重點(diǎn)題型目錄
題型一 數(shù)列的定義
題型二 等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和
題型三 等比數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和
題型四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
題型一
1．已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的周期，再求出的值.
【詳解】數(shù)列中，由，得，
因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，.
故選：C
2．已知數(shù)列滿足：，，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】由可得，再借助求出即可得解.
【詳解】由，則，故，即，
則，又，故.
故選：A.
3．已知數(shù)列，則是它的（ ）
A．第9項(xiàng)B．第10項(xiàng)C．第13項(xiàng)D．第12項(xiàng)
【答案】C
【分析】首先得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解方程即可求解.
【詳解】數(shù)列，即數(shù)列的通項(xiàng)公式是，
令，所以是它的第13項(xiàng).
故選：C.
4．在數(shù)列中，若，，則（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期，從而可求的值.
【詳解】因?yàn)?，，故，，?br>故為周期數(shù)列且周期為3，而，故，
故選：C.
5．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．－1B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，找到規(guī)律從而得到數(shù)列的周期.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，
所以，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
所以．
故選：B
題型二
1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．220B．240C．260D．280
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求得首項(xiàng)和公差，代入求和公式即可求得.
【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則
，解得，.
故選：D
2．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．168B．196C．200D．210
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以.
故選：A.
3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（ ）
A．64B．14C．10D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，從而求得.
【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，
所以，
由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，
所以.
故選：C.
4．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的值為（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】C
【分析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得到方程，求出答案.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，
故，解得.
故選：C
5．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．240B．60C．180D．120
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.
【詳解】.
故選：D.
題型三
1．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為．若，，則（ ）
A．－24B．－28C．－30D．－32
【答案】C
【分析】由等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求得后求得，從而易得．
【詳解】由題意，則，又，所以，，
，
所以．
故選：C．
2．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題可得,進(jìn)而可得,然后利用求和公式即得.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為,
由題意可得：,
又?jǐn)?shù)列是遞增的等比數(shù)列,
所以,
所以,
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：A.
3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
所以，
解得.
，，解得.
故選：D
4．已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，，則（ ）
A．63B．31C．15D．7
【答案】D
【分析】
由題意先算出等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，解得，于是，故.
故選：D
5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．63B．31C．-63D．-31
【答案】A
【分析】設(shè)出公比，根據(jù)成等差數(shù)列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.
【詳解】設(shè)公比為，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
則，解得：或0（舍去）.
因?yàn)椋?，?
故選：A.
題型四
1．小蕾2018年1月31日存入銀行若干萬元，年利率為1.75%，到2019年1月31日取款時(shí)，銀行按國家規(guī)定給付利息469元，則小蕾存入銀行的本金介于（ ）元之間，并說明理由．
A．1萬~2萬B．2萬~3萬C．3萬~4萬D．4萬~5萬
【答案】B
【分析】設(shè)存入本金元，再列出方程求解即可.
【詳解】設(shè)小蕾存入銀行的本金元，依題意，，解得（元），
所以小蕾存入銀行的本金介于2萬~3萬元之間.
故選：B
2．一個(gè)網(wǎng)上貸款平臺在2024年初給出貸款的月利率為，某大學(xué)生此時(shí)從該平臺貸款元，按照復(fù)利計(jì)算，他10個(gè)月后一次性還款的金額應(yīng)為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】依據(jù)應(yīng)還金額=貸款金額 (1+月利率) 月份進(jìn)行求解即可.
【詳解】應(yīng)還金額=貸款金額 (1+月利率) 月份，
由題意知貸款金額為，月利率為，月份為10，
所以.
故選：D.
3．按活期存入銀行1000元，年利率是0.52%，那么按照單利，第5年末的本利和是（ ）
A．1036元B．1028元C．1043元D．1026元
【答案】D
【解析】根據(jù)單利計(jì)算公式直接計(jì)算第5年的本利和.
【詳解】因?yàn)槭前凑諉卫?jì)算，所以第5年的利息是，
第五年末的本利和是.
故選：D
4．一批設(shè)備價(jià)值萬元，由于使用磨損，每年比上一年價(jià)值降低，則年后這批設(shè)備的價(jià)值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用每年后的價(jià)值成等比數(shù)列，可求得結(jié)果.
【詳解】依題意可知第一年后的價(jià)值為 ，第二年后的價(jià)值為，
依此類推可知每年后的價(jià)值成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，
所以年后這批設(shè)備的價(jià)值為.
故選：D
5．2019年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率為6.1%，達(dá)到了990865億元，實(shí)現(xiàn)了新的跨越，2020年我們將全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)一百年的奮斗目標(biāo).如果從2020年初開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按得增長率6.1%增長，那么2021年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為（ ）
A．105.13萬億元B．111.54萬億元C．118.35萬億元D．116.2萬億元
【答案】A
【分析】根據(jù)2020年初國內(nèi)生產(chǎn)總值為99.0865萬億，然后計(jì)算99.0865（1+6.1%），可得結(jié)果.
【詳解】由題可知：2020年初國內(nèi)生產(chǎn)總值為99.0865萬億
則2021年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為99.0865（1+6.1%）=105.13萬億元
故選：A
難點(diǎn)突破訓(xùn)練（可選）
一、單選題
1．等差數(shù)列中，，則（ ）
A．40B．30C．20D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，則，
，則，解得，，
．
故選：B．
2．已知等比數(shù)列的公比為4，則的值為（ ）
A．4B．C．D．16
【答案】A
【分析】利用等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)化簡計(jì)算即得.
【詳解】因等比數(shù)列的公比為4，故.
故選：A.
3．已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】由遞推數(shù)列的性質(zhì)，代值求解即可.
【詳解】
，
故選：B.
4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【分析】設(shè)出公比根據(jù)題干條件列出方程，求出公比，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算求出答案.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，
則，得，
解得或（舍），
所以.
故選：C.
5．已知等差數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】由等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?br>所以，所以.
故選：B.
6．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，
所以.
故選：A．
二、填空題
7．首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則公差的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列不等式，解不等式組即可.
【詳解】由已知，則，
則，解得，
故答案為：.
8．?dāng)?shù)列中，其前項(xiàng)和，則 ．
【答案】11
【分析】根據(jù)給定條件，利用計(jì)算得解.
【詳解】.
故答案為：
三、解答題
9．設(shè)有數(shù)列，，若以，，，…，為系數(shù)的二次方程都有根，，且滿足.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)以及其前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)；
【分析】(1)根據(jù)韋達(dá)定理分別求得和代入，進(jìn)而求得，進(jìn)而可推知為定值，原式得證；
(2)先根據(jù)求得數(shù)列的首項(xiàng)，再由(1)求得的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得；再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得.
【詳解】（1）證明：， 代入中，得，
為定值，所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）由(1)可知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，，
，即；
.
10．在數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列即可求解；
（2）由公式法求和、分組求和法即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
（2）因?yàn)椋?br>

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