考試時間：120分鐘 滿分：150分
一．選擇題（每題4分，共40分）
1. 下列成語中，表示必然事件的是（ ）
A. 水中撈月B. 守株待兔C. 水漲船高D. 刻舟求劍
【答案】C
【解析】
【分析】根據事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．
【詳解】A．水中撈月，是不可能事件，故本選項不符合題意；
B．守株待兔，是隨機事件，故本選項不符合題意；
C．水漲船高是，是必然事件，故本選項符合題意；
D．刻舟求劍，是不可能事件，故本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
2. 國產手機芯片麒麟是全球首個納米制程芯片，已知納米米，將納米用科學記數法表示為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】絕對值小于的正數，也可以利用科學記數法表示，一般形式為．
【詳解】解：納米米米，
故選：D
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，掌握科學記數法的方法是解題的關鍵．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了同底數冪的乘法，單項式除以單項式，積的乘方，合并同類項，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
根據同底數冪的乘法運算法則，單項式除以單項式運算法則，積的乘方運算法則，合并同類項法則對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算正確，符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：．
4. 如圖，點在的延長線上，下列條件能判斷的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．根據平行線的判定對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：A中可判定，故此選項符合題意；
B中可判定，不能判定，故此選項不符合題意；
C中可判定，不能判定，故此選項不符合題意；
D中可判定，不能判定，故此選項不符合題意；
故選：A．
5. 如圖，有一個角為的直角三角板放置在一個長方形直尺上，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
過點作，得出，根據平行線的性質，結合直角三角板的特征即可求解．
詳解】解：如圖，過點作．
∵，
∴，
∴．
由題意知，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
6. 拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子各面分別標有數字1、2、3、4、5、6，則出現朝上的數字小于3的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用朝上的數字小于3的情況數除以總情況數即為所求的概率．
【詳解】解：拋擲六個面上分別刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6種結果，其中朝上一面的數字小于3的有2種，
朝上一面的數字小于3的倍數概率是．
故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式的應用，掌握概率等于所求情況數與總情況數之比是關鍵．
7. 如圖，如果∥，那么，，之間的關系為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，過點E作EF∥AB，利用平行線的性質即可得出結論.
【詳解】如圖，過點E作EF∥AB．
∴∠1+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD．
∴∠FEC=∠ECD（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠2=∠AEF+∠FEC
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FEC=∠3
∴∠1+∠2-∠3=180°．
故選B．
考點：平行線的性質．
8. 下列計算：①；②；③；④正確有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了整式混合運算，利用單項式乘以多項式法則及平方差公式、完全平方公式進行運算，即可求解；能熟練利用單項式乘以多項式法則及、進行運算是解題的關鍵．
【詳解】解：①，故此項錯誤，不符合題意；
②，故此項錯誤，不符合題意；
③，此項正確，符合題意；
④，故此項錯誤，不符合題意；
故選：A．
9. 古時候人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，古人在從右往左依次排列繩子上打結，按“滿五進一”來計數．如：圖①中表示的數是：，則圖②中表示的數是（ ）．

A. 45B. 89C. 113D. 324
【答案】B
【解析】
【分析】利用進位制的定義，進行計算即可．
【詳解】解：由題意，得：圖②中表示的數是；
故選B．
【點睛】本題考查進位制的性質、圖形類規(guī)律探究，考查了數學運算能力．理解并掌握題干中的運算公式，是解題的關鍵．
10. 若，則的末位數字是 （ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】將原式轉化成，再結合平方差公式解題即可．本題考查平方差公式、尾數特征等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
【詳解】解：
，
∵，，，，，，，；
∴尾數是2，4，8，6，……四個一循環(huán)，
∵，
∴232的末位數字是6，
∴的末位數是4．
故選：B．
二．填空題（每題4分，共24分）
