1．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次項系數是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
2．（3分）二次函數y＝﹣（x﹣2）2﹣3的圖象的頂點坐標是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）下列方程中，沒有實數根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+2＝0D．kx2﹣x﹣k＝0
4．（3分）已知一元二次方程2x2﹣kx+1＝0有一個根為x＝1，則k的值為（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
5．（3分）把二次函數y＝3x2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函數關系式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程應變形為（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8
7．（3分）若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
8．（3分）設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+5上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
9．（3分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元．設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則所列方程正確的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16D．23（1﹣2x）＝16
10．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論 ①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正確的個數是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的兩個根，則x1+x2的值是 ．
12．（3分）方程（x+5）2﹣16＝0的解是 ．
13．（3分）二次函數y＝﹣（x+a）2﹣2的最大值是 ．
14．（3分）生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了132件，如果全組共有x名同學，根據題意列出的方程是 ．
15．（3分）拋物線y＝x2+2x+m與x軸只有一個交點，則m的值是 ．
16．（3分）已知函數y＝x2﹣6x+2，當﹣1＜x＜4時，則y的取值范圍為 ．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.）
17．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
18．（4分）一元二次方程x2+kx﹣15＝0的一個根是﹣3，求另一個根及k的值．
19．（6分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），利用圖象的特點填空：
（1）該二次的數圖象的對稱軸為直線 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的解為 ；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集為 ．
20．（6分）如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．
（1）求m的值；
（2）求函數y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
21．（8分）如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度．
22．（10分）關于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個不等實根x1，x2，
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若方程兩實根x1，x2滿足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
23．（10分）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系如圖②所示，擲出時起點處高度為2m，當水平距離為4.5m時，實心球行進至最高點258m處．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）根據該市2023年中考體育考試評分標準（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于12.4m，此項考試得分為滿分17分．按此評分標準，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．
24．（12分）某超市銷售一種商品，成本價為20元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．設每天的總利潤為w元．
（1）根據圖象求出y與x之間的函數關系式；
（2）請求出w與x之間的函數關系式，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）若該超市銷售該商品所獲利潤不低于2800元，請直接寫出x的取值范圍．
25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）如圖1，二次函數圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點D，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值．
（3）如圖2，點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點Q，使點B與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
2023-2024學年廣東省江門市江海區(qū)禮樂中學九年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是正確的）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次項系數是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
【答案】B
【分析】根據一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數且a≠0），在一般形式中bx叫一次項，系數是b，可直接得到答案．
【解答】解：一次項是：未知數次數是1的項，故一次項是﹣3x，系數是：﹣3，
故選：B．
2．（3分）二次函數y＝﹣（x﹣2）2﹣3的圖象的頂點坐標是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【答案】B
