第I卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共10小題，共30分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 2025年3月12日是我國的第47個(gè)植樹節(jié)，為劃定太原市生態(tài)保護(hù)的邊界，《太原市國土空見總體規(guī)劃（2021-2035年）》明確生態(tài)保護(hù)紅線面積不低于平方千米．若用（平方千米）表示生態(tài)保護(hù)紅線面積，則滿足的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，生態(tài)保護(hù)紅線面積不低于平方千米，即大于等于平方千米，即可得出，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，生態(tài)保護(hù)紅線面積不低于平方千米，即大于等于平方千米，
∴，
故選：D．
2. 如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到，則該三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等邊三角形
C. 等腰直角三角形D. 含角的等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得到,即可得到答案．
【詳解】解：由題可得，與可重合，即,
是等腰三角形，
故選：A ．
3. 下列四個(gè)不等式：①；②；③；④．其中能推出的有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；
，當(dāng)時(shí)，，故②不符合題意；
∵，
∴，故③符合題意；
∵，
∴，故④符合題意；
綜上所述，其中能推出的有2個(gè)．
故選：B．
4. 用反證法證明“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)直角三角形中（ ）
A. 有一個(gè)銳角小于
B 每一個(gè)銳角都小于
C. 有一個(gè)銳角大于
D. 每一個(gè)銳角都大于
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查反證法．熟練掌握反證法的第一步，假設(shè)結(jié)論不成立，是解題的關(guān)鍵．用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．
【詳解】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”時(shí)，
應(yīng)先假設(shè)每一個(gè)銳角都大于．
故選：D．
5. 如圖，數(shù)軸上表示的是某不等式組的解集，該不等式組可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，用數(shù)軸表示不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的步驟和解不等式的依據(jù)．分別求出每個(gè)不等式組的解集，再結(jié)合數(shù)軸判斷即可得出答案．
【詳解】解：A．
解不等式得，
解不等式得，
∴不符合題意；
B．
解不等式得，
解不等式得，
∴符合題意；
C．
解不等式得，
解不等式得，
∴不符合題意；
D．
解不等式得，
解不等式得，
∴不符合題意；
故選：B．
6. 下列命題中，逆命題是真命題的是（ ）
A. 如果兩個(gè)直角三角形全等，那么它們的斜邊相等
B. 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的商為1，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)互為相反數(shù)
C. 如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等
D. 如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么這個(gè)三角形兩腰上的高相等
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了逆命題以及真假命題，全等三角形的判定，等腰三角形的判斷，掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，把四個(gè)選項(xiàng)中的命題的結(jié)論與條件互換可得到逆命題，再判斷出真假即可．
【詳解】解：、逆命題為：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊相等，那么它們?nèi)龋e(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
、逆命題為：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的商為1，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
、逆命題為：如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，那么它們?nèi)?，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
、逆命題為：如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形，正確，是真命題，符合題意；
故選：．
7. 如圖，于點(diǎn)于點(diǎn)，且，若利用“H.L.”證明，則需添加的條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，
題目中已經(jīng)給出一對(duì)直角邊相等，再添加斜邊對(duì)應(yīng)相等可得答案．
【詳解】解：在和中，
∴．
所以需要添加的條件是．
故選：A．
8. 如圖是一次函數(shù)與的圖象，則不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以直接判斷本題的答案．
【詳解】解：結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在函數(shù)的下方，
即不等式的解集是；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，一元一次不等式的解集就是確定直線在另一條直線（或者x軸）上（或下）方部分所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；這是數(shù)形結(jié)合的典型考查．
9. 某品牌臺(tái)燈的生產(chǎn)成本為220元，春節(jié)期間，商店為了讓利給顧客，要求原價(jià)滿300元的產(chǎn)品，需在原價(jià)的基礎(chǔ)上減去50元出售，該品牌臺(tái)燈為了保證利潤率不低于，以下定價(jià)不能達(dá)到品牌要求的是（ ）
A. 290元B. 330元C. 340元D. 350元
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意得出臺(tái)燈的最低售價(jià)為元才能保證利潤率不低于，逐一分析各項(xiàng)即可得出答案，掌握一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，設(shè)臺(tái)燈的最低售價(jià)為元，
解得：，
A、，故選項(xiàng)不符合題意；
B、，故選項(xiàng)符合題意；
C、，故選項(xiàng)不符合題意；
D、，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
10. 如圖，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長為8的半圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，連接，，有以下結(jié)論：
①當(dāng)，時(shí)，能得到形狀唯一的．
②當(dāng)，時(shí)，不能得到形狀唯一的．
③當(dāng)，時(shí)，不能得到形狀唯一的．
④當(dāng)，時(shí)，能得到形狀唯一的．
