+603；
【變式14-3】（24-25七年級(jí)·河南商丘·期末）日歷與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，日歷中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)問題.如圖，在2025年1月份的日歷中，兩個(gè)長(zhǎng)方形中四個(gè)角上的數(shù)字交叉相乘，再相減，例如7×20?6×21=________，11×16?9×18=________，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)請(qǐng)你再選擇兩個(gè)類似的長(zhǎng)方形框試一試，看看是否符合這個(gè)規(guī)律．
(3)若設(shè)每個(gè)方框的左上角數(shù)字設(shè)為n，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上的規(guī)律加以證明．
【考點(diǎn)15 整式乘法中的恒成立問題】
【例15】（24-25七年級(jí)·上?！て谥校﹎、n為正整數(shù)，如果?amn=?amn成立，那么（ ）
A．m必為奇數(shù)B．n必為奇數(shù)
C．m、n必同為奇數(shù)D．m、n必同為偶數(shù)
【變式15-1】（24-25七年級(jí)·安徽安慶·階段練習(xí)）若不論x為何值時(shí)，等式x2x+a+4x?3b=2x2+5x+6恒成立，則a= ，b= ．
【變式15-2】（24-25七年級(jí)·福建泉州·期中）若規(guī)定a、b兩數(shù)之間滿足一種運(yùn)算：記作a,b．即：若ac=b，則a,b=c．我們叫這樣的數(shù)對(duì)稱為“一青一對(duì)”．例如:因?yàn)?2=9，所以3，9=2．
（1）計(jì)算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)，若(42x?4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有兩個(gè)正整數(shù)解，則k的取值范圍是 ．
【變式15-3】（24-25七年級(jí)·浙江寧波·期末）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定：F(x，y)=(mx+ny)(3x?y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(xiàn)(?1,0)=3m．當(dāng)F(1,?1)=?8，F(xiàn)(1,2)=13，則F(x,y)= ；當(dāng)x2≠y2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對(duì)任意有理數(shù)x，y都成立，則m，n滿足的關(guān)系式是 ．
【考點(diǎn)16 利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案】
【例16】（24-25七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）實(shí)踐與操作：現(xiàn)有如圖①所示的兩種小正方形瓷磚（圖①中陰影正方形的邊長(zhǎng)是大正方形邊長(zhǎng)的一半），請(qǐng)從這兩種瓷磚中各選2塊，按下列要求拼鋪成一個(gè)新的圖案．（陰影部分用斜線畫）
(1)在圖②、圖③中各設(shè)計(jì)一種拼法，使圖②是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形，圖③是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形；
(2)在圖④、圖⑤中各設(shè)計(jì)一種拼法，使這兩個(gè)圖案都既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，且互不相同．（兩個(gè)圖案之間若能通過軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換相互得到，則視為相同圖案）
【變式16-1】（24-25七年級(jí)·貴州安順·期中）如圖，圖2中的圖案可以看作是由圖1中的基本圖案通過一定的圖形變換形成的，這個(gè)圖形變換不可能是（ ）
A．旋轉(zhuǎn)B．軸對(duì)稱C．平移D．軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)
【變式16-2】（2024·四川廣安·中考真題）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸對(duì)稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為要剪掉部分）
請(qǐng)?jiān)趫D中畫出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中要剪掉的兩個(gè)方格涂黑（每個(gè)3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）
【變式16-3】（24-25七年級(jí)·江蘇南京·期末）平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱是圖形運(yùn)動(dòng)的基本形式．圖（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格點(diǎn)上．
(1)如圖（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ經(jīng)過一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ經(jīng)過一次______得到（填“平移”“旋轉(zhuǎn)”或“軸對(duì)稱”）；
(2)如圖（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ經(jīng)過怎樣的圖形運(yùn)動(dòng)得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)；②1次軸對(duì)稱；③1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；④1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對(duì)稱．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【考點(diǎn)17 多結(jié)論類問題】
【例17】（24-25七年級(jí)·重慶·階段練習(xí)）已知a、b、c、d均為常數(shù)，e、f均為非零常數(shù)，若有兩個(gè)整式A=x2+ex+f，B=5x3?6x2+10=ax?13+bx?12+cx?1+d，下列結(jié)論中，正確個(gè)數(shù)為（ ）
①當(dāng)A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f=?10；
②當(dāng)多項(xiàng)式A?B乘積不含x4時(shí)，則e=6；
③a+b+c=19；
④當(dāng)A能被x?2整除時(shí)，2e+f=?4；
⑤若x=2m或m?2時(shí)，無論e和f取何值，A值總相等，則m=?2．
A．4B．3C．2D．1
【變式17-1】（24-25七年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）定義：如果2m=n（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作m=Dn．例如：因?yàn)?1=2，所以D2=1；因?yàn)?4=16，所以D16=4，D數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)： Ds·t=Ds+Dt，Dqp=Dq?Dp，其中q>p．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．D8=3
B．若D3=2，D5=a+b,D15=2a+2b
C．若Da=1，則Da3=3
D．若D3=2a?b，D5=a+b，則D53=?a+2b
【變式17-2】（24-25七年級(jí)·河北張家口·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了a+bnn=1,2,3,4,5,6的展開式的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，等等．
有如下兩個(gè)結(jié)論：
①a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②當(dāng)a=?2，b=1時(shí)，代數(shù)式a3+3a2b+3ab2+b3的值是?1；
上述結(jié)論中，正確的有 （寫出序號(hào)即可）．
【變式17-3】（24-25七年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若一個(gè)只含a字母的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)稱這為第二此操作，以此類推．
①將多項(xiàng)式(a2?1)以上述方式進(jìn)行2次操作后所得多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是5；
②將多項(xiàng)式(a2+2a)以上述方式進(jìn)行3次操作后，多項(xiàng)式的所有系數(shù)和為0；
③將多項(xiàng)式(a2+2a+1)以上述方式進(jìn)行4次操作后，當(dāng)a=2時(shí)，所得多項(xiàng)式的值為243；
④將多項(xiàng)式(a?1)以上述方式進(jìn)行n次操作后所得多項(xiàng)式為(a?1)(a+1)n?1；
