考點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義與特征值的計(jì)算
1. 等差數(shù)列的定義：；.
2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)：.
3. 等差數(shù)列前項(xiàng)和.
1．（2024·廣東佛山·一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，若時(shí)，，則等于（ ）
A．11B．12C．20D．22
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中很早就有有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的記載：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何.”，譯文為：“現(xiàn)有人分錢(qián)（一種單位），要使分得錢(qián)數(shù)最多的兩人所得的錢(qián)數(shù)和與其他三人所得的錢(qián)數(shù)和相等，且五人分得的錢(qián)數(shù)的某種排列成等差數(shù)列，問(wèn)各得多少錢(qián).”在上述問(wèn)題中隨機(jī)取一人，這個(gè)人得到的錢(qián)數(shù)可能為： .（寫(xiě)出一種可能即可）.
5．（2024·浙江金華·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則 .
6．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的定義與特征值的計(jì)算
1.等比數(shù)列的證明：(1) (2) (3).
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.
3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.
1．（2024·湖南益陽(yáng)·一模）已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．26B．32C．512D．1024
2．（2024·江蘇·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．1B．4C．8D．25
3．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．121B．63C．40D．31
4．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．36D．48
5．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，則 ．
6．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則 .
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì)
1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)
（1）若，則________________________.
（2）若，則________________________.
（3）若、、為等差數(shù)列，則________________________，為、的____________________.
（4）若為等差數(shù)列，則、、…依舊是等差數(shù)列.
（5）當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)___________;當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)___________
2.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)
（1） 且 ；
（2）且為等差數(shù)列；
（3）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最_____值, 當(dāng)時(shí)，有最_____值；其中：
= 1 \* GB3 ①若已知和，則當(dāng)且僅當(dāng)取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí)，有最值；
= 2 \* GB3 ②若未知和，則需找出的正負(fù)交界值；
（4）、、依舊是一個(gè)等差數(shù)列
3.含有絕對(duì)值的求和方法：
（1） 找到的臨界值
（2） 若，
若，.
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·安徽·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·新疆·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列中，，，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿(mǎn)足，則（ ）
A．2B．3C．5D．6
7．（2024·福建莆田·三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“是等差數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的性質(zhì)
1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)
= 1 \* GB3 ①若，則________________________.
= 2 \* GB3 ②若，則________________________.
= 3 \* GB3 ③若、、為等比數(shù)列，則________________________，為、的____________________.
= 4 \* GB3 ④若為等比數(shù)列，則、、…依舊是等比數(shù)列.
= 5 \* GB3 ⑤當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)___________;當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)___________
2.等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)
= 1 \* GB3 ①、、依舊是一個(gè)等比數(shù)列
1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（ ）
A．8B．±8C．10D．±10
2．（22-23高二下·湖南·期末）“”是“，，成等比數(shù)列”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（ ）
A．28B．32C．36D．40
5．（2024·四川內(nèi)江·三模）在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（ ）
A．25B．30C．35D．40
6．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．3C．1D．
7．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A．B．2C．3D．4
8．（2024·福建漳州·三模）已知數(shù)列是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，則是成立的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn)五 數(shù)列通項(xiàng)公式----累加法
1.累加法：已知或
(1)若已知，則賦值從____到_____，得到______個(gè)式子，累加得____________________.
(2)若已知，則賦值從____到_____，得到______個(gè)式子，累加得____________________.
(3)可以是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列或者可裂項(xiàng)的數(shù)列.
(4)如論是或，均需注意最后求和的項(xiàng)數(shù).
1．（2024·河北唐山·二模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．43B．46C．37D．36
3．（2024·河北保定·三模）設(shè)是公差為3的等差數(shù)列，且，若，則（ ）
A．21B．25C．27D．31
4．（2024·廣東·二模）數(shù)列滿(mǎn)足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（）．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
考點(diǎn)六 數(shù)列通項(xiàng)公式----累乘法
1.累乘法：已知或
(1)若已知，則賦值從____到_____，得到______個(gè)式子，累加得____________________.
(2)若已知，則賦值從____到_____，得到______個(gè)式子，累加得____________________.
(3)如論是或，均需注意最后求和的項(xiàng)數(shù).
1．（2024·四川瀘州·三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則 .
2．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，則 .
3．（23-24高二下·浙江·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列bn滿(mǎn)足，，記的前項(xiàng)和為，求
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
考點(diǎn)七 數(shù)列通項(xiàng)公式----法
1.法：已知數(shù)列的前項(xiàng)和求
(1)，.
(2)若直接得出的解析式，需檢驗(yàn)_____________是否成立
(3)若求的解析式，應(yīng)反向把化為_(kāi)____________.
(4)表示數(shù)列________的前項(xiàng)和.
