\l "_Tc136299771" 題型二： 集合間的基本關(guān)系 PAGEREF _Tc136299771 \h 6
\l "_Tc136299772" 題型三： 集合的運(yùn)算 PAGEREF _Tc136299772 \h 9
\l "_Tc136299773" 題型四： 求參數(shù)的取值范圍 PAGEREF _Tc136299773 \h 11
\l "_Tc136299774" 題型五： 集合中的新定義問題 PAGEREF _Tc136299774 \h 12
知識點(diǎn)總結(jié)
集合的概念
(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或?表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數(shù)集的記法
注意
N為自然數(shù)集(即非負(fù)整數(shù)集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數(shù)集，不包含0.
集合間的基本關(guān)系
集合的基本運(yùn)算
區(qū)分下列集合的表示含義
【常用結(jié)論與知識拓展】
(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．
(2)A?(A∪B)，B?(A∪B)．
(3)(A∩B)?A，(A∩B)?B.
(4)A∩B＝A∪B?A＝B.
(5)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.
(6)如圖所示，用集合A，B表示圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個(gè)部分所表示的集合分別是A∩B，A∩(?UB)，B∩(?UA)，?U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．對任意兩個(gè)有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
例題精講
集合的基本概念
【要點(diǎn)講解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合。集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中元素是否滿足互異性。分類討論的思想方法常用于解決集合問題
（2022?長沙模擬）已知集合，，下列選項(xiàng)中均為的元素的是
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
（2022秋?宜陽縣校級月考）集合的元素個(gè)數(shù)為
A．3B．4C．5D．6
（2022秋?南昌期末）已知集合，，，則中元素的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
（2022?道里區(qū)校級四模）已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為
A．9B．10C．11D．12
（2022?河北模擬）已知集合，2，，，，，則中所含元素的個(gè)數(shù)為
A．2B．4C．6D．8
（2022秋?西安）集合，2，，，3，，，，，則中的元素個(gè)數(shù)為
A．3B．4C．5D．6
（2022秋?漢濱區(qū)）已知集合，0，1，，，，，則集合中所有的元素之和為
A．0B．2C．D．
（2023?濰坊模擬）已知集合，0，，，，則集合中所有元素之和為
A．0B．1C．D．
（2022秋?武陵區(qū)）若關(guān)于的方程的解集中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
（2021?江西模擬）已知集合，只有一個(gè)元素，則的取值集合為
A．B．C．，，D．，
（2023?延邊州二模）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．0C．或0D．無解
（2022秋?山西）已知集合中元素滿足，且，，則
A．B．C．D．
（2022?聊城二模）已知集合，1，，，，則集合中元素個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
（2021?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）設(shè)集合，0，1，，，，，，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為
A．5B．6C．7D．8
（2022?全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．6
（2022?全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個(gè)數(shù)為
A．3B．6C．8D．10
（2022秋?川匯區(qū)校級期末）已知集合，2，，，，中所含元素的個(gè)數(shù)為
A．2B．4C．6D．8
集合間的基本關(guān)系
【要點(diǎn)講解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解；已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系。常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題。
（2023?咸陽模擬）設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)是
A．6B．7C．8D．15
（2023?黃埔區(qū)校級模擬）設(shè)集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為
A．8B．7C．4D．3
（2023?烏魯木齊模擬）已知集合滿足，，2，3，，那么這樣的集合的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
（2023?全國二模）下列集合關(guān)系中錯誤的是
A．，B．，C．D．，，
（2022秋?阜南縣校級月考）已知集合，，則下列說法正確的是
A．B．C．D．
（2022?全國四模）已知，，則集合、之間的關(guān)系為
A．B．C．D．
（2023?重慶模擬）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
（2022?河南模擬）已知集合，，則
A．B．C．D．
（2023?延慶區(qū)一模）已知集合，，，0，，且，則等于
A．1B．0C．D．
（2023?香坊區(qū)校級一模）已知集合，，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為
A．，，B．C．D．，，0，
（2023?湖南模擬）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．，C．，D．，
（2023?北碚區(qū)校級模擬）已知集合，4，，，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為
A．B．，C．，0，D．，0，1，
（2023?大荔縣一模）設(shè)三元集合，則 ．
（2022秋?新北區(qū)校級月考）已知集合，，，，，，若，則 ．
（2022??？谀M）已知集合，0，，，若，則實(shí)數(shù)
A．2B．1C．0D．
（2023?鐵嶺模擬）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
（2023?2月份模擬）設(shè)集合，3，，，，，．若，，則
A．B．C．1D．3
（2022?攀枝花模擬）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，C．D．，
（2022?朝陽區(qū)校級三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值組成的集合是
A．B．C．，D．，0，
集合的運(yùn)算
【要點(diǎn)講解】
集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成人手是解決集合運(yùn)算問題的前提。有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決。集合之間的運(yùn)算要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖。
（2023?烏魯木齊三模）設(shè)集合，0，1，，，則的子集個(gè)數(shù)為
A．2B．4C．8D．16
（2023?全國卷模擬）已知集合，，則
A．B．
C．或D．或
（2023?天津一模）設(shè)全集，，0，1，，集合，，，1，，則
A．B．，，C．，D．，1，
（2023?全國三模）設(shè)集合，則
A．，B．，C．，D．，