四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考點(diǎn)18 新定義類問題】
【例18】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）定義一種新運(yùn)算，對(duì)任意數(shù)a，b，a△b=a2+b?3，例如：2△1=22+1?3，2x△y=2x2+y?3．
(1)設(shè)A=x△m?2x（m為常數(shù)）
①已知關(guān)于x的方程A=m?1x2?6為一元一次方程，求：m的值及方程的解．
②已知A與B為關(guān)于x的多項(xiàng)式，B=2△x，n的值滿足2n+2?2n+1=8，若A×B中不含一次項(xiàng)，求：3m?n的值．
(2)如果數(shù)對(duì)a,b滿足a△b=2b△2a，我們稱數(shù)對(duì)a,b為“嘉幸數(shù)”，已知數(shù)對(duì)2,m與1,n均為“嘉幸數(shù)”，求代數(shù)式4m+nm+n?2mn14m+4?m?n+12m2n?8n2+2024的值．
【變式18-1】（24-25七年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）規(guī)定兩正數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作a,b：如果ac=b，那么a,b=c．例如：因?yàn)?4=81，所以3,81=4．小慧在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：a,b+a,c=a,bc，例如：5,6+5,7=5,42．證明如下：設(shè)5,6=x,5,7=y,5,42=z，根據(jù)定義可得：5x=6,5y=7,5z=42，因?yàn)?x×5y=6×7=42=5z，所以5x×5y=5x+y=5z，即x+y=z，所以5,6+5,7=5,42．請(qǐng)根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算：
（1）4,2+4,32的值為 ；
（2）2×mn,2mn+mn,12m2n+mn,12m2n3的值為 ．
【變式18-2】（24-25七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期中）閱讀以下材料：
已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“幸福數(shù)對(duì)”，例如43×68=34×86=2924，所以43和68與34和86都是“幸福數(shù)對(duì)”.
解決如下問題：
(1)請(qǐng)判斷24與63是否是“幸福數(shù)對(duì)”？并說明理由：
(2)為探究“幸福數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“幸福數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，試說明a，b，c，d之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
(3)若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x2+x+1，個(gè)位數(shù)字為2x2+x+3；另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為2x2+x+5，個(gè)位數(shù)字為x2+x+2．若這兩個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)對(duì)”，求出這兩個(gè)兩位數(shù)．
【變式18-3】（24-25七年級(jí)·浙江寧波·期末）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定：F(x，y)=(mx+ny)(3x?y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(xiàn)(?1,0)=3m．當(dāng)F(1,?1)=?8，F(xiàn)(1,2)=13，則F(x,y)= ；當(dāng)x2≠y2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對(duì)任意有理數(shù)x，y都成立，則m，n滿足的關(guān)系式是 ．
【考點(diǎn)19 閱讀理解類問題】
【例19】（24-25七年級(jí)·上海閔行·期中）閱讀理解題
閱讀材料：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．
比如47×43，它們乘積的前兩位是4×4+1=20，它們乘積的后兩位是7×3=21，所以47×43=2021；
再如62×68，它們乘積的前兩位是6×6+1=42，它們乘積的后兩位是2×8=16，所以62×68=4216；
又如21×29，2×2+1=6，不足兩位，就將6寫在百位：1×9=9，不足兩位，就將9寫在個(gè)位，十位上寫0，所以21×29=609
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識(shí)說明其合理性；
設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字是b，（a、b表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為10a+b，另一因數(shù)可表示為10a+10?b．
兩數(shù)相乘可得：
(10a+b)[10a+(10?b)]
=100a2+10a(10?b)+10ab+b(10?b)
=100a2+100a?10ab+10ab+b(10?b)
=100a2+100a+b(10?b)
=100a(a+1)+b(10?b).
（注：其中aa+1表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，b10?b表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）
問題：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索該類乘法的速算方法，請(qǐng)以44×73為例寫出你的計(jì)算步驟；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是a，則該數(shù)可以表示為___________．
設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是b，則該數(shù)可以表示為___________．（a、b表示1~9的正整數(shù)）
（3）請(qǐng)針對(duì)問題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：100aa+1+b10?b的運(yùn)算式：____________________
【變式19-1】（24-25七年級(jí)·湖北十堰·期中）閱讀材料：31的末尾數(shù)字是3，32的末尾數(shù)字是9，33的末尾數(shù)字是7，34的末尾數(shù)字是1，35的末尾數(shù)字是3，，觀察規(guī)律，34n+1=(34)n×3，∵34的末尾數(shù)字是1，∴(34)n的末尾數(shù)字是1，∴(34)n×3的末尾數(shù)字是3，同理可知，34n+2的末尾數(shù)字是9，34n+3的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：
(1)32021的末尾數(shù)字是 ，142022的末尾數(shù)字是 ；
(2)求22022的末尾數(shù)字；
(3)求證：122024+372018能被5整除．
【變式19-2】（24-25七年級(jí)·福建龍巖·期末）在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中，用下圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．楊輝在注釋中提到，在他之前北宋數(shù)學(xué)家賈憲（1050年左右）也用過上述方法，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”或“賈憲三角”．楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每一個(gè)數(shù)為它上方（左右）兩數(shù)的和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了(a+b)n (n=1,2,3,4,5,6?)的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律．例如，此三角形中第三行的3個(gè)數(shù)1,2,1，恰好對(duì)應(yīng)著(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的各項(xiàng)系數(shù)，第四行的4個(gè)數(shù)1,3,3,1，恰好對(duì)應(yīng)著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的各項(xiàng)系數(shù)，等等．請(qǐng)依據(jù)上面介紹的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決下列問題：
（1）寫出(a+b)4的展開式；
（2）利用整式的乘法驗(yàn)證你的結(jié)論．
【變式19-3】（24-25七年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）【概念學(xué)習(xí)】
一個(gè)含有多個(gè)字母的代數(shù)式中，任意交換其中兩個(gè)字母的位置，當(dāng)字母的取值均不相等，且都不為0時(shí)，代數(shù)式的值不變，這樣的式子叫作對(duì)稱式．
【特例感知】
