一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因為，所以.
故選：D.
2. 已知是平面內不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為是不共線的四點，
若，則有，，故四邊形為平行四邊形；
若四邊形為平行四邊形，則有.
故“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件.
故選：C.
3. 如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，
如圖，
由斜二測畫法可知，，
所以.
故選：B.
4. 已知平面向量，，則向量與的夾角大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，，
所以，故.
故選：D.
5. 已知圓錐的表面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的母線長為（ ）
A. 2B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】設圓錐的底面半徑為，母線為，
則，解得或（舍），
故選：A
6. 記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知及余弦定理得，
解得（負值舍去），
所以的面積為.
故選：A.
7. 在正六邊形中，點是線段上靠近點的三等分點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 依題意，如圖，
，
因為，，
所以.
故選：D.
8. 在平面四邊形中，已知，，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，，可得，
故，又，所以，
以為直徑作圓，則四點共圓，
如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓?，兩點），
于是，，
又表示在方向上的投影的數(shù)量，
由圖可知，當點在劣弧的中點位置時，投影的數(shù)量最小，
此時，連接交于點，則，故，
即的最小值為，
故的最小值為.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復數(shù)滿足，，其中是虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)，則下列正確的是（ ）
A. 的虛部為
B. 在復平面內對應的點位于第一象限
C. 是純虛數(shù)
D. 若是關于的實系數(shù)方程的一個根，則
【答案】BCD
【解析】根據(jù)題意，，解得，，
所以的虛部為，故A錯誤；
又，則在復平面內對應的點為，位于第一象限，故B正確；
又，故C正確；
若是方程的一個根，則方程的另一根為，
根據(jù)韋達定理有，，
解得，，所以，故D正確.
故選：BCD.
10. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體，正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面所圍成的多面體，這體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將棱長為1的正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此一共可截去八個三棱錐，得到一個半正多面體，它們的棱長都相等，則下列說法正確的有（ ）
A. 該半正多面體有12個頂點B. 該半正多面體有12個面
C. 該半正多面體表面積為3D. 該半正多面體體積為
【答案】AD
【解析】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點，有12個頂點，14個面（6個正方形，8個正三角形），故A正確，B錯誤；
該半正多面體所有頂點都為正方體的棱的中點，所以該半正多面體的棱長為，
故半正多面體的面積為，故C錯誤；
半正多面體的體積為，故D正確.故選：AD.
11. 記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，則下列結論正確的是（ ）
A. 一定是鈍角三角形
B.
C. 角的最大值為
D.
【答案】ACD
【解析】對于A，由，得，
由余弦定理有：，又因為，所以為鈍角，A正確；
對于B，因為，由正弦定理有：，所以，
整理得：，因為，等式兩邊同除以，得：，B錯誤；
對于C，由余弦定理有：，又因為，
所以，
當且僅當，即時等號成立，因為，所以，
所以角的最大值為，C正確；
對于D，，所以，即，
所以，，所以，
故，
由正弦定理可得：，D正確.故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面向量與互相垂直，且，，則的坐標為______
【答案】
【解析】設，因為與垂直，所以，即，
又因為，所以，故.故答案為：.
13. 已知一個正四棱臺兩底面邊長分別為1和2，高為3，則該正四棱臺的體積為______.
【答案】7
【解析】由棱臺的體積公式，該棱臺的體積為.
故答案為：7.
14. 如圖，點，是半徑為2的圓周上的定點，為圓周上的動點，，則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為______.
【答案】
【解析】如圖，取圓心為點，連接，
由圓的性質可知當為優(yōu)弧的中點時，到的距離最大，此時陰影部分的面積取最大值，因為，此時，
故陰影部分的面積的最大值為

.故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.
15. 已知向量，不共線，且，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求證：，，三點共線．
（1）解：若，則，即，
可得，解得，，所以.
（2）證明：若，則，所以，，所以，則，，三點共線．
16. 已知與是平面內的兩個向量，，，與的夾角為.
（1）求；
（2）求；
（3）在平面直角坐標系下，若，求在方向上的投影向量的坐標.
解：（1）.
（2）因為，所以.
（3）在方向上的投影向量為.
17. 某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知點位于點北偏東，點北偏西，這時，位于點南偏西且與點相距海里的點有一救援船，其航行速速為海里/小時.
（1）求點到點的距離；
（2）若命令處的救援船立即前往點營救，求該救援船到達點需要的時間.
解：（1）由題意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），則需要的時間（小時）．
答：救援船到達點需要2小時．
18. 在中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大?。?br>（2）若，的面積為，求的周長．
（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．
解：（1）∵，∴，即，
∵，∴，
∴，故.
（2）由（1）得，，
∵的面積為，∴，即，解得，
由余弦定理得，，
∴，故的周長為.
（3）由得，則，
∴
.
∵為銳角三角形，∴，故，
∴，故，
∴，即的取值范圍是.
19. 如圖，圓的半徑為，其中、為圓上兩點.
（1）若，當為何值時，與垂直？
（2）若為的重心，直線過點交邊于點，交邊于點，且，，求最小值.
（3）若的最小值為，求的值.
解：（1）因為，，
所以由余弦定理得，
即，即，解得，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
若與垂直，則，
所以，所以，解得，即當時，與垂直.
（2）因為為的重心，所以，
又因為，，所以，
由于、、 三點共線，所以存在實數(shù)使得，
所以，化簡為，
因為、不共線，所以，，所以，所以.
顯然，，則，
當且僅當時，即當時，取最小值.
（3）設，取線段的中點，連接，則，
則，
又
，
所以當時，有最小值，所以，解得，
即取最小值時，．

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