1．（2024·山東濟(jì)南·三模）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿(mǎn)足，的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·安徽·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足,則（ ）
A．272B．152C．68D．38
5．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6．（2024·四川雅安·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，證明：．
7．（2024·湖北·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
考點(diǎn)八 數(shù)列通項(xiàng)公式----構(gòu)造法
1.構(gòu)造法
(1)若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.
(2)若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得和.
(3)若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.
(4)若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公差為的等比數(shù)列.
(5)若題干已給出構(gòu)造目標(biāo)，則根據(jù)定義法代入構(gòu)造目標(biāo)進(jìn)行證明.
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（2024高三下·四川成都·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
3．（2024·云南曲靖·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．
4．（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.
5．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知數(shù)列中，.
(1)求；
(2)設(shè)，求證：.
6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是以2為公差的等差數(shù)列．
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍．
考點(diǎn)九 數(shù)列通項(xiàng)公式----倒數(shù)法
1.倒數(shù)法：已知
(1)取倒數(shù)得
(2)若，則數(shù)列是以__________為首項(xiàng)，__________為公差的等差數(shù)列.
(3)若，則進(jìn)行二次構(gòu)造等比數(shù)列.
1．（2024高三·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，求．
2．（23-24高二上·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.
(1)證明：存在等比數(shù)列，使；
(2)若，求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù).
考點(diǎn)十 數(shù)列求和-----裂項(xiàng)相消法
1.裂項(xiàng)相消法
(1)
(2)
(3)
(4)常見(jiàn)裂項(xiàng)：， .
，.
1．（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.
2．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．（2024·四川瀘州·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值.
4．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
5．（2024·廣東·二模）數(shù)列滿(mǎn)足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
6．（2024·新疆·三模）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值組成的新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個(gè)二階等比數(shù)列，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)十一 數(shù)列求和-----錯(cuò)位相減法
1.錯(cuò)位相減法：且為等差數(shù)列，公差為，為等比數(shù)列，公比為.
(1) = 1 \* GB3 ①
(2) = 2 \* GB3 ②
(3) = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得
(4)求和得
(5)化簡(jiǎn)得最終答案.
(6),則，其中，.（不建議直接用）
1．（24-25高二上·福建·期中）在遞增的等差數(shù)列中，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2024·廣東肇慶·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
3．（2024·四川雅安·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（，且）．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
4．（24-25高二上·甘肅慶陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求.
(3)證明：．
5．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知公差為2的等差數(shù)列和公比為2的等比數(shù)列滿(mǎn)足：，.
(1)求和；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
6．（2024·湖北·一模）在公差不為0的等差數(shù)列中，，且是與的等比中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)十二 數(shù)列求和-----分組求和法
1.分組求和法：
(1)記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為.
(2)分別求與.
(3).
1．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿(mǎn)足：且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足：，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
考點(diǎn)十三 數(shù)列求和-----倒序相加法
1.已知數(shù)列與其前項(xiàng)和
由定義可知
得
左右兩邊同時(shí)除以__________，可得。
2.使用前提:_______________________________________________________________
1．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．12B．10C．5D．
2．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為q（）的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若，則（ ）
A．4069B．2023
C．2024D．4046
3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．-8088B．-8090C．-8092D．-8094
4．（2024·浙江·一模）若，已知數(shù)列中，首項(xiàng)，，，則 .
考點(diǎn)十四 奇偶數(shù)列
1.奇偶數(shù)列求和：已知，其中的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.
思路一：分類(lèi)討論
(1)
(2)若為偶數(shù)，則
(3)若為奇數(shù)，則
思路二：并項(xiàng)求和
(1)記
(2)
(3)若為偶數(shù)，則
(4)若為奇數(shù)，則
2.常見(jiàn)奇偶數(shù)列模型
(1)若，則________________，相減得____________________.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以_____為首項(xiàng)，_______為公差得等差數(shù)列，______________.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以_____為首項(xiàng)，_______為公差得等差數(shù)列，______________.
(2)若，則________________，相除得____________________.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以_____為首項(xiàng)，_______為公差得等比數(shù)列，______________.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以_____為首項(xiàng)，_______為公差得等比數(shù)列，______________.
(3)若，則直接按奇偶分開(kāi)討論.
1．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．
2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
3．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足 當(dāng)時(shí)，
(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；
(2)求
5．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)十五 數(shù)列插項(xiàng)問(wèn)題
1.插項(xiàng)的核心：插入的項(xiàng)數(shù)與插入的數(shù)據(jù)類(lèi)型.
2.常見(jiàn)插項(xiàng)問(wèn)題
（1）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，
記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，則，整理的_______________________.
（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，
記這個(gè)等比數(shù)列的公比為，則，整理的_______________________.
（3）在和之間插入個(gè)，組成新數(shù)列
求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和，需分清和各有多少項(xiàng)，分組求和.
1．（2024·廣東廣州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
2．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有 ，且 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.
