在輔助圓問題中,我們了解了求關(guān)于動點最值問題的方式之一---求出動點軌跡,即可求出關(guān)于動點的最值. 本節(jié)課我們繼續(xù)討論另一類動點引發(fā)的最值問題,在此類題目中,題目或許先描述的是動點P,但最終問題問的可以是另一點Q,當然P、Q之間存在某種聯(lián)系,從P點出發(fā)探討Q點運動軌跡并求出最值,為常規(guī)思路.
A、B、C,在以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓上.
到定點的距離等于定長的點的集合是以定點為圓心定長為半徑的圓；
有幾個點到同一個點的距離相等時,這兒就隱藏著一個圓,要想到構(gòu)造圓.
【例1】如圖,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50o,則∠CBD=_____.
原理：弦AB所對同側(cè)圓周角相等.
條件：固定線段AB所對動角∠P為定值.
備注：點P在優(yōu)弧,劣弧上皆可.
結(jié)論：點P運動軌跡為過A,B,P三點的圓.
定邊對定角：固定的線段對應(yīng)的角度固定叫定邊對定角,也叫定弦定角,那么這個角的頂點軌跡為圓(一部分)．(1)如圖,在⊙O中,若弦AB長度固定,則弦AB所對的圓周角都相等；
(2)有一固定線段AB及線段AB所對的∠P大小固定,根據(jù)圓的知識可知P點并不是唯一固定的點,至于點C是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠P的大小,小于90o,則P在優(yōu)弧上運動；等于90o,則P在半圓上運動；大于90o則P在劣弧上運動.
【例2-1】如圖,AC為邊長為4的菱形ABCD的對角線,∠ABC=60o.點M和N分別從點B、C同時出發(fā),以相同的速度沿BC、CA運動.連接AM和BN,交于點P,則PC長的最小值為_____.
如圖,∠AOB=45o,邊OA、OB上分別有兩個動點C、D,連接CD,以CD為 直角邊作等腰Rt△CDE,且CD=CE,當CD長保持不變且等于2cm時,則OE長的最大值為________cm.
條件：AB為定線段(即直徑),線段AB外一點C與A,B兩端形成的張角為直角(即∠ACB=90o),
結(jié)論：點C在以AB為直徑的圓上運動. (不與A,B重合).
【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分別為邊DC,CB上的點,且始終保持DE=CF,連接AE和DF交于點P,則線段CP的最小值為_____
3.如圖,已知在Rt△ABC中,AC＝5,BC＝12,∠ACB＝90o,P是邊AB上的動點，Q是邊BC上的動點,且∠CPQ＝90o,求線段CQ的取值范圍____________.4.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,若AD=2,BC=4,則四邊形ABCD面積的最大值是___.
【題型背景】在一些最值問題中,給定一個角,并且過定角的頂點作對邊的垂線為定值時,也存在最值問題,面對這種問題我們借助“隱圓”進行說明:我們稱這種問題為:“定角夾定高”模型也成“探照燈”模型.主要解決：(1)線段最短問題；(2)面積最小問題.【模型】如右圖所示,在△ABC中,∠BAC=α為定值,AD為BC邊上的高,且AD=h為定值,則底邊BC存在最小值,△ABC的面積存在最小值.
【解題突破點】1.找出“隱圓”---三角形外接圓； 2.定高過外心(半徑+弦心距)≥定高.
證明：作△ABC的外接圓,圓心為O,連接AO,BO,CO,作OE⊥E.易得∠BOE=α,則OE=r·csα.∵OA+OE≥AD,∴r+r·csα≥h.
解:作△ABC的外接圓,連接OA,OB,OC,
則∠BOC=2∠A=2×60=120o
(i)如圖1,2,Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊,取AB中點O,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,可得：OC=OD=OA=OB,∴A,B,C,D四點共圓；
(ⅱ)圓內(nèi)接四邊形對角互補,若滿足其中一組對角角度之和等于180o,可考慮作它的外接圓解題.如圖3,4,四邊形ABCD中,滿足∠ABC+∠ADC=180o,∴四邊形ABCD的外接圓為⊙O,圓心O為任意一組鄰邊的垂直平分線的交點．
四點共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等,完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化,是證明角度相等重要的途徑之一.
【例4-1】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=60o,∠D=120o,BC=CD=a,則AB-AD=____.
【例4-2】如圖,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB∠BAD=∠EAC=α,連接CD,BE交于點P,連接AP.(1)求∠BPD的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)；(2)求證：∠APD=∠ABD.(3)PA平分∠DPE.
(3)①利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得OE=OF； ②在利用到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
(1)(2)利用四點共圓求解
口訣：定點定長圓周走,定線定角雙弧跑； 三點必有外接圓,對角互補也共圓.
1.如圖,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,則∠CAD=____.2.如圖,點O為線段BC的中點,點A,C,D到點O的距離相等,若∠ABC=40o,則∠ADC的度數(shù)是______.
3.如圖,在△ABC中,∠ACB=90o,O是AB的中點,將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α(0o＜α＜180o)得到OP,連接AP.若∠BAC=20o,當△ACP為等腰三角形時，α的值為________________.
40o或70o或100o
4.如圖,在正△ABC中,AB=2,若P為△ABC內(nèi)一動點,且滿足∠APC=150o,則線段PB長度的最小值為_______.5.如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點,且AP⊥BP,則線段CP長的最小值為____.
6.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90o,E為對角線AC的中點,連接BE,ED,BD.若∠BAD=58o,則∠EBD的度數(shù)為_____度．7.如圖,∠AOB=60o,OA=OB,動點C從點O出發(fā),沿射線OB方向移動,以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是( 　) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直
1.點P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,∠A=72o,那么∠BPC的度數(shù)為__________.?2.如圖,四邊形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,則BD=_____.
3.如圖,E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點,滿足AE=DF.連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是_____.
4.點E在邊長為4的正方形ABCD的邊BC上,點F在邊CD上,∠EAF=45o,則△AEF面積的最小值為_________.
5.如圖,半徑為2cm,圓心角為90o的扇形OAB的弧AB上有一動點P,從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H,設(shè)△OPH的內(nèi)心為I,當點P在弧AB上從點A運動到點B時,內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為___________.
6.如圖,已知以AB為直徑的⊙O,C為弧AB的中點,P為弧BC上任意一點，CD⊥CP交AP于D,連接BD,若AB=6,則BD的最小值為_______.
7.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,連接EF. 求證：∠AEF=∠C.
利用AEDF四點共圓證明∠1=∠2∵∠2+∠3=90o，∠B+∠3=90o.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C
8.如圖,E是正方形ABCD的邊BC反向延長線上的一點,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分線CM的反向延長線于點F.求證：AE=EF.
方法一：延長AB至G,使BG=BE,連接EG, 證△AEG≌△EFG得AE=EF.
方法二：連接AC,AF,得∠ACF=∠AEF=90o, ∴A、E、F、C四點共圓.
∴∠EAF=∠ECF=45o∴∠EAF=∠EFA=45o∴AE=EF
9.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60o,點E、F分別為邊BC、CD上兩個動點,且∠EAF=60o,則△AEF的面積是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,請說明理由.
【簡答】將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120o,得△ABF′,則∠EAF′=60o,易證△AEF′≌△AEF,作△AEF′的外接圓⊙O,作OH⊥BC于點H,AG⊥BC于點G,則∠F′OH=60o,設(shè)⊙O的半徑為r,則OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG,

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