代數(shù)式m+n+p中任意兩個(gè)字母交換位置，可得到代數(shù)式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因?yàn)閚+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是對(duì)稱式．而交換式子m?n中字母m，n的位置，得到代數(shù)式n?m，因?yàn)閙?n≠n?m，所以m?n不是對(duì)稱式．
【問題解決】閱讀以上材料，解答下面的問題：
(1)下列代數(shù)式中是對(duì)稱式的有_____(填序號(hào))
①2m?2n?2p
②?2mn
③?2m?2n
④m?n2
(2)若關(guān)于m，n的代數(shù)式km?n2+km2?n2為對(duì)稱式，則k的值為_____；
(3)在(2)的條件下，已知上述對(duì)稱式km?n2+km2?n2=?10，且mn=1，求m?n2的值．
期中易錯(cuò)題壓軸題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【19大題型】
（考試范圍：第7~9章）
【蘇科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8082" 【易錯(cuò)篇】 PAGEREF _Tc8082 \h 1
\l "_Tc10635" 【考點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc10635 \h 1
\l "_Tc9735" 【考點(diǎn)2 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc9735 \h 3
\l "_Tc23055" 【考點(diǎn)3 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc23055 \h 5
\l "_Tc6002" 【考點(diǎn)4 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】 PAGEREF _Tc6002 \h 7
\l "_Tc4363" 【考點(diǎn)5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc4363 \h 10
\l "_Tc5222" 【考點(diǎn)6 平方差公式】 PAGEREF _Tc5222 \h 12
\l "_Tc27021" 【考點(diǎn)7 平移】 PAGEREF _Tc27021 \h 14
\l "_Tc32099" 【考點(diǎn)8 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc32099 \h 16
\l "_Tc13619" 【考點(diǎn)9 旋轉(zhuǎn)】 PAGEREF _Tc13619 \h 20
\l "_Tc27706" 【考點(diǎn)10 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc27706 \h 22
\l "_Tc17010" 【壓軸篇】 PAGEREF _Tc17010 \h 25
\l "_Tc18897" 【考點(diǎn)11 冪的運(yùn)算的逆用】 PAGEREF _Tc18897 \h 25
\l "_Tc25043" 【考點(diǎn)12 多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】 PAGEREF _Tc25043 \h 27
\l "_Tc27357" 【考點(diǎn)13 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】 PAGEREF _Tc27357 \h 31
\l "_Tc2623" 【考點(diǎn)14 整式乘法中的規(guī)律性問題】 PAGEREF _Tc2623 \h 38
\l "_Tc13190" 【考點(diǎn)15 整式乘法中的恒成立問題】 PAGEREF _Tc13190 \h 43
\l "_Tc15514" 【考點(diǎn)16 利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案】 PAGEREF _Tc15514 \h 45
\l "_Tc276" 【考點(diǎn)17 多結(jié)論類問題】 PAGEREF _Tc276 \h 49
\l "_Tc2357" 【考點(diǎn)18 新定義類問題】 PAGEREF _Tc2357 \h 54
\l "_Tc21011" 【考點(diǎn)19 閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc21011 \h 59
【易錯(cuò)篇】
【考點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】
【例1】（24-25七年級(jí)·四川資陽·期末）計(jì)算?452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．?4C．5D．?5
【答案】A
【分析】本題主要考查積的乘方，同底數(shù)冪相乘，解答的關(guān)鍵是掌握積的乘方，同底數(shù)冪相乘法則的逆用．
先逆用同底數(shù)冪相乘將?452024化成452023×45，再逆用積的乘方法則計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：?452024×1.252023×5
=452023×45×542023×5
=45×542023×45×5
=1×45×5
=1×45×5
=4．
故選：A．
【變式1-1】（24-25七年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5?a5=a25B．?5a5b52=?25a10b10
C．x2+x6=x8D．?m7÷?m2=?m5
【答案】D
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算，積的乘方，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)運(yùn)算法則逐一運(yùn)算判斷即可．
【詳解】解：A：a5?a5=a10，故A錯(cuò)誤；
B：?5a5b52=25a10b10，故B錯(cuò)誤；
C：x2+x6=x2+x6，故C錯(cuò)誤；
D：?m7÷?m2=?m5，故D正確；
故選：D．
【變式1-2】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×34a÷27b的值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了代數(shù)式求值，同底數(shù)冪乘除法，冪的乘方的逆運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．由題意可得4a?3b=?1，再將32×34a÷27b變形為32+4a?3b，即可計(jì)算求值．
【詳解】解：∵4a?3b+1=0，
∴4a?3b=?1，
∴32×34a÷33b=32×34a÷33b=32+4a?3b=3，
故答案為：3．
【變式1-3】（24-25七年級(jí)·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b為整數(shù)，則24a?3b= ．
【答案】94
【分析】本題考查了同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算，積的乘方的逆運(yùn)算，由同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算可得24a?3b=24a÷23b，進(jìn)而利用積的乘方的逆運(yùn)算計(jì)算即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：24a?3b=24a÷23b=4a2÷8b=62÷16=94，
故答案為：94．
【考點(diǎn)2 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】
【例2】（24-25七年級(jí)·四川遂寧·期末）設(shè)xm?1yn+2?x5my2=x5y7，則?12mn的值為（ ）
A．?18B．?12C．1D．12
【答案】A
【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題關(guān)鍵．
先根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則列出關(guān)于m、n的方程，進(jìn)而求得m、n的值，最后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵xm?1yn+2?x5my2=xm?1+5m?yn+2+2=x6m?1?yn+4=x5y7，
∴6m?1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，
∴?12mn=?12×13=?123=?18．
故選：A．
【變式2-1】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：?2a2b3??ab22+?12a2b32?4b，其中a=2，b=1．
【答案】?a4b7，-16．
【分析】先化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)=2，b=1代入求解即可．
【詳解】解：原式=?2a2b3?a2b4+14a4b6?4b=?2a4b7+a4b7=?a4b7．
當(dāng)a=2，b=1時(shí)，原式=?a4b7=?24×17=?16．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是正確的化簡(jiǎn)．
【變式2-2】（24-25七年級(jí)·山東聊城·期末）若am+1bn+2??a2n?1b2m=?a3b5，則m+n的值為 .