【分析】根據題目中函數的解析式直接得到此二次函數的頂點坐標．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴二次函數y＝﹣（x﹣2）2﹣3的圖象的頂點坐標是（2，﹣3）
故選：B．
3．（3分）下列方程中，沒有實數根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+2＝0D．kx2﹣x﹣k＝0
【答案】C
【分析】逐一求出四個選項中方程的根的判別式△的值，取其小于零的選項即可得出結論．
【解答】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x2﹣2x+1＝0有兩個相等的實數根；
B、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根；
C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒有實數根；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣k）＝1+4k2＞0，
∴一元二次方程kx2﹣x﹣k＝0有兩個不相等的實數根．
故選：C．
4．（3分）已知一元二次方程2x2﹣kx+1＝0有一個根為x＝1，則k的值為（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x＝1代入方程得關于k的一次方程2x2﹣kx+1＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程2x2﹣kx+1＝0得2﹣k+1＝0，
解得k＝3．
故選：A．
5．（3分）把二次函數y＝3x2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函數關系式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1
【答案】D
【分析】根據二次函數的平移規(guī)律：上加下減，左加右減，即可求得結果．
【解答】解：把二次函數y＝3x2的圖象向左平移2個單位，得到y(tǒng)＝3（x+2）2，
再向上平移1個單位，得到y(tǒng)＝3（x+2）2+1，
故答案選：D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程應變形為（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8
【答案】A
【分析】根據配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
∴（x﹣3）2＝8，
故選：A．
7．（3分）若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
【答案】B
【分析】根據根的判別式及一元二次方程的定義得出關于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，
∴k≠0△＞0，即k≠0△=4+4k＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故選：B．
8．（3分）設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+5上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【分析】根據二次函數的性質得到拋物線y＝﹣（x+1）2+5的開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，然后根據三個點離對稱軸的遠近判斷函數值的大?。?br>【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x+1）2+5的開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，
而C（2，y3）離直線x＝﹣1的距離最遠，A（﹣2，y1）點離直線x＝﹣1最近，
∴y1＞y2＞y3．
故選：A．
9．（3分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元．設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則所列方程正確的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16D．23（1﹣2x）＝16
【答案】B
【分析】首先根據3月份售價為23萬元，月均下降率是x可得出4月份的售價為23（1﹣x）萬元，5月份的售價為23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2萬元，據此根據5月份售價為16萬元可列出方程，進而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售價為23萬元，月均下降率是x，5月份售價為16萬元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故選：B．
10．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論 ①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正確的個數是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據拋物線開口方向，對稱軸的位置，與x軸交點個數，以及x＝﹣1，x＝1對應y值的正負判斷即可．
【解答】解：∵把x＝1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a+b+c＞0，∴①錯誤；
∵把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a﹣b+c＜0，∴②正確；
∵從圖象可知：?b2a＜1，
即2a+b＜0，∴③正確；
∵從圖象可知：a＜0，c＞0，?b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，∴④錯誤；
∵圖象和x軸有兩個交點，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，∴⑤錯誤；
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的兩個根，則x1+x2的值是 1 ．
【答案】1．
【分析】直接根據一元二次方程根與系數的關系解答即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的兩個根，
∴x1+x2=?ba=??11=1．
故答案為：1．
12．（3分）方程（x+5）2﹣16＝0的解是 x1＝﹣1，x2＝﹣9 ．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【分析】先移項，然后直接開平方法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（x+5）2﹣16＝0，
（x+5）2＝16，
∴x+5＝±4，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9，
故答案為：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