3．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足；數(shù)列bn滿(mǎn)足，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或bn中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由.
4．（2024·河北滄州·一模）在數(shù)列中，已知．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中的和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；…；在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，這樣可以得到新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求（用數(shù)字作答）．
考點(diǎn)十六 數(shù)列最值問(wèn)題
1.求最值的常見(jiàn)方法：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________；
2.求數(shù)列單調(diào)性的方法：（1）作差法（與_______比較大?。? （2）作商法（與_______比較大?。?br>注意：雖然數(shù)列可近似視為函數(shù)（定義域?yàn)檎麛?shù)），但是一般不會(huì)用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，因?yàn)榍髮?dǎo)太復(fù)雜。
1．（2024·浙江·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)是1，其前項(xiàng)和是，且，.
(1)求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式，有解，求實(shí)數(shù)取到最大值時(shí)的值.
2．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，的首項(xiàng)均為1，為，的等差中項(xiàng)，且．
(1)若數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)使對(duì)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
4．（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列bn是公比大于1的等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.
考點(diǎn)十七 數(shù)列新定義
此類(lèi)新定義問(wèn)題看似給出一些高深莫測(cè)的定義，本質(zhì)上依舊在考察數(shù)列的基本問(wèn)題（等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求通項(xiàng)、數(shù)列求和等），所以可以通過(guò)賦值找出特例，再通過(guò)翻譯把新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的基本問(wèn)題.
1．（2024·廣東肇慶·一模）對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類(lèi)推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.
(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；
(2)若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為.
(1)若數(shù)列為，試寫(xiě)出集合，并求的值；
(2)若是遞增數(shù)列且，求證：是等比數(shù)列；
(3)判斷是否存在最大值，若存在，試說(shuō)明理由.
3．（2024·江西·一模）記數(shù)列中前項(xiàng)的最大值為，數(shù)列bn稱(chēng)為的“數(shù)列”，由所有的值組成的集合為．
(1)若，且中有3個(gè)元素，求的取值范圍；
(2)若數(shù)列，bn都只有4項(xiàng)，bn為的“數(shù)列”，滿(mǎn)足且存在，使得，求符合條件的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)；
(3)若，的“數(shù)列”bn的前n項(xiàng)和為，從，，，…，中任取3個(gè)，記其中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為，求．
4．（2024·浙江金華·三模）若正實(shí)數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列；若實(shí)數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)是一個(gè)凸數(shù)列.已知是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列，．
(1)證明：；
(2)若，證明：；
(3)若，，求的最大值．
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿(mǎn)足兩個(gè)性質(zhì)：①；②存在，使得，并記是數(shù)列的最大項(xiàng)，．則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若，寫(xiě)出所有具有性質(zhì)的數(shù)列；
(2)數(shù)列具有性質(zhì),若，求的最大項(xiàng)的最大值；
(3)數(shù)列具有性質(zhì),若，且還滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì)：（?。?duì)于滿(mǎn)足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿(mǎn)足的項(xiàng)和，使得；（ⅱ）對(duì)于滿(mǎn)足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿(mǎn)足的項(xiàng)和，使得．求滿(mǎn)足上述性質(zhì)的的最小值．
6．（2024·河北張家口·二模）如果項(xiàng)數(shù)均為n的數(shù)列滿(mǎn)足，且為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，，其中，那么就稱(chēng)為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”，記為的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)”，為的前項(xiàng)和.
(1)若，且，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)"；
(2)當(dāng)為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”時(shí)，
（i）證明：取最大值時(shí)，存在；
序號(hào)
知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容
考點(diǎn)一
等差數(shù)列的定義與特征值的計(jì)算
考點(diǎn)二
等比數(shù)列的定義與特征值的計(jì)算
考點(diǎn)三
等差數(shù)列的性質(zhì)
考點(diǎn)四
等比數(shù)列的性質(zhì)
考點(diǎn)五
數(shù)列通項(xiàng)公式----累加法
考點(diǎn)六
數(shù)列通項(xiàng)公式----累乘法
考點(diǎn)七
數(shù)列通項(xiàng)公式----法
考點(diǎn)八
數(shù)列通項(xiàng)公式----構(gòu)造法
考點(diǎn)九
數(shù)列通項(xiàng)公式----倒數(shù)法
考點(diǎn)十
數(shù)列求和-----裂項(xiàng)相消法
考點(diǎn)十一
數(shù)列求和-----錯(cuò)位相減法
考點(diǎn)十二
數(shù)列求和-----分組求和法
考點(diǎn)十三
數(shù)列求和-----倒敘相加法
考點(diǎn)十四
奇偶數(shù)列
考點(diǎn)十五
數(shù)列插項(xiàng)問(wèn)題
考點(diǎn)十六
數(shù)列最值問(wèn)題
考點(diǎn)十七
數(shù)列新定義

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第6章 數(shù)列

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