【答案】2
【分析】先把左邊根據(jù)單項(xiàng)式的乘法法則化簡(jiǎn)，再與右邊比較，求出m、n的值，然后代入m+n計(jì)算即可.
【詳解】∵am+1bn+2??a2n?1b2m=?a3b5，
∴?am+2nb2m+n+2=?a3b5，
∴m+2n=32m+n+2=5，
解之得
m=1n=1，
∴m+n=1+1=2.
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵.
【變式2-3】（24-25七年級(jí)·浙江金華·期中）如圖，在正方形內(nèi)，將2張①號(hào)長(zhǎng)方形紙片和3張②號(hào)長(zhǎng)方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長(zhǎng)相等．

（1）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為2厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為 厘米；
（2）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積為40平方厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積是 平方厘米．
【答案】 4 803
【分析】（1）根據(jù)正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長(zhǎng)相等可得②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬的2倍，進(jìn)而計(jì)算即可；
（2）觀察圖形，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬的2倍，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)的3倍是①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）由圖知，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為2×2=4（厘米），
故答案為：4；
（2）設(shè)①長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a，寬為b，則ab=40，
由圖知，②長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為13a，寬為2a，
∴②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積是13a?2a=23ab=23×40=803（平方厘米），
故答案為：803．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法運(yùn)算的應(yīng)用，利用圖形，正確列出式子是解答的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】
【例3】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長(zhǎng)方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當(dāng)BC的長(zhǎng)變化時(shí)，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為 ．
【答案】1：3
【分析】根據(jù)題意和圖形，設(shè)BC的長(zhǎng)為x，則可以表示出左上角與右下角的陰影部分的面積的差，然后再根據(jù)左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，即可得到b：a的值．
【詳解】設(shè)BC的長(zhǎng)為x，
左上角與右下角的陰影部分的面積的差為：
（x﹣a）?3b﹣（x﹣4b）?a
＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab
＝（3b﹣a）x+ab，
∵左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，
∴3b﹣a＝0，
解得a=3b，
∴b：a=1：3
故答案為：1：3．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，關(guān)鍵是表示出兩個(gè)陰影部分的面積，并能正確進(jìn)行整式的加減運(yùn)算．
【變式3-1】（24-25七年級(jí)·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2+5x+4恒成立，則a+b= ．
【答案】0
【分析】將等式左邊按照單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，整理后形式和等式右邊一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
∵等式左邊=x2+ax+3x?2b=x2+a+3x?2b，
∴x2+a+3x?2b=x2+5x+4，
∴a+3=5,?2b=4，
解得：a=2,b=?2，
∴a+b=2+?2=0．
故答案為：0
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的運(yùn)算，掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，合并同類項(xiàng)即可求出結(jié)果，也是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（24-25七年級(jí)·湖南邵陽·期末）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，小麗在練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x3+4x2y?2x2”那么“■”中的一項(xiàng)是 ．
【答案】2y
【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算?6x3+4x2y?2x2÷?2x2即可得出“■”中的項(xiàng)，然后利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可．
【詳解】解：∵?6x3+4x2y?2x2÷?2x2
=?6x3÷?2x2+4x2y÷?2x2?2x2÷?2x2
=3x?2y＋1
即?2x2（3x?2y+1）=?6x3+4x2y?2x2 ，
∴“■”中的一項(xiàng)是2y．
故答案為：2y．
【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
【變式3-3】（24-25七年級(jí)·湖南常德·期末）如圖，某校園的學(xué)子餐廳Wi?Fi密碼做成了數(shù)學(xué)題，小亮在餐廳就餐時(shí)，思索了會(huì)，輸入密碼，順利的連接到了學(xué)子餐廳的網(wǎng)絡(luò)．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數(shù)是 ．
【答案】70
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)已知等式找出規(guī)律，再設(shè)等式左邊三個(gè)數(shù)分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，據(jù)此求出ab+c的值即可得．
【詳解】解：由第1個(gè)等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2，
由第2個(gè)等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4，
由第3個(gè)等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3，
由第4個(gè)等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5，
設(shè)等式左邊三個(gè)數(shù)分別為a,b,c，
則ab=28，ac=42，
所以被隱藏的兩位數(shù)是ab+c=ab+ac=28+42=70，
故答案為：70．
【考點(diǎn)4 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】
