1. 下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念依次對(duì)各選項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；
C、，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．理解和掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．
2. 若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件“被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)”．根據(jù)二次根式有意義的條件得到，解之即可求出的取值范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
故選：B．
3. 下面計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式加法和除法運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．二次根式加法和除法運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、3與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，所以B選項(xiàng)正確；
C、與不能合并，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．根據(jù)這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．
【詳解】①符合一元二次方程的四個(gè)條件，故方程是一元二次方程；
②中時(shí)方程不一元二次方程，故方程不一定是一元二次方程；
③變形為，故方程不是一元二次方程；
④是分式方程，故不是一元二次方程；
綜上分析可知，只有①是一元二次方程，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【詳解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
6. 如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查直角三角形與數(shù)軸的結(jié)合，通過(guò)已知條件，求解直角三角形斜邊通過(guò)旋轉(zhuǎn)落在數(shù)軸上點(diǎn)的位置．
根據(jù)直角三角形的勾股定理可知，兩直角邊已知，求出斜邊，再結(jié)合數(shù)軸，即可求解．
【詳解】解：∵直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2、1，
∴直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，
因此A點(diǎn)表示的數(shù)為．
故選C．
7. 若，則等于（ ）
A. 1B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，求不等式組的解集，先根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組求出x的值，進(jìn)而求出y的值，然后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，得
，
解得，
∴，
∴．
故選D．
8. 函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 無(wú)法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限找出k、b的正負(fù)，再結(jié)合根的判別式即可得出△＞0，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限找出k、b的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．
9. 中， ，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)（ ）
A. 4.8B. 4.8或3.8
C. 9.6D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答時(shí)注意，將一個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的面積和．
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后過(guò)A點(diǎn)作于F，連結(jié)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得的長(zhǎng)，由圖形得 ，代入數(shù)值，解答出即可．
【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作于F，連結(jié)，
∵在 中，，，
∴，
∴在 中
，
∴，
即，
∴．
故選A．
10. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，滿足，則a的值為（ ）
A. B. C. 1或D. 6或
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)判別式的意義得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，利用，得到，解關(guān)于a的方程，然后利用a的范圍確定滿足條件的a的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得
解得，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得，，
而a＜3，
∴a的值為，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記根的判別式以及根與系數(shù)之間的關(guān)系．
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
11. 比較大小：_______（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的大小比較的方法，首先求出、的平方，比較出它們平方的大小關(guān)系，然后根據(jù)兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，平方大的反而小，即可得出答案，熟練掌握正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，平方大的反而小．
【詳解】解：，，
，
，
故答案為：．
12. 已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為和，則斜邊上的高為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，在根據(jù)面積相等即可求出高．
【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得，
斜邊為 ，
設(shè)斜邊上高為h根據(jù)三角形面積公式可得，
，
解得 ，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及三角形面積公式，解題關(guān)鍵是利用等積法換算斜邊的高．
13. 一直角三角形的三邊分別為8，15，，那么以為邊長(zhǎng)的正方形的面積為_(kāi)______．
【答案】289或161##161或289
【解析】
【分析】此題主要考查了勾股定理，以及正方形的面積，此類(lèi)題在沒(méi)有明確直角邊或斜邊的時(shí)候，一定要注意分情況討論，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積即為x2．此題應(yīng)考慮兩種情況：8和15是直角邊，x是斜邊或8和x是直角邊，15是斜邊，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)8和15是直角邊，x是斜邊時(shí)，則；
當(dāng)8和x是直角邊，15是斜邊，則，
∴以為邊長(zhǎng)的正方形的面積為：289或161．
故答案為：289或161．
14. 如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)、分別在軸、軸上，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．
（1）如圖1，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段的長(zhǎng)度是______；
（2）如圖2，若點(diǎn)P使得點(diǎn)到矩形的兩條較長(zhǎng)邊的距離之比為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．
【答案】 ①. 2 ②. 或
【解析】
【分析】此題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．
（1）首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，最后根據(jù)線段的和差即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意得到，然后分兩種情況討論：和，分別根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，
，，
，
由折疊的性質(zhì)得，
，
故答案為：；
（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
，
四邊形是矩形，
，
當(dāng)時(shí)，，，
由折疊得：，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，，
由折疊得：，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
故答案為：或．
三、解答題（本題共9小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算，乘法公式的應(yīng)用，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先化簡(jiǎn)，再算加減即可；
（2）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：
；
【小問(wèn)2詳解】
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要查了解一元二次方程．先分解因式，即可得兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
17. （1）如圖1，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）在圖2的網(wǎng)格中畫(huà)出邊長(zhǎng)分別為的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在網(wǎng)格格點(diǎn)上的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形）
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
（1）先利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
由題意得：，，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）如圖，．
18. 觀察下列各式：