13．（3分）二次函數y＝﹣（x+a）2﹣2的最大值是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】根據二次函數的性質和已知得出最大值即可．
【解答】解：∵y＝﹣（x+a）2﹣2，
∵﹣1＜0，
∴函數的圖象開口向下，函數有最大值，
∴函數的最大值是﹣2，
故答案為：﹣2．
14．（3分）生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了132件，如果全組共有x名同學，根據題意列出的方程是 x（x﹣1）＝132 ．
【答案】x（x﹣1）＝132．
【分析】先求每名同學贈的標本，再求x名同學贈的標本，而已知全組共互贈了132件，故根據等量關系可得到方程．
【解答】解：設全組有x名同學，則每名同學所贈的標本為：（x﹣1）件，
那么x名同學共贈：x（x﹣1）件，
所以，x（x﹣1）＝132．
故答案為：x（x﹣1）＝132．
15．（3分）拋物線y＝x2+2x+m與x軸只有一個交點，則m的值是 1 ．
【答案】1．
【分析】由拋物線y＝x2+2x+m與x軸只有一個交點，推出Δ＝0，構建方程求解．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x+m與x軸只有一個交點，
∴Δ＝0，
∴4﹣4m＝0，
m＝1．
故答案為：1．
16．（3分）已知函數y＝x2﹣6x+2，當﹣1＜x＜4時，則y的取值范圍為 ﹣7≤y＜9 ．
【答案】﹣7≤y＜9．
【分析】將二次函數解析式化為頂點式，根據拋物線開口方向及頂點坐標求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝3，頂點坐標為（3，﹣7），
將x＝﹣1代入y＝x2﹣6x+2得y＝1+6+2＝9，
∴當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是﹣7≤y＜9，
故答案為：﹣7≤y＜9．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.）
17．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【答案】見試題解答內容
【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移項得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
x﹣1＝0，3x﹣2＝0，
x1＝1，x2=23．
18．（4分）一元二次方程x2+kx﹣15＝0的一個根是﹣3，求另一個根及k的值．
【答案】另一個根是5，k的值為﹣2．
【分析】先設它的另一個根是a，根據根與系數的關系可得﹣3a＝﹣15，解可求a，再把x＝﹣3代入方程易求k．
【解答】解：設它的另一個根是a，則
﹣3a＝﹣15，
解得a＝5，
把x＝﹣3代入方程，得
9﹣3k﹣15＝0，
解得k＝﹣2．
答：另一個根是5，k的值為﹣2．
19．（6分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），利用圖象的特點填空：
（1）該二次的數圖象的對稱軸為直線 x＝1 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的解為 x1＝0，x2＝2 ；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集為 x＜﹣1或x＞3 ．
【答案】（1）x＝1；
（2）x1＝0，x2＝2；
（3）x＜﹣1或x＞3．
【分析】（1）根據二次函數上對稱的兩點求解即可；
（2）根據圖象性質，當ax2+bx+c＝﹣3即y＝﹣3，由此得到其中一個解為x＝0，再根據拋物線的對稱性，解得另一個解即可；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集即拋物線位于x軸的上方，根據圖象解題即可．
【解答】解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），
∴該二次的數圖象的對稱軸為直線x=?1+32=1；
（2）∵二次函數y＝ax2+bx+c經過點C（0，﹣3），
對稱軸為x＝1，
∴二次函數y＝ax2+bx+c經過點（2，﹣3），
∵當y＝﹣3時，即ax2+bx+c＝﹣3，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解為x1＝0，x2＝2；
（3）根據圖象可得，
∵二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），
∴不等式ax+bx+c＞0的解集為x＜﹣1或x＞3．
20．（6分）如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．
（1）求m的值；
（2）求函數y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
【答案】（1）m＝﹣3，（2）y=13x2?3．
【分析】（1）將C（0，﹣3）代入y＝x+m中求解m即可；
（2）先求得點B坐標，再將B、C坐標代入y＝ax2+b（a≠0）中求解即可．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+m過頂點C，C（0，﹣3），
∴m＝﹣3；
（2）由m＝﹣3得直線解析式為y＝x﹣3，
當y＝0時，x＝3，則B（3，0），
將B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+b（a≠0）中，得9a+b=0b=?3，解得a=13b=?3，
∴拋物線的解析式為y=13x2?3．
21．（8分）如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度．
【答案】3m．
【分析】設綠地的長、寬增加的長度為x m，由題意：將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：設綠地的長、寬增加的長度各為x m，
由題意得：（12+x）（9+x）＝12×9+72，
整理得：x2+21x﹣72＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣24（不符合題意，舍去），
答：綠地長、寬增加的長度各為3m．
22．（10分）關于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個不等實根x1，x2，
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若方程兩實根x1，x2滿足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式得出Δ＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根據根與系數的關系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1?x2＝k2，代入x1+x2+x1x2﹣1＝0，即可求出k值．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個不等實根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0，
解得：k＜14，
即實數k的取值范圍是k＜14；
（2）由根與系數的關系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1?x2＝k2，
