一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
【方法技巧與總結(jié)】
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
積累裂項(xiàng)模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項(xiàng)模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型
積累裂項(xiàng)模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項(xiàng)模型6：階乘
（1）
（2）
常見(jiàn)放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
【題型歸納目錄】
題型一：通項(xiàng)分析法
題型二：公式法
題型三：錯(cuò)位相減法
題型四：分組求和法
題型五：裂項(xiàng)相消法
題型六：倒序相加法
題型七：并項(xiàng)求和
題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和
題型九：分段數(shù)列求和
【典例例題】
題型一：通項(xiàng)分析法
例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求和．
例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為
A．B．C．D．
例3．求數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)之和．
【方法技巧與總結(jié)】
先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題應(yīng)該強(qiáng)化的意識(shí)．
題型二：公式法
例4．已知等差數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例5．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．
（Ⅰ）試求與的關(guān)系；
（Ⅱ）求．
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【方法技巧與總結(jié)】
針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類(lèi)型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．
題型三：錯(cuò)位相減法
例6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類(lèi)推，則___________；___________.
例7．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.
例8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④
例9．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若數(shù)列滿(mǎn)足，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例11．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．
(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．
（2）基本步驟
（3）注意事項(xiàng)
①在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．
等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型四：分組求和法
例13．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，．
(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例14．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例15．（2022·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．
（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型
題型五：裂項(xiàng)相消法
例16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
例17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
從① ②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中的橫線上并作答.
例18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：
(2)已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.
例19．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足．
(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例20．（2022·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿(mǎn)足，.
(1)求與；
(2)設(shè)，，求的前項(xiàng)和.
例21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，記.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
例22．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例23．（2022·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
例24．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例25．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng).
(1)求；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.
例26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，；數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的，．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足：，當(dāng)時(shí)，求證：．
例28．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，是和的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
例29．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.
例30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿(mǎn)足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)求證：.
例31．（2022·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足
(1)求、的值及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和
例32．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，，數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求出，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
例33．（2022·天津南開(kāi)·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)已知，數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【方法技巧與總結(jié)】
題型六：倒序相加法
例34．（2022·河北·高三階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的前n項(xiàng)和_________．
例35．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．
例36．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿(mǎn)足，，.
（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）求.
例37．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
例38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則值是多少？.
例39．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿(mǎn)足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例40．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．
【方法技巧與總結(jié)】
將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
題型七：并項(xiàng)求和
例41．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的通項(xiàng)公式為，求的前n項(xiàng)和．
例42．（2022·福建·廈門(mén)一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．
(1)計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例43．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．
例44．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和．
例45．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例46．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【方法技巧與總結(jié)】
兩兩并項(xiàng)或者四四并項(xiàng)
題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和
例47．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．
(1)和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；
(3)證明：．
例48．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.
例49．（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；
(2)設(shè)，證明：.
例50．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求和；
(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時(shí)，．
例51．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)求證：.
例52．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求證: .
【方法技巧與總結(jié)】
先放縮后裂項(xiàng)，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．
題型九：分段數(shù)列求和
例53．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前15項(xiàng)的和.
例54．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例55．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例56．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿(mǎn)足對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．
例57．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.
例58．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，
(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
例59．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．
例60．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）分奇偶各自新數(shù)列求和
（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：
①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列的前2022項(xiàng)和等于（ ）
A．B．2022C．D．2019
2．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
3．（2022·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）己知數(shù)列滿(mǎn)足，在之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
5．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿(mǎn)足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（ ）
A．360B．480C．600D．100
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知下圖的一個(gè)數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和記作，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值可以為（ ）
A．543B．542
C．546D．544
11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我們把()叫作“費(fèi)馬數(shù)”(費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為
三、填空題
13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)偉大成就.其實(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁(yè).下圖的表在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號(hào)記為，比如，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)__________.
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)__________.
15．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)________．
16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則_________.
四、解答題
17．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，滿(mǎn)足，，且，．
(1)若為等比數(shù)列，求值；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足， .
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．
20．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.
21．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
22．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)抽去數(shù)列中點(diǎn)第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
裂裂
項(xiàng)相
消法
求和
（1）基本步驟
（2）裂項(xiàng)原則
一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
（3）消項(xiàng)規(guī)律
消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．

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第6章 數(shù)列

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