1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（3分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根是x＝1，則另一個根是（ ）
A．3B．﹣1C．﹣3D．﹣2
3．（3分）若方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
4．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
5．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
6．（3分）將拋物線y＝x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣3
7．（3分）下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
8．（3分）關于拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法中錯誤的是（ ）
A．開口方向向上
B．對稱軸是直線x＝1
C．當x＞1時，y隨x的增大而減小
D．頂點坐標為（1，﹣2）
9．（3分）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都只賽一場），計劃安排15場比賽．如果設邀請x個球隊參加比賽，那么根據(jù)題意可以列方程為（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．12x(x?1)=15
10．（3分）如果關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么k的值等于（ ）
A．1B．2C．0D．﹣1
二、填空題（每題4分，共20分）
11．（4分）點P（﹣3，6）關于原點對稱的點的坐標是 ．
12．（4分）若拋物線y＝x2+（m+1）x+9與x軸只有一個交點，則m的值為 ．
13．（4分）如圖，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為 ．
14．（4分）拋物線y＝x2+x﹣2與x軸的交點坐標為 ，與y軸交點的坐標為 ．
15．（4分）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，則式子4m2+6m+2023的值為 ．
三、解答題（一）（每題6分，共24分）
16．（6分）x2﹣6x﹣9＝0（配方法）．
17．（6分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
18．（6分）2x2﹣3x+1＝0（十字相乘法）．
19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．畫出與△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1，并直接寫出點A1的坐標．
三、解答題（二）（每題7分，共28分）
20．（7分）關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．
21．（7分）某鋼鐵廠計劃今年第一季度一月份的總產(chǎn)量為500t，三月份的總產(chǎn)量為720t，若平均每月的增長率相同．
（1）第一季度平均每月的增長率；
（2）如果第二季度平均每月的增長率保持與第一季度平均每月的增長率相同，請你估計該廠今年5月份總產(chǎn)量能否突破1000t？
22．（7分）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件，已知商品的進價為每件40元，為使利潤最大，定價應為 ．
23．（7分）在一場足球比賽中，一球員從球門正前方10米處起腳射門，當球飛行的水平距離為6米時達到最高點，此時球高為3米．
（1）如圖建立直角坐標系，當球飛行的路線為一拋物線時，求此拋物線的解析式．
（2）已知球門高為2.44米，問此球能否射中球門（不計其它情況）．
三、解答題（三）（共18分）
24．（8分）如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米．
（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；
（2）當水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）．問：此船能否順利通過這座拱橋？
25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點D是拋物線上一點，D點橫坐標為3，連接AD，點P為AD上方拋物線上一點，連接PA，PD，請求出△PAD面積的最大值及此時點P的坐標．
2023-2024學年廣東省江門市江海區(qū)禮樂三中九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：第一個圖是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；
第二個圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
第三個圖是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
第四個圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有2個，
故選：B．
2．（3分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根是x＝1，則另一個根是（ ）
A．3B．﹣1C．﹣3D．﹣2
【答案】C
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出兩根的積，即可求得方程的另一根．
【解答】解：設m、n是方程x2+kx﹣3＝0的兩個實數(shù)根，且m＝x＝1；
則有：mn＝﹣3，即n＝﹣3；
故選：C．
3．（3分）若方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
【答案】C
【分析】先根據(jù)題意得出拋物線與x軸的交點坐標，再由兩點坐標關于拋物線的對稱軸對稱即可得出結論．
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點分別為（﹣3，0），（1，0）．
∵此兩點關于對稱軸對稱，
∴對稱軸是直線x=?3+12=?1．
故選：C．
4．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【答案】D
【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解兩個一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故選：D．
5．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)結合根的判別式Δ＞0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，
∴m＞0．
故選：B．
6．（3分）將拋物線y＝x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣3
【答案】D
【分析】先得到拋物線y＝x2的頂點坐標（0，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后的對應點的坐標為（﹣2，﹣3），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