【例4】（24-25七年級(jí)·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，若要拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b、寬為a+2b的長(zhǎng)方形，需要B類卡片（ ）
A．2張B．3張C．4張D．5張
【答案】D
【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求出拼成的長(zhǎng)方形的面積，從而可得所用的B類卡片的總面積，由此即可得．
【詳解】解：由題意得：拼成的長(zhǎng)方形的面積為：
2a+ba+2b
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2，
∵1張B類卡片的面積為ab，
∴需要B類卡片的張數(shù)為5ab÷ab=5（張），
故選：D．
【變式4-1】（24-25七年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）有一塊長(zhǎng)為(m+6)米（m為正數(shù)），寬為(m+3)米的長(zhǎng)方形土地，若把這塊地的長(zhǎng)增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（ ）
A．沒有變化B．變大了C．變小了D．無法確定
【答案】C
【分析】本題考查了整式乘法和加減的運(yùn)用，由題意得，新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m+7米，寬為m+2米，分別求出新長(zhǎng)方形和原長(zhǎng)方形的面積，再用作差法比較即可求解，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m+7米，寬為m+2米，
∴新長(zhǎng)方形的面積為m+7m+2=m2+2m+7m+14=m2+9m+14平方米，
原長(zhǎng)方形的面積為m+6m+3=m2+3m+6m+18=m2+9m+18，
∵m2+9m+18?m2+9m+14=4>0，
∴與原來相比，這塊土地的面積變小了，
故選：C．
【變式4-2】（24-25七年級(jí)·四川成都·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：12b2a?4b?2a+ba?b?2ab+1，且單項(xiàng)式xa+3y與?3xyb是同類項(xiàng)．
【答案】?b2?2a2?2，?11
【分析】本題考查了整式的乘法，求代數(shù)式的值，同類項(xiàng)的定義；先按照整式乘法法則展開，再合并同類項(xiàng)，得?b2?2a2?2，結(jié)合單項(xiàng)式xa+3y與?3xyb是同類項(xiàng)，得出a+3=1,b=1，即a=?2，代入?b2?2a2?2進(jìn)行計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：12b2a?4b?2a+ba?b?2ab+1
=ab?2b2?2a2?2ab+ab?b2?2ab?2
=ab?2b2?2a2?ab?b2?2ab?2
=ab?2b2?2a2+ab+b2?2ab?2
=?b2?2a2?2；
∵xa+3y與?3xyb是同類項(xiàng)，
∴a+3=1，b=1，
即a=?2，
∴?b2?2a2?2=?12?2×?22?2=?1?8?2=?11．
【變式4-3】（24-25七年級(jí)·福建福州·期末）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
我們發(fā)現(xiàn)，x+px+q=x2+p+qx+pq．這個(gè)規(guī)律可以利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
運(yùn)用規(guī)律
(1)如果x+3x?5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x?2．
①求a?3b?3的值；
②求1a2+1b2的值．
【答案】(1)?2，?15
(2)①?2；②134
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可求解；
（2）①由多項(xiàng)式的乘法法則可得a+b=3，ab=?2，再把值代入a?3b?3展開后的結(jié)果中計(jì)算即可求解；②先通分，再利用積的乘法的逆運(yùn)算及完全平方公式的變形運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后把①所得值代入計(jì)算即可求解；
本題考查了分式的求值，整式的運(yùn)算，掌握分式和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵x+3x?5=x2+mx+n，
∴m=3+?5=?2，n=3×?5=?15，
故答案為：?2，?15；
（2）解：①∵x+ax+b=x2+3x?2，
∴a+b=3，ab=?2，
∴a?3b?3
=ab?3a?3b+9
=ab?3a+b+9
=?2?3×3+9
=?2；
②1a2+1b2
=b2+a2a2b2
=a+b2?2abab2
=32?2×?2?22
=9??44
=134．
【考點(diǎn)5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年級(jí)·甘肅蘭州·期中）已知a2+b2+c2=2a?4b+6c?14， 則abc的值是（ ）
A．4B．?4C．8D．?8
【答案】D
【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．先將a2+b2+c2=2a?4b+6c?14變形化為a?12+b+22+c?32=0，即可得到a?1=0,b+2=0,c?3=0，求出a,b,c即可求解abc．
【詳解】解：∵a2+b2+c2=2a?4b+6c?14，
∴a2+b2+c2?2a+4b?6c+14=0
a?12+b+22+c?32=0，
∵a?12≥0,b+22≥0,c?32≥0，
∴a?1=0,b+2=0,c?3=0，
解得：a=1,b=?2,c=3，
∴abc=1×?23=?8，
故選：D．
【變式5-1】（24-25七年級(jí)·上海閔行·期中）如果關(guān)于x的整式9x2?2m?1x+14是某個(gè)整式的平方，那么m的值是 ．
【答案】2或?1
【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)9x2?2m?1x+14是某個(gè)整式的平方，得到9x2?2m?1x+14=3x±122，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵9x2?2m?1x+14是某個(gè)整式的平方，
∴9x2?2m?1x+14=3x±122，
∴2m?1=±2×3×12=±3，
∴m=2或m=?1；
故答案為：2或?1．
【變式5-2】（24-25七年級(jí)·福建漳州·期中）若x，y是自然數(shù)，且滿足x2+y2=4x+2y?4，則x+y= ．
【答案】2或4
【分析】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式變形，再結(jié)合x， y是自然數(shù)討論即可．
【詳解】解：∵x2+y2=4x+2y?4，
∴x2+y2?4x?2y+4=0，
∴x2?4x+4+y2?2y+1=1，
∴x?22+y?12=1，
∵x， y是自然數(shù)，
∴x?22=0 y?12=1或x?22=1 y?12=0．
∴x?2=0，y?1=1，或x?2=0，y?1=?1，
x?2=1，y?1=0，或x?2=?1，y?1=0，．
當(dāng)x?2=0，y?1=1，時(shí)，
解得：x=2，y=2，
x+y=2+2=4，
當(dāng)x?2=0，y?1=?1，時(shí)，
解得：x=2，y=0，
x+y=2+0=2，
當(dāng)x?2=1，y?1=0，時(shí)，
解得：x=3，y=1，
x+y=3+1=4，
當(dāng)x?2=?1，y?1=0，時(shí)，
解得：x=1，y=1，
x+y=1+1=2，
故答案為：2或4．
【變式5-3】（24-25七年級(jí)·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24，則(x?2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【答案】B
【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意巧妙構(gòu)造(x?2024)2，再利用完全平方公式展開，合并同類項(xiàng)后即可得到答案．
【詳解】解：已知(x?2023)2+(x?2025)2=24，