11. 如圖，直線表示一段河道，點表示村莊，現要從河向村莊引水，圖中有四種方案，其中沿線段路線開挖的水渠長最短，理由是 ________．
【答案】垂線段最短
【解析】
【分析】本題考查垂線段最短，理解“從直線外一點，到直線上任意一點所引的線段中，垂直線段最短”是解題的關鍵．根據“垂線段最短”進行解答即可．
【詳解】解：沿線段路線開挖的水渠長最短，理由是垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
12. 如圖，點O在直線AB上，，若，則的大小為______．
【答案】30°
【解析】
【分析】根據圖示，利用平角求出∠BOC的度數，然后利用垂直，即可求出∠BOD的度數．
【詳解】∵，
∴．
∵，即，
∴．
故答案為：30°．
【點睛】此題考查角的運算，運用平角和垂直的定義是解題的關鍵．
13. 已知，則的值為__________．
【答案】16
【解析】
【分析】本題考查同底數冪的乘法和冪的乘方的逆用，根據，得到，根據同底數冪的乘法和冪的乘方的逆用，進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴；
故答案為：16．
14. 若n滿足，則等于_____．
【答案】0
【解析】
【分析】本題主要考查完全平方公式，利用完全平方公式的變形得到．所以，根據該變形公式可以化簡已知等式為，由此易求所求代數式的值．
【詳解】解：，
即，
，
，
，
故答案為：0．
15. 若成立，且、、均為整數，則滿足條件的的值有______個．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵將已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，根據多項式相等的條件求出的值即可．
【詳解】，
因為，
可得：，
因為、、為整數，
所以滿足條件的的值為，，
即滿足條件的的值為，，，共個，
故答案為：
16. 如圖，，為上方一點，、分別為、上的點，、的角平分線交于點，的角平分線與的延長線交于點，下列結論：①；②；③；④若，則．其中正確的結論有____________（填的序號）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質、三角形外角的性質以及直角三角形中兩個銳角互余等知識，靈活運用平行線的性質和三角形的外角的性質是解答本題的關鍵．由角平分線的性質以及平行線的性質可求出，即可判斷①；設交于點，交于點，根據平行的性質即有，再結合三角形外角的性質即可判斷②；根據角平分線的性質有，，再證，，即可得，即可判斷③；先證，根據，即有，再結合，節(jié)即可判斷④正確；
【詳解】∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正確；
設交于點，交于點，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，故③錯誤；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正確；
故答案為：①②④．
三．解答題（共9小題，共86分）
17. （1）計算：；
（2）化簡：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查了負整數指數冪，整式的乘法運算；
（1）根據化簡絕對值，負整數指數冪進行計算即可求解；
（2）根據完全平方公式，單項式乘以多項式進行計算即可求解．
【詳解】解：（1）
．
（2）
．
18. 先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．先分別根據完全平方公式，平方差公式計算和，然后在括號內合并同類項，最后根據多項式除以單項式進行計算，最后代入求值即可．
【詳解】解：原式
當，時，
原式
19. 尺規(guī)作圖：已知：如圖（1），，如圖（2），，請在圖（2）中直線的上方作射線，使（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見解析
【解析】
【分析】以點E為頂點，直線的上方作，則即為所求．此題考查了作一個角等于已知角，熟練掌握作圖方法是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，即為所求，
20. 如圖，直線，，求的度數．
閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數學式）．
解：∵（已知），
∴（ ）．
∵ （ ），
又（ ），
∴ （ ）．
∵ ，
∴ （ ）．
【答案】兩直線平行，同位角相等；對頂角相等；已知；；等量代換；；；等式的性質
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質，對頂角相等，由平行線的性質和對頂角的性質可求出的度數，再由平角的定義可求出的度數．
【詳解】解：∵（已知），
∴（兩直線平行，同位角相等）．
∵（對頂角相等），
又（已知），
∴（等量代換）．
∵，
∴（等式的性質）．
21. 數學實踐課上，王老師在一個不透明的袋子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．
（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；
（2）小明從盒子里取出m個白球（其他顏色球的數量沒有改變），使得從盒子里任意摸出一個球是紅球的概率為 ，請求出m的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了求簡單事件的概率，
（1）由白球的概率可求得盒子里的總球數，進而求得黑球數，則可求得黑球的概率；
（2）由紅球概率可得拿出白球后盒子中球的總數，進而求解即可．
【小問1詳解】
解：球的總數（個），
黑球個數（個） ，
∴任意摸出一個球是黑球的概率為；
【小問2詳解】
球的總數為（個），
，
∴m的值為3．
22. 如圖，已知，．
（1）求證：；