【解答】解：拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）先向左平移2個單位，再向下平移3個單位得到對應點的坐標為（﹣2，﹣3），所以平移后的拋物線解析式為y＝（x+2）2﹣3．
故選：D．
7．（3分）下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
【答案】B
【分析】求出每個方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的正負情況即可作出判斷．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有兩個相等實數(shù)根，此選項錯誤；
B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程沒有實數(shù)根，此選項正確；
C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有兩個不等的實數(shù)根，此選項錯誤；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有兩個不等的實數(shù)根，此選項錯誤；
故選：B．
8．（3分）關于拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法中錯誤的是（ ）
A．開口方向向上
B．對稱軸是直線x＝1
C．當x＞1時，y隨x的增大而減小
D．頂點坐標為（1，﹣2）
【答案】C
【分析】根據(jù)y＝（x﹣1）2﹣2可得拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣2），x＞1時y隨x增大而增大，x＜1時y隨x增大而減小，進而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣2），x＞1時y隨x增大而增大，x＜1時y隨x增大而減小，
故選：C．
9．（3分）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都只賽一場），計劃安排15場比賽．如果設邀請x個球隊參加比賽，那么根據(jù)題意可以列方程為（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．12x(x?1)=15
【答案】D
【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)=x(x?1)2，由此可得出方程．
【解答】解：設邀請x個隊，每個隊都要賽（x﹣1）場，但兩隊之間只有一場比賽，
由題意得，x(x?1)2=15，
故選：D．
10．（3分）如果關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么k的值等于（ ）
A．1B．2C．0D．﹣1
【答案】A
【分析】根據(jù)根的判別式得到Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解關于k的方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故選：A．
二、填空題（每題4分，共20分）
11．（4分）點P（﹣3，6）關于原點對稱的點的坐標是 （3，﹣6） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】關于原點對稱的兩個點的橫縱坐標分別互為相反數(shù)．
【解答】解：點P（﹣3，6）關于原點對稱的點的坐標是 （3，﹣6）．
故答案為：（3，﹣6）．
12．（4分）若拋物線y＝x2+（m+1）x+9與x軸只有一個交點，則m的值為 ﹣7或5 ．
【答案】﹣7或5．
【分析】利用拋物線與x軸只有一個交點，令y＝x2+m+1）x+9＝0，根據(jù)b2﹣4ac＝0進而求出m的值即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+（m+1）x+9與x軸只有一個交點，
∴令y＝x2+（m+1）x+9＝0，
∴b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4×9＝0，
解得：m＝﹣7或5，
故答案為：﹣7或5．
13．（4分）如圖，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為 x1＝﹣1，x2＝4 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先根據(jù)圖象求出拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標，進而寫出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由圖可知：拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（4，0），
則一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝4．
14．（4分）拋物線y＝x2+x﹣2與x軸的交點坐標為 （﹣2，0）、（1，0） ，與y軸交點的坐標為 （0，﹣2） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】拋物線與x軸的交點的縱坐標為零；拋物線與y軸交點的橫坐標為零．
【解答】解：①當y＝0時，由原拋物線方程，得
x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）＝0，
解得，x＝﹣2或x＝1，
則拋物線y＝x2+x﹣2與x軸的交點坐標為（﹣2，0）、（1，0）；
②當x＝0時，y＝0+0﹣2＝﹣2，
則拋物線y＝x2+x﹣2與y軸的交點坐標為（0，﹣2）；
故答案為：（﹣2，0）、（1，0）；（0，﹣2）．
15．（4分）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，則式子4m2+6m+2023的值為 2025 ．
【答案】2025．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝m代入已知方程后即可求得所求代數(shù)式的值．
【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
則2m2+3m＝1．
所以4m2+6m+2023＝2（2m2+3m）+2023＝2+2023＝2025．
故答案為：2025．
三、解答題（一）（每題6分，共24分）
16．（6分）x2﹣6x﹣9＝0（配方法）．
【答案】x1＝3+32，x2＝3﹣32．
【分析】利用配方法解方程．
【解答】解：x2﹣6x﹣9＝0，
x2﹣6x＝9，
x2﹣6x+9＝18，
（x﹣3）2＝18，
x﹣3＝±32，
所以x1＝3+32，x2＝3﹣32．
17．（6分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】將方程左邊的多項式利用十字相乘法分解因式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，分別求出兩個一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：3x2+5x﹣2＝0，
因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0，
可化為3x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1=13，x2＝﹣2．
18．（6分）2x2﹣3x+1＝0（十字相乘法）．
【答案】x1=12，x2＝1．
【分析】先利用因式分解法把方程轉化為2x﹣1＝0或x﹣1＝0，然后解兩個一次方程即可．
【解答】解：2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x1=12，x2＝1．