則[(x?2024)+1]2+[(x?2024)?1]2=24，
那么(x?2024)2+2(x?2024)+1+(x?2024)2?2(x?2024)+1=24，
整理得：2(x?2024)2=22，
則(x?2024)2=11，
故選：B．
【考點(diǎn)6 平方差公式】
【例6】（24-25七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）某同學(xué)在計(jì)算3(4+1)(42+1)時(shí)，把3寫成4?1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：3(4+1)(42+1)=(4?1)(4+1)(42+1)=(42?1)(42+1)=162?1=255，請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【答案】2
【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2×1?12之后，連續(xù)使用平方差公式進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：1+121+1221+1241+128+1215
=2×1?121+121+1221+1241+128+1215
=2×1?1216+1215
=2?1215+1215
=2，
故答案為：2．
【變式6-1】（24-25七年級(jí)·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy?x
C．x+y?x?yD．?x+yy?x
【答案】B
【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，根據(jù)整式乘法及平方差公式逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、x+yx+y2=x+y3，不能用平方差公式計(jì)算，該選項(xiàng)不合題意；
B、x+yy?x=?x+yx?y=?x2?y2，能用平方差公式計(jì)算，該選項(xiàng)符合題意；
C、x+y?x?y=?x+yx+y=?x+y2，不能用平方差公式計(jì)算，該選項(xiàng)不合題意；
D、?x+yy?x=y?xy?x=y?x2，不能用平方差公式計(jì)算，該選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【變式6-2】（24-25七年級(jí)·福建泉州·期中）為了美化校園，學(xué)校把一個(gè)邊長(zhǎng)為ama>4的正方形跳遠(yuǎn)沙池的一組對(duì)邊各增加1m，另一組對(duì)邊各減少1m，改造成長(zhǎng)方形的跳遠(yuǎn)沙池．如果這樣，你覺得沙池的面積會(huì)（ ）
A．變小B．變大C．沒有變化D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示變化前后的面積是正確解答的前提．
用代數(shù)式表示變化前后的面積，比較得出答案．
【詳解】解：由題意得正方形跳遠(yuǎn)沙池的面積為a2m2，長(zhǎng)方形跳遠(yuǎn)沙池的面積為(a+1)(a?1)=(a2?1)m2，
因?yàn)閍2?1?a2=?1b>0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如圖1），若窗框的面積不計(jì)，則窗戶的透光面積就是整個(gè)長(zhǎng)方形窗戶（即長(zhǎng)方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶
的遮陽簾水平向左拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．
(1)求長(zhǎng)方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25BC處時(shí)，窗戶的透光面積恰好為長(zhǎng)方形窗戶ABCD面積的一半，求ab．
【答案】(1)2a2+6ab+4b2
(2)65
【分析】（1）先將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬表示出來，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式，即可求解；
（3）求出透光部分的面積，再根據(jù)窗戶的透光面積恰好為長(zhǎng)方形窗戶ABCD面積的一半，得出等式，即可求出ab的值．
本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)圖形列出式子進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由題知：AE=DF=a，EB=FC=2b，AG=BP=2a，GD=PC=2b，
∴AB=AE+EB=a+2b，AD=AG+GD=2a+2b，
∴S長(zhǎng)方形ABCD=AB?AD
=a+2b2a+2b
=2a2+2ab+4ab+4b2
=2a2+6ab+4b2，
∴長(zhǎng)方形窗戶ABCD的總面積為2a2+6ab+4b2．
（2）解：根據(jù)題意可得AD=BC，
∵AG=23AD，
∴GD=13AD，
∵CP=25BC，
∴BP=35BC，
∴S透光=S長(zhǎng)方形GHFD+S長(zhǎng)方形EBPQ
=GD?DF+BP?EB
=13AD?DF+35BC?EB
=13AD?DF+35AD?EB
=AD13DF+35EB．
∵S透光=12S長(zhǎng)方形ABCD=12AD?AB，
∴AD13DF+35EB=12AD?AB，
∴13DF+35EB=12AB，
∴13a+35?2b=12a+2b，
∴13a+65b=12a+b，
∴16a=15b，
∴ab=65．
【變式13-2】（24-25七年級(jí)·福建福州·期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)上發(fā)揮著重要的作用．在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)谄磮D活動(dòng)中探尋整式的乘法的奧秘．
情境一如下圖，甲同學(xué)將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個(gè)圖形，請(qǐng)你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；
情境一

情境二乙同學(xué)用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個(gè)正方形，請(qǐng)直接寫出所拼正方形的邊長(zhǎng)（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數(shù)量；
情境二

情境三丙同學(xué)聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個(gè)面積為2a2+7ab+4b2的長(zhǎng)方形；丁同學(xué)認(rèn)為丙同學(xué)的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長(zhǎng)方形．
你贊同哪位同學(xué)的說法，請(qǐng)求出該情況下所拼長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，并畫出相應(yīng)的圖形．（要求：所畫圖形的長(zhǎng)、寬與圖樣一致，并標(biāo)注每一小塊的長(zhǎng)與寬）．
【答案】情境一：a+ba?b=a2?b2；情境二：所拼正方形的邊長(zhǎng)為a+2b，所用C木片的數(shù)量為4；情境三：贊同丁同學(xué)的說法，該情況下所拼長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2a+4b，寬為a+b，長(zhǎng)方形如圖
【分析】情境一：設(shè)等腰梯形的高為?，可求?=a?b2，分別表示出圖1和圖2的面積，即可求解；
情境二：可得a2+4ab+mb2，由拼成了一個(gè)正方形可得，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；
情境三：能構(gòu)成長(zhǎng)方形，則2a2+7ab+4b2要能進(jìn)行分解，故去掉1個(gè)ab后即可進(jìn)行因式分解，從而可求解．
【詳解】解：情境一
如圖，設(shè)等腰梯形的高為?，
∴2?+b=a，
∴?=a?b2，
∴圖1的面積： S1=4×12a+b×a?b2
=a+ba?b，