（2023?合肥三模）已知集合，集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
（2023?畢節(jié)市模擬）已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為
A．B．，C．，2，D．
（2023?吉林模擬）已知全集，集合，，，則下圖陰影部分所對應(yīng)的集合為
A．B．C．或D．
（2022春?下期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為
A．，B．，C．D．，
（2023?商洛二模）設(shè)集合，，，．若，則
A．，B．，C．，D．，
（2023?宜章縣模擬）已知集合，，若，則
A．B．C．2D．6
（2023?濟(jì)寧二模）已知集合，5，，，，若，則
A．B．C．2D．3
（2013?武昌區(qū)校級模擬）若集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
（2010?項(xiàng)城市校級模擬）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
求參數(shù)的取值范圍
【要點(diǎn)講解】
根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)時(shí)，可先把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解。
（2023?郴州模擬）已知集合，，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
（2023?山西模擬）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
（2023?懷仁市校級四模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．，C．D．，
（2023?茂名二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，C．D．，
（2023?黃山模擬）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．，C．D．，
（2023?樂山三模）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
（2023?四川模擬）設(shè)集合，，集合中恰好含有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．，C．，D．，
（2023?鐵嶺模擬）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
（2023?湖北模擬）已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
集合中的新定義問題
【要點(diǎn)講解】
集合新定義問題的“三定”：一定元素，確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素；二定運(yùn)算，根據(jù)要求及新定義，將所求集合的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補(bǔ)集的基本運(yùn)算，或轉(zhuǎn)化為數(shù)的有關(guān)運(yùn)算；三定結(jié)果，根據(jù)新定義，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素。
（2023?五河縣模擬）對于數(shù)集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為
A．B．C．D．
（2023?湖北模擬）用（A）表示非空集合中的元素個(gè)數(shù)，定義若，，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值組成的集合是，則等于
A．7B．5C．3D．1
（2022?長豐縣校級模擬）若，，定義且，則
A．或B．或
C．D．
課后練習(xí)
一．選擇題（共12小題）
1．（2023?南通二模）已知，為的兩個(gè)非空真子集，若，則下列結(jié)論正確的是
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022?渭濱區(qū)校級模擬）設(shè)集合，，，若，則
A．或或2B．或C．或2D．或2
3．（2023?江西模擬）已知集合，，，，，，若，則
A．B．0C．1D．2
4．（2023?定西模擬）已知集合，，則
A．B．C．D．
5．（2023?河南模擬）已知集合為英文單詞“”的字母組成的集合，集合為英文單詞“”的字母組成的集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
6．（2023?西寧一模）已知集合，，，則中元素的個(gè)數(shù)為
A．3B．4C．8D．9
7．（2021?江西模擬）已知集合，，，若，則符合條件的實(shí)數(shù)的值組成的集合為
A．，B．，C．，0，D．，
8．（2023?渝中區(qū)校級一模）已知集合，，，則
A．，B．C．D．
9．（2023?福建二模）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若，，則，則的非空子集數(shù)為
A．2022B．2023C．D．
10．（2021?石家莊模擬）已知集合，，，，，，，若，則
A．B．2C．D．1
11．（2023?桃城區(qū)校級模擬）已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是
A．B．
C．D．
12．（2023?南京二模）集合的子集個(gè)數(shù)為
A．2B．4C．8D．16
13．（2022?泉州模擬）已知集合，均為的子集，若，則
A．B．
C．D．
14．（2021?武漢模擬）圖中矩形表示集合，，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可以表示為
A．B．C．D．
15．（2010?南通模擬）記集合，1，2，3，4，5，，，將中的元素按從大到小的順序排列，則第2009個(gè)數(shù)是 ．
16．（2022?寶山區(qū)模擬）已知集合，，，是虛數(shù)單位，對任意，，可以相等）均有，則符合條件的元素個(gè)數(shù)最多的集合 ．
17．（2012?南通模擬）已知數(shù)集，0，中有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)不能取的值構(gòu)成的集合為 ．
18．（2018?武清區(qū)校級模擬）用列舉法表示集合
21．（2023?沛縣校級模擬）設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
關(guān)系
文字語言
符號語言
Venn圖
集合間的基本關(guān)系
相等
構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的
A?B且B?A?A＝B
子集
集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x?A
AB或BA
結(jié)論
任何一個(gè)集合是它本身的子集
A?A
若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集
A?B，B?C?
A?C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
??A
?B
(B≠?)
并集
交集
補(bǔ)集
圖形
表示
符號
表示
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
性質(zhì)
A∪?＝A；
A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；
A∪B＝A?B?A
A∩?＝?；
A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；
A∩B＝A?A?B
A∪(?UA)＝U；
A∩(?UA)＝?；
?U(?UA)＝A；
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)
集合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)}
{y|y＝f(x)}
{(x，y)|y＝f(x)}
含義
方程f(x)＝0的解集
不等式f(x)>0的解集
函數(shù)y＝f(x)的定義域
函數(shù)y＝f(x)的值域
函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)

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第1章 集合

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