（2）若平分，于點E，，求的度數．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查的是平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質并靈活運用．
（1）根據，證得，又，等量代換得，從而證得，即可由平行線的性質得出結論；
（2）根據角平分線的定義得，根據已知求出的度數，再根據，，證得，得出，進一步求出的度數．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 閱讀材料，回答下列問題：
利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式最大值、最小值問題．
【初步思考】觀察下列式子：
（1）；
∵；
∴．
∴代數式的最小值為；
（2）；
∵；
∴；
∴代數式的最大值為7．
【嘗試應用】閱讀上述材料并完成下列問題：
（1）代數式的最小值為 ；
（2）已知；，請比較A與B的大小，并說明理由；
【拓展提高】
（3）將一根長的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和有最小值嗎？若有，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個正方形面積的和；若沒有，請說明理由．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）兩個正方形面積之和有最小值，此時這根鐵絲剪成兩段后的長度，，這兩個正方形面積的和為
【解析】
【分析】本題考查了配方法的應用，整式的加減運算，完全平方公式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）模仿題干過程，則再結合，即可作答．
（2）運用作差法，得出，結合，即可作答．
（3）根據正方形的面積列式，得，分析得當時，S有最小值，最小值為18，即可作答．
【詳解】解：（1）
∵，
∴．
∴最小值為．
故答案為：．
（2），
∵
，
∵
∴
∴．
（3）設一段為x，則另一段為，
根據題意得：
當時，S有最小值，最小值為18，
則兩個正方形面積之和有最小值，此時這根鐵絲剪成兩段后的長度，，這兩個正方形面積的和為
24. 現有長與寬分別為a、b的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：

（1）根據圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關于a、b的關系式：（用含a、b的代數式表示出來）；
圖1表示：______；
圖2表示：______；
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（2）若，，求的值；
（3）請直接寫出下列問題答案：
①若，，則 ；
②若，則 ．
（4）如圖3，點C是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，則圖中陰影部分面積為______．
【答案】（1）；
（2）10 （3）①；②13
（4）
【解析】
【分析】（1）圖1中由兩個長與寬分別為、的小長方形與一大一小兩個正方形構成一個大的正方形，利用邊長為正方形的面積等于兩個長方形的面積加邊長分別為，的正方形的面積可得；圖2中利用大正方形的面積等于4個長方形的面積加小正方形的面積可得；
（2）將根據完全平方公式用含有，的式子表示出來，然后代入求值即可．
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【小問1詳解】
解：圖1中，由圖可知，
，
由題意得，，
即，
故答案為：．
圖2中，由圖可知，，，
由題圖可知，，
即，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：，
，，
．
【小問3詳解】
解：①由圖2可得，
，，
，
．
故答案為：．
②由圖1可得，
，
，
原式．
故答案為：13．
【小問4詳解】
解：由題意得，
，
，
，
，
，
，
陰影．
即圖中陰影部分的面積為．
【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景及完全平方公式的應用，解題的關鍵熟練掌握完全平方公式，并進行靈活運用．
25. 如圖，直角三角板與直角三角板的斜邊在同一直線上，，，，平分，不動將繞點按逆時針方向旋轉，記為，在旋轉過程中：
（1）如圖，當 時，；當 時，；
（2）將繞點按逆時針方向旋轉到如圖的位置，邊與延長線交于點，邊與交點，則
（3）當頂點不在內部時，求此時的度數范圍；（三角形的內部不包含三角形的邊）
（4）在旋轉過程中，當的一邊與平行時，求的度數．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或；
（4）或或．
【解析】
【分析】當時，根據平行線的性質可知，又因為，可得；當時，因為，可得；
根據角的和與差關系可得：，，所以可得，計算求值即可；
分別求出當點在邊上和點在邊上時度數，即可求出的取值范圍；
的一邊與平行可以分為三種情況：當時、當時、當時，根據平行線的性質分情況求解即可．
【小問1詳解】
解：如下圖所示，
，
，
又，
，
即；
如下圖所示，
，，
，
，
又,
，
即；
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：如下圖所示，
，，
；
故答案為：；
【小問3詳解】
解：如下圖所示，
當點在邊上時，
由可知，，
；
如下圖所示，
當點在邊上時，
，
；
綜上所述，或；
【小問4詳解】
解：如下圖所示，
當時，，
，
；
如下圖所示，
當時，，
，
；
如下圖所示，
當時，，
；
綜上所述，當的一邊與平行時，求的度數為或或．
【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理、平行線的性質、三角形外角的性質、分類討論的思想，解決本題的關鍵是利用平行線的性質找角之間的關系，在解題過程中還要注意利用分類討論的思想，分情況考慮問題．

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