19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．畫出與△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1，并直接寫出點A1的坐標．
【答案】A1（5，﹣1）．
【分析】利用關于原點中心對稱的點的坐標特征得到A1、B1、C1的坐標，然后連線得到△A1B1C1．
【解答】解：如圖，△A1B1C1為所作，點A1的坐標為（5，﹣1）．
三、解答題（二）（每題7分，共28分）
20．（7分）關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根即可得出Δ＞0，代入數(shù)據(jù)即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論；
（2）結合（1）結論，令m＝1，將m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出結論．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞?54．
（2）m＝1，此時原方程為x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
21．（7分）某鋼鐵廠計劃今年第一季度一月份的總產(chǎn)量為500t，三月份的總產(chǎn)量為720t，若平均每月的增長率相同．
（1）第一季度平均每月的增長率；
（2）如果第二季度平均每月的增長率保持與第一季度平均每月的增長率相同，請你估計該廠今年5月份總產(chǎn)量能否突破1000t？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）設第一季度平均每月的增長率為x，根據(jù)該廠一月份及三月份的總產(chǎn)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）根據(jù)五月份的總產(chǎn)量＝三月份的總產(chǎn)量×（1+增長率）2，即可求出今年五月份的總產(chǎn)量，再與1000進行比較即可得出結論．
【解答】解：（1）設第一季度平均每月的增長率為x，
根據(jù)題意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增長率為20%．
（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），
∵1036.8＞1000，
∴該廠今年5月份總產(chǎn)量能突破1000t．
22．（7分）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件，已知商品的進價為每件40元，為使利潤最大，定價應為 65 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】設商品的定價為x元/件，總利潤為y，根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得．
【解答】解：設商品的定價為x元/件，總利潤為y，
則y＝（x﹣40）[300﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1300x﹣36000
＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∴當x＝65時，y最大＝6250，
故答案為：65．
23．（7分）在一場足球比賽中，一球員從球門正前方10米處起腳射門，當球飛行的水平距離為6米時達到最高點，此時球高為3米．
（1）如圖建立直角坐標系，當球飛行的路線為一拋物線時，求此拋物線的解析式．
（2）已知球門高為2.44米，問此球能否射中球門（不計其它情況）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點坐標是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）求出當x＝0時，拋物線的函數(shù)值，與2.44米進行比較即可判斷．
【解答】解：（1）拋物線的頂點坐標是（4，3），
設拋物線的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，
解得a=?112，
則拋物線是y=?112（x﹣4）2+3；
（2）當x＝0時，y=?112×16+3＝3?43=53＜2.44米．
故能射中球門．
三、解答題（三）（共18分）
24．（8分）如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米．
（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；
（2）當水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）．問：此船能否順利通過這座拱橋？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)寫出函數(shù)解析式．
（2）計算出本問可用兩種方法求得，求x＝3米時求出水面求出此時y的值，A、B點的橫坐標減去y此時的值到正常水面AB的距離與3.6相比較即可得出答案．
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2，
因為拋物線關于y軸對稱，AB＝20，所以點B的橫坐標為10，
設點B（10，n），點D（5，n+3），
n＝102?a＝100a，n+3＝52a＝25a，
即n=100an+3=25a，
解得n=?4a=?125，
∴y=?125x2；
（2）∵貨輪經(jīng)過拱橋時的橫坐標為x＝3，
∴當x＝3時，y=?125×9，
同理，當x＝10時，y＝﹣4，
∵?925?（﹣4）＞3.6
∴在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋．
答：在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點D是拋物線上一點，D點橫坐標為3，連接AD，點P為AD上方拋物線上一點，連接PA，PD，請求出△PAD面積的最大值及此時點P的坐標．
【答案】（1）y=?12x2+x+4；
（2）△PAD面積的最大值是12516，此時點P的坐標為（12，358）．
【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），可以求得該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意，先求出點D的坐標，即可求出直線AD的解析式，然后即可表示出△PAD面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），
∴4a?2b+4=016a+4b+4=0，
解得a=?12b=1，
即拋物線的函數(shù)解析式為y=?12x2+x+4；
（2）當x＝3時，y=?12×32+3+4=52，
∴點D的坐標為（3，52），
設直線AD的解析式為y＝kx+d，
∵點A（﹣2，0），D（3，52）在直線AD上，
∴?2k+d=03k+d=52，
解得k=12d=1，
即直線AD的解析式為y=12x+1，
設點P的坐標為（m，?12m2+m+4），△PAD面積為S，
S＝[（?12m2+m+4）﹣（12m+1）]×[3﹣（﹣2）]×12=?54（m?12）2+12516，
∴當m=12時，S取得最大值，此時S=12516，點P的坐標為（12，358）．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/6 16:29:13；用戶：甘炎華；郵箱：15876282033；學號：49651929

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