圖2的面積：S2=a2?b2，
∵S1=S2，
∴ a+ba?b=a2?b2，
故可得到的乘法公式為：a+ba?b=a2?b2；
情境二
a2+4ab+mb2，
∵拼成了一個(gè)正方形，
∴當(dāng)m=4時(shí)，
a2+4ab+4b2=a+2b2，
∴所拼正方形的邊長(zhǎng)為a+2b，所用C木片的數(shù)量為4；
情境三
贊同丁同學(xué)的說法；
去掉1個(gè)C以后，
2a2+6ab+4b2
=a+b2a+4b，
∴該情況下所拼長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2a+4b，寬為a+b，
長(zhǎng)方形如圖：

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的幾何意義，等積轉(zhuǎn)換，掌握等積轉(zhuǎn)換的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式13-3】（24-25七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）八年級(jí)數(shù)學(xué)老師在集體備課中，發(fā)現(xiàn)利用“面積法”說明整式的乘法有助于學(xué)生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學(xué)具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長(zhǎng)方形C），
(1)在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長(zhǎng)方形，利用“面積法”可以得出的整式乘法關(guān)系式為______
(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時(shí)則給同學(xué)們發(fā)了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長(zhǎng)方形C），并要求同學(xué)們用2張A，1張B和3張C拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，請(qǐng)你在框1中畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關(guān)系式補(bǔ)充完整；
框1
(3)小朱老師在設(shè)計(jì)本單元的階梯作業(yè)時(shí)，給出如圖2所示的示意圖，請(qǐng)結(jié)合圖例，在橫線上添加適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立?br>______+______=2a2+2b2
(4)小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知a+b2+a?b2=40，求2a+b的最大值，請(qǐng)認(rèn)真思考，并完成解答．
【答案】(1)aa+b=a2+ab
(2)a+b2a+b
(3)a+b2+a?b2
(4)10
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與幾何圖形的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，掌握多項(xiàng)式的乘法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形用兩種方法表示面積即可；
（2）根據(jù)（1）種方法畫圖，并表示面積即可；
（3）根據(jù)圖形的拼接得到等式即可；
（4）先化簡(jiǎn)得到a2+b2=20，然后設(shè)2a+b=m，則有b=m?2a，代入配方得到5(a?25m)2=20?15m2，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性得到=20?15m2≥0，解題即可．
【詳解】（1）解：aa+b=a2+ab；
（2）如圖，
式子為：(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2；
故答案為：a+b，2a+b；
（3）如圖，根據(jù)面積可得(a?b)2+(a+b)2=2a2+2b2，
故答案為：(a?b)2，(a+b)2；
（4）解：∵a+b2+a?b2=40，
∴a2+2ab+b2+a2?2ab+b2=40
∴2a2+2b2=40，即a2+b2=20，
設(shè)2a+b=m，
∴b=m?2a，
∴a2+(m?2a)2=20，
即5a2?4ma+m2?20=0，
∴5(a?25m)2=20?15m2，
∴20?15m2≥0，
解得：?10≤m≤10，
∴2a+b的最大值為10．
【考點(diǎn)14 整式乘法中的規(guī)律性問題】
【例14】（24-25七年級(jí)·四川眉山·期中）觀察下列各式：
(x?1)(x+1)=x2?1；
(x?1)(x2+x+1)=x3?1；
(x?1)(x3+x2+x+1)=x4?1；
…
根據(jù)規(guī)律計(jì)算： 22022?22021+22020?22019+……+24?23+22?2的值是（ ）
A．22023?23B．22023?1C．?22023
【答案】A
【分析】根據(jù)題中規(guī)律每一個(gè)式子的結(jié)果等于兩項(xiàng)的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個(gè)因式中第一項(xiàng)大1，減數(shù)都為1，即可得到規(guī)律為(x?1)(xn+xn?1+xn?2+?+x3+x2+x+1)=xn+1?1，利用規(guī)律，當(dāng)x=?2，n=2022時(shí)，代入其中即可求解．
本題考查了平方差公式、及數(shù)字類的規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀，總結(jié)規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題．
【詳解】解：由(x?1)(x+1)=x2?1；
(x?1)(x2+x+1)=x3?1；
(x?1)(x3+x2+x+1)=x4?1；
…
觀察發(fā)現(xiàn)： (x?1)(xn+xn?1+xn?2+?+x3+x2+x+1)=xn+1?1，
當(dāng)x=?2，n=2022時(shí)，得
(?2?1)(22022?22021+22020?22019?+24?23+22?2+1)=(?2)2023?1，
∴22022?22021+22020?22019?+24?23+22?2+1=(?2)2023?1?3=?22023?1?3=22023+13，
∴22022?22021+22020?22019?+24?23+22?2=22023+13?1=22023?23．
故選：A．
【變式14-1】（24-25七年級(jí)·廣西南寧·期中）閱讀：在計(jì)算x?1xn+xn?1+xn?2+…+x+1的過程中，我們可以先從簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【觀察】① x?1x+1=_____；
② x?1x2+x+1=_____；
③ x?1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x?1xn+xn?1+xn?2+…+x+1=__________；
(3)【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【答案】(1)x2?1；x3?1；x4?1
(2)xn+1?1
(3)52025?14
【分析】此題主要考查了平方差公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及數(shù)字變化規(guī)律，正確得出式子之間的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵
（1）利用平方差公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算即可；
（2）利用（1）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；
（3）設(shè)x=5,n=2024，則5?152024+52023+52022+?+5+1=52025?1，即可求解．
【詳解】（1）解：x?1x+1=x2?1；
x?1x2+x+1=xx2+x+1?x2+x+1=x3+x2+x?x2?x?1=x3?1；
x?1x3+x2+x+1=xx3+x2+x+1?x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x?x3?x2?x?1=x4?1，