∵x1+x2+x1x2﹣1＝0，
∴1﹣2k+k2﹣1＝0，
解得：k＝0或2，
∵由（1）知：k＜14，
∴k＝2舍去，
即k＝0．
23．（10分）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系如圖②所示，擲出時起點處高度為2m，當水平距離為4.5m時，實心球行進至最高點258m處．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）根據該市2023年中考體育考試評分標準（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于12.4m，此項考試得分為滿分17分．按此評分標準，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意設出y關于x的函數表達式，再用待定系數法求函數解析式即可；
（2）根據該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根據題意設y關于x的函數表達式為：
y=a(x?4.5)2+258，
把（0，2）代入解析式得，
2=a(0?4.5)2+258，
解得：a=?118
∴y關于x的函數表達式為：y=?118(x?4.5)2+258；
（2）該生在此項考試中得不到滿分，理由：
當y＝0，則，?118(x?4.5)2+258=0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（舍去），
∵12＜12.4，
∴該生在此項考試中得不到滿分．
24．（12分）某超市銷售一種商品，成本價為20元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．設每天的總利潤為w元．
（1）根據圖象求出y與x之間的函數關系式；
（2）請求出w與x之間的函數關系式，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）若該超市銷售該商品所獲利潤不低于2800元，請直接寫出x的取值范圍．
【答案】（1）y＝﹣x+180；
（2）w＝﹣x2+200x﹣3600，當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是6000元；
（3）40≤x≤80．
【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），由待定系數法求解即可；
（2）利用總利潤等于每千克的利潤乘以銷售量，列出函數關系式并根據問題實際得出自變量的取值范圍．將w關于x的二次函數寫成頂點式，根據二次函數的性質及自變量的取值范圍可得答案；
（3）構建不等式求解．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），
將（30，150）；（80，100）分別代入得：
150=30k+b100=80k+b，
解得：k=?1b=180，
∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+180；
（2）由題意得：
w＝（x﹣20）（﹣x+180）
＝﹣x2+200x﹣3600，
∴w＝﹣x2+200x﹣3600（30≤x≤80）；
∵w＝﹣x2+200x﹣3600
＝﹣（x﹣100）2+6400，
∵﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝100，
∴當x＜100時，w隨x的增大而增大，
∴當x＝80時，w有最大值，此時w＝6000，
∴當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是6000元；
（3）由題意：（x﹣20）（﹣x+180）≥2800，
整理得x2﹣200x+6400≤0，
∴（x﹣40）（x﹣160）≤0，
∴40≤x≤160．
又∵30≤x≤80，
∴40≤x≤80．
25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）如圖1，二次函數圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點D，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值．
（3）如圖2，點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點Q，使點B與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）98；
（3）Q（1?5，?5）或（1+5，5）．
【分析】（1）根據拋物線的交點式直接得出結果；
（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出拋物線的對稱軸，進而求得C，D坐標及CD的長，從而得出過M的直線y＝x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大，根據x+m＝﹣x2﹣2x+3的Δ＝0求得m的值，進而求得M的坐標，進一步求得CD上的高MQ的值，進一步得出結果；
（3）分兩種情形：當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，設P（t，t+3），根據CP＝CB求得t的值，可推出四邊形BCPQ是平行四邊形，進而求得Q點坐標；當點P在AC的延長線上時，同樣方法得出結果．
【解答】解：（1）由題意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
拋物線的對稱軸是直線：x=?3+12=?1，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），
∴CD=2，
故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大，
設過點M與AC平行的直線的解析式為：y＝x+m，
當直線y＝x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3=94，
∴x2+3x+94=0，
∴x1＝x2=?32，
∴y＝﹣（?32）2﹣2×(?32)+3=154，
y＝x+3=?32+3=32，
∴ME=154?32=94，
∴MQ＝ME?sin∠MEQ＝ME?sin45°=94×22=928，
∴S△MCD最大=12×2×928=98；
（3）如圖2，
當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，
∵點B和點Q關于CQ對稱，
∴CP＝CB，
設P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1=?5，t2=5（舍去），
∴P（?5，3?5），
∵PQ∥BC，
∴CRQR=BRPR=1，
∴CR＝QR，
∴四邊形BCPQ是平行四邊形，
∵1+（?5）﹣0＝1?5，0+（3?5）﹣3=?5，
∴Q（1?5，?5）；
如圖3，
當點P在AC的延長線上時，由上可知：P（5，3+5），
同理可得：Q（1+5，5），
綜上所述：Q（1?5，?5）或（1+5，5）．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/6 16:27:24；用戶：甘炎華；郵箱：15876282033；學號：49651929

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