高一數(shù)學(xué)試卷（人教版）
一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，解得?br>則，且，
則.
故選：A
2. （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式求出答案.
【詳解】.
故選：C
3. “角是第三象限角”是“”的（）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合角所在象限的性質(zhì)及充分不必要條件進(jìn)行判斷即可.
【詳解】當(dāng)角是第三象限角時(shí)，
，，
于是，
所以充分性成立；
當(dāng)，即時(shí)，
角第二或第三象限角，
所以必要性不成立，
故選：A．
4. 已知，，則xy的最大值為（）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】由，得，得，即，
因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即xy的最大值為.
故選：A
5. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，
又，即，
所以.
故選：C
6. 函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，利用“五點(diǎn)法”求解即可.
詳解】由圖知，，
，∴，
又，
，
∴函數(shù)的解析式為．
故選：D
7. 已知是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）
A. 3B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由是奇函數(shù)得，又時(shí)，，
所以.
故選：D
8. 黎曼函數(shù)由德國(guó)著名數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann）發(fā)現(xiàn)提出黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為：當(dāng)為真約數(shù)且時(shí)，當(dāng)或上的無理數(shù)時(shí)，若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，，則：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知可推得偶函數(shù)的周期為4，利用偶函數(shù)性質(zhì)、周期性求目標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】由題意，則，
所以偶函數(shù)的周期為4，
，
，
所以
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式（一）到（六）依次轉(zhuǎn)化角，逐步化簡(jiǎn)即得.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 下列敘述正確的是（）
A. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 命題“，”的否定是“，”
C. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A,依題求出函數(shù)解析式，再判斷即得；對(duì)于B，根據(jù)全稱量詞命題的否定要求即得；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷“同增異減”原則即可求得遞增區(qū)間；對(duì)于D，按照互為反函數(shù)的兩函數(shù)之間的關(guān)系分析即得.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)依題意，，解得：，則因，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，即A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，否定量詞和結(jié)論即得命題“，”的否定是“，”，即B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)，由解得：或，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
且在上遞減，在上遞增，
根據(jù)同增異減原則知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，即C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，由可得：?br>交換即得：，即，其定義域?yàn)?，值域?yàn)镽.即D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的敘述中，正確的有（）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，即可判斷A、B、C的正誤，由正切函數(shù)及誘導(dǎo)公式求判斷D.
【詳解】函數(shù)的大致圖象，如下圖示，
由上圖象，易知：最小正周期為、上單調(diào)遞增、圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A，B，C正確，
又，
所以，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
12. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）
A.
B.
C. 不等式的解集為或
D. 的最小值為6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)含參的一元二次不等式的解法，分析可得a的正負(fù)，即可判斷A的正誤；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可判斷B的正誤；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得且，代入所求，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可判斷C的正誤；將代入，根據(jù)基本不等式，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】A選項(xiàng)，依題可得函數(shù)開口向下與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，3，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，依題可得時(shí)，函數(shù)值小于0，即，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)殚_口向下與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，3，
所以，即，且，
所以不等式可化為，即，
解集為或，故C正確；
D選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題:（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13. ________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】.
故答案為：2.
14. 已知，，則的值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用半角公式結(jié)合已知條件求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：.
15. 如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由大扇形面積減去小扇形面積即可得．
【詳解】，
由題意可得，扇形的面積是，扇形的面積是.則扇面（曲邊四邊形）的面積是.
故答案為：．
16. 已知函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像及零點(diǎn)的定義可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)沒有零點(diǎn)，所以依題意有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
又時(shí)，所以，即，
故；
當(dāng)時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，所以依題意有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，
所以，即，
故答案為：.
四、解答題：（本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. （1）已知，求的值.
（2）已知角的終邊過點(diǎn)，，，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)已知式，求得的值，將利用弦的齊次式化弦為切代入即得；
（2）由條件分別求出的值，再代入兩角和的余弦公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）由可得：；
（2）角的終邊過點(diǎn)，則．
由，可知：
則.
18. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；
（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>令，解得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間是；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得．
因?yàn)?，所以?br>所以，則，
即在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋?br>19. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)，的值并指出的單調(diào)性（不必證明）；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），在上單調(diào)遞減
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)R上奇函數(shù)的性質(zhì)得，再由，列出方程組，求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性即得；
（2）觀察易得，代入不等式，利用奇函數(shù)性質(zhì)將其化成，最后利用函數(shù)單調(diào)性化為一元二次不等式，解之即得.，
【小問1詳解】
是R上的奇函數(shù)，，即，又解得.
故，易得在R上單調(diào)遞減，證明如下.
任取，由，
因，則，而，則，故在R上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
易得：，不等式可化為，
是R上的奇函數(shù)，
又在R上單調(diào)遞減，，即，解得或
故原不等式的解集為.
20. 國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)搜褐械木凭看笥诨虻扔?0毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液內(nèi)的變化規(guī)律“散點(diǎn)圖”如下：
該函數(shù)模型如下，
.
根據(jù)上述條件，回答以下問題：
（1）試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？
（2）試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)才可以駕車？（時(shí)間以整小時(shí)計(jì)）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精達(dá)到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小時(shí)才可以駕車
【解析】
【分析】（1）由圖可知，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，，此時(shí)時(shí)，取得最大值，即可求得.
（2）由題意知當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時(shí)，解不等式，兩邊取對(duì)數(shù)，即可求出..
【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，.
此時(shí).
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為，
故喝一瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精達(dá)到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由題意知當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時(shí)，
由，得，
兩邊取自然對(duì)數(shù)得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小時(shí)才可以駕車.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型應(yīng)用和分段函數(shù)，考查分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
21. 已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn).
（1）求的值及的定義域；
（2）求在上的最大值；
（3）若，比較與的大小.
【答案】（1），定義域?yàn)椋?br>（2）最大值是，
（3）．
【解析】
【分析】（1）由求得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得定義域；
（2）函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有一個(gè)對(duì)數(shù)號(hào)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得最大值；
（3）指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，然后比較的大小，并由已知得出的范圍，在此范圍內(nèi)由的單調(diào)性得大小關(guān)系．
【小問1詳解】
由已知，，
，定義域?yàn)椋?br>【小問2詳解】
，
，，則，
所以，時(shí)取等號(hào)，
最大值為；
【小問3詳解】
，，
，，
，，
所以，，則，，
∵，所以，，即，
，，
所以，，
∵在上是增函數(shù)，又在時(shí)是減函數(shù)，
∴在上是減函數(shù)，
∴．
22. 已知函數(shù).
（1）若為偶函數(shù)，求函數(shù)的定義域；
（2）若過點(diǎn)，設(shè)，若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即為函數(shù)的定義域；
（2）先求出的最小值，然后分類討論求出的最大值，進(jìn)而得出的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以,即，
因?yàn)椋裕?br>解得：，，
所以，，
所以的定義域?yàn)?
【小問2詳解】
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因，所以，
所以 ，
又因?yàn)閷?duì)任意的，，都有成立，
所以，，
，
因?yàn)椋裕?br>設(shè)，
則有圖象開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，
當(dāng) 時(shí)，在 上單調(diào)遞增，
所以，
所以，解得，所以；
當(dāng) 時(shí)， 在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
解得，故；
當(dāng)時(shí)，，
故，解得，所以，
綜上所述：實(shí)數(shù) a 取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是根據(jù)題意得，再利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行分類討論即可.

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