故答案為：x2?1；x3?1；x4?1；
（2）解：（1）總結(jié)得到，x?1xn+xn?1+xn?2+?+x+1=xn+1?1，
故答案為：xn+1?1；
（3）解： 設(shè)x=5,n=2024，
根據(jù)x?1xn+xn?1+xn?2+?+x+1=xn+1?1
則5?152024+52023+52022+?+5+1=52025?1，
∴52024+52023+52022+52021+…+5+1=52025?14．
【變式14-2】（24-25七年級(jí)·廣東湛江·期末）觀察并驗(yàn)證下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)續(xù)寫等式：13+23+33+43+53=________；（寫出最后結(jié)果）
(2)我們已經(jīng)知道1+2+3+???+n=12n(n+1)，根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：13+23+33+???+(n?1)3+n3=________；（結(jié)果用因式乘積表示）
(3)利用（2）中得到的結(jié)論計(jì)算：
33+63+93+???+573+603；
【答案】(1)225
(2)14n2(n+1)2
(3)1190700
【分析】本題主要考查了自然數(shù)立方和公式推導(dǎo)及應(yīng)用，掌握自然數(shù)列和公式，自然數(shù)平方和公式，自然數(shù)立方和推導(dǎo)過程，數(shù)字的變化類是解題關(guān)鍵．
（1）直接根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求解；
（2）直接根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求解；
（3）先按積的乘方分出27，提公因式27，再按給出的規(guī)律即可求解
【詳解】（1）解：原式=(1+2+3+4+5)2=152=225，
故答案為：225；
（2）解：原式=1+2+3+?+n?1+n2=12n(n+1)2=14n2(n+1)2，
故答案為：14n2(n+1)2；
（3）解：原式=(3×1)3+(3×2)3+(3×3)3+???+(3×20)3
=27×13+27×23+27×33+???+27×203
=27(13+23+33+???+203)
=27(1+2+3+?+20)2
=27×14×202×212
=27×44100
=1190700．
【變式14-3】（24-25七年級(jí)·河南商丘·期末）日歷與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，日歷中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)問題.如圖，在2025年1月份的日歷中，兩個(gè)長(zhǎng)方形中四個(gè)角上的數(shù)字交叉相乘，再相減，例如7×20?6×21=________，11×16?9×18=________，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)請(qǐng)你再選擇兩個(gè)類似的長(zhǎng)方形框試一試，看看是否符合這個(gè)規(guī)律．
(3)若設(shè)每個(gè)方框的左上角數(shù)字設(shè)為n，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上的規(guī)律加以證明．
【答案】(1)14；14；14
(2)見解析
(3)見解析
【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)所給算式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）選擇兩個(gè)類似的長(zhǎng)方形框試一試即可；
（3）表示出各個(gè)角上的數(shù)字，再根據(jù)“右上角×左下角-左上角×右下角=14”寫出規(guī)律；利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：7×20?6×21=140?126=14，
11×16?9×18=176?162=14
不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是14，
故答案為：14；14；14；
（2）解：如圖：
14×27?13×28=378?364=14，
18×23?16×25=414?400=14，
結(jié)果都是14；符合規(guī)律；
（3）解：①設(shè)左上角的數(shù)字為n，則右上角的數(shù)字為n+2，
左下角的數(shù)字為n+7，右下角的數(shù)字為n+9．
發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是n+2n+7?nn+9=14．
證明：n+2n+7?nn+9
=n2+9n+14?n2?9n
=14；
②設(shè)左上角的數(shù)字為n，則右上角的數(shù)字為n+1，
左下角的數(shù)字為n+14，右下角的數(shù)字為n+15．
發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是n+1n+14?nn+14=14．
證明：n+1n+14?nn+15
=n2+15n+14?n2?15n
=14．
【考點(diǎn)15 整式乘法中的恒成立問題】
【例15】（24-25七年級(jí)·上?！て谥校﹎、n為正整數(shù)，如果?amn=?amn成立，那么（ ）
A．m必為奇數(shù)B．n必為奇數(shù)
C．m、n必同為奇數(shù)D．m、n必同為偶數(shù)
【答案】B
【分析】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，根據(jù)積的乘方計(jì)算法則得到?amn=?1namn=?amn，則?1n=?1，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵?amn=?1namn=?amn，
∴?1n=?1，
∴n必為奇數(shù)，
故選：B．
【變式15-1】（24-25七年級(jí)·安徽安慶·階段練習(xí)）若不論x為何值時(shí)，等式x2x+a+4x?3b=2x2+5x+6恒成立，則a= ，b= ．
【答案】 1 ?2
【分析】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式加減運(yùn)算中的恒等問題，將等式左邊的多項(xiàng)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)后，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵x2x+a+4x?3b=2x2+a+4x?3b=2x2+5x+6恒成立，
∴a+4=5,?3b=6,
∴a=1,b=?2．
故答案為：1，?2．
【變式15-2】（24-25七年級(jí)·福建泉州·期中）若規(guī)定a、b兩數(shù)之間滿足一種運(yùn)算：記作a,b．即：若ac=b，則a,b=c．我們叫這樣的數(shù)對(duì)稱為“一青一對(duì)”．例如:因?yàn)?2=9，所以3，9=2．
（1）計(jì)算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)，若(42x?4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有兩個(gè)正整數(shù)解，則k的取值范圍是 ．
【答案】 4，6 1≤k1，則4k2x?4t≥t，得出4k2x?4≥1，得出2x?4≤4k，x≤2k+2；得出x>2，k>0，即可得出答案．
【詳解】解：（1）設(shè)4,2=x，4,3=y，
則4x=2，4y=3，
∵4x+y=4x·4y=2×3=6，
∴4,6=x+y，
∴4,2+4,3=4,6；
故答案為：4,6；
（2）設(shè)2n,4m=c，則2cn=4m，cn=2m，c=2mn，
∴2n,4m=2mn=mn2,4，
∴42x?4,54k=4k2x?44,5，
∵42x?4,54k≥4,5，
∴4k2x?44，5≥4，5；
設(shè)4t=5 t>1，則4k2x?4t≥t
∴4k2x?4≥1，
∴2x?4≤4k，x≤2k+2；
∵2x?4>0，4k>0
∴x>2，k>0，且x、k均為正整數(shù)，且x只有兩個(gè)正整數(shù)解，
∴3≤x≤4，4≤2k+2

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