（1）猜想的變形結(jié)果．
（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，給出用（為任意自然數(shù)，且）表示的等式，并進(jìn)行證明．
【答案】（1）
（2），理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了與實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意找到規(guī)律．
（1）根據(jù)題意寫(xiě)出第五個(gè)式子即可；
（2）根據(jù)式子間的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)第n個(gè)式子為．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得，第五個(gè)式子為．
【小問(wèn)2詳解】
解：第n個(gè)式子為，理由如下：
，
∴．
19. 如圖，有一架秋千，當(dāng)他靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將他往前推送（水平距離）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，求繩索的長(zhǎng)度．

【答案】繩索的長(zhǎng)度是
【解析】
【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，則，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以繩索AD的長(zhǎng)度是．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出、的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求k的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）故k的值為1或．
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）通過(guò)計(jì)算根的判別式的值得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，再利用得到，從而得到滿足條件的k的值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
故k的值為1或．
21. 如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作交所在的直線于點(diǎn)F，連接．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）當(dāng)時(shí)，求的面積．
（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．
【答案】（1）
（2）5或或4
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)C作于H，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等面積法計(jì)算即可；
（2）分、、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于H，
在中，，，，
由勾股定理得：．
，
則，
解得： ，
當(dāng)時(shí)，，
則；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
則，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
當(dāng)時(shí)，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
．
綜上所述，是等腰三角形時(shí)，的值為5或或4，
故答案為：5或或4．
22. “抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時(shí)尚銷(xiāo)售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷(xiāo)售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件50元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過(guò)初期試銷(xiāo)售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷(xiāo)售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．

（1）求每月的銷(xiāo)售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)出自變量的取值范圍）
（2）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不許高于進(jìn)貨價(jià)的．該帶貨主播銷(xiāo)售這種防護(hù)品每月的總利潤(rùn)要想達(dá)到10000元，那么每件的售價(jià)應(yīng)定為多少元?
【答案】（1）每月銷(xiāo)售y（件）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為
（2）當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為70元時(shí)，該主播每月的總利潤(rùn)可達(dá)到10000元
【解析】
【分析】(1)由圖象可知每月銷(xiāo)售量(件)與售價(jià)(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求解即可；
(2)由題意得關(guān)于x的醫(yī)院二次方程，解一元二次方程可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
由圖象可知每月銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為，
將，代入，得，解得：，
∴每月銷(xiāo)售y（件）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為﹔
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意得：，
整理得，，解得，，
∵該防護(hù)品的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的，
∴，即，
∴不合題意應(yīng)舍去，∴．
∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為70元時(shí)，該主播每月的總利潤(rùn)可達(dá)到10000元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．
23. 問(wèn)題背景：如圖1，設(shè)P是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．小君研究這個(gè)問(wèn)題的思路是：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，易證：是等邊三角形，是直角三角形，所以．
簡(jiǎn)單應(yīng)用：
（1）如圖2，在等腰直角中，，P為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則_______°．
（2）如圖3，在等邊中，P為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求長(zhǎng)．
（3）拓展延伸：若圖4中的等腰直角，與，，在的同側(cè)，若，，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）45 （2）13
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)得出，， ，再根據(jù)勾股定理得出，最后用勾股定理的逆定理得出是以為斜邊的直角三角形，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）方法得出，進(jìn)而得出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先利用旋轉(zhuǎn)得出，，，，再判斷出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖2，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，， ，
∴，
根據(jù)勾股定理得， ，
∵，，
∴，
∴是以為斜邊直角三角形，
∴，
∴，
故答案為：45；
小問(wèn)2詳解】
解：如圖3，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
∵是等邊三角形，
∴，，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
根據(jù)勾股定理得， ，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖4，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與的交點(diǎn)記作G，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
∴，
∴，負(fù)值舍去．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活的利用三角形的旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

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