其中正確結(jié)論序號(hào)是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定方法的探究，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定以為圓心，的長度為半徑畫弧，弧與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
分別在以上四種情況下以為圓心，的長度為半徑畫弧，觀察弧與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，作出后可得答案．
【詳解】解：如圖，當(dāng)，時(shí)，以為圓心，的長度為半徑畫弧，弧與直線有一個(gè)交點(diǎn)，作出，故唯一，故①正確，符合題意；
如圖，當(dāng)，時(shí)，以為圓心，的長度為半徑畫弧，弧與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的都符合題意，故不唯一，故②正確，符合題意；
如圖，當(dāng)，時(shí)，以為圓心，的長度為半徑畫弧，弧與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的都符合題意，但是此時(shí)兩個(gè)三角形全等，故形狀相同，故唯一，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
如圖，當(dāng)時(shí)，以為圓心，的長度為半徑畫弧，弧與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)左邊位置的不符合題意，故唯一，故④正確，符合題意；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②④，
故選：C．
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共5小題，共15分）
11. 已知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限，得到，求解即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)；作直線分別交、于點(diǎn)、，若，的周長為，則的周長為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再得到，即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由作圖可得：，，
∴，
∵的周長為，
∴，
∴的周長，
故答案為：．
13. 若關(guān)于的不等式可化為，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)已知解集得到，即可確定出a的范圍．
【詳解】∵關(guān)于的不等式可化為，
∴
∴．
故答案為：．
14. 如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)，可在槽中滑動(dòng)，若，則的度數(shù)是________．
【答案】##25度
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再由三角形外角性質(zhì)求得，最后由三角形外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，即．
故答案為：．
15. 如圖，在中，，點(diǎn)為外一點(diǎn)，且滿足，則的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形、勾股定理．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，則，先由兩條平行線之間的距離處處相等得到，再證明得到，然后在中由求出，，，，再利用得到，接著利用勾股定理依次求出，，，于是得到問題的答案．
【詳解】解：作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 下面是小星同學(xué)解不等式的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)：
（1）上述求解過程中，第三步變形的依據(jù)是________；
（2）上述求解過程中的第________步發(fā)生錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤為________；
（3）該不等式的解集應(yīng)為________．
【答案】（1）不等式的性質(zhì)1
（2）五，兩邊都除以時(shí)，不等號(hào)方向沒有改變
（3）
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式，理解了解一元一次不等式的步驟及依據(jù)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)解不等式的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得，
上述求解過程中，第三步變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)1；
【小問2詳解】
解：上述求解過程中的第五步發(fā)生錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤為兩邊都除以時(shí)，不等號(hào)方向沒有改變；
【小問3詳解】
解：去分母，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得，
兩邊都除以，得．
17. 解下列不等式（組）：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）無解
【解析】
【分析】本題考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
（1）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
小問1詳解】
解：5x+3>32+x
；
【小問2詳解】
解：x?3x?2>4①x?1≥1+2x3②
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式組無解．
18. 如圖，在中，，，于點(diǎn)，若，求的長．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，先求出，然后根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)依次求出，即可．
【詳解】解：在中，，，
，

．
19. 為了籌備數(shù)學(xué)知識(shí)大賽，小星借讀了一本與此相關(guān)的500頁的書籍，計(jì)劃10天內(nèi)讀完．前6天因種種原因只讀了240頁，那么從第七天起平均每天至少要讀多少頁，才能按計(jì)劃讀完這本書？
【答案】從第7天起平均每天至少要讀65頁，才能按計(jì)劃讀完這本書．
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，先設(shè)從第7天起平均每天要讀頁．因?yàn)?00頁的科普書計(jì)劃10天內(nèi)讀完．前5天因種種原因只讀了240頁，故得，再解得，即可作答．
【詳解】解：設(shè)從第7天起平均每天要讀頁．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：從第7天起平均每天至少要讀65頁，才能按計(jì)劃讀完這本書．
20. 如圖，在中，．
（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離也相等時(shí)，則的度數(shù)為______．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．
（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；
（2）證明，再根據(jù)，求出即可．
【小問1詳解】
解：如圖，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等，
∴點(diǎn)P即為所求；
【小問2詳解】
解：由作圖可知，
∴，
∵點(diǎn)P到直線、的距離也相等，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：30．
21. 學(xué)校為了給運(yùn)動(dòng)會(huì)獲獎(jiǎng)學(xué)生發(fā)放獎(jiǎng)品，打算購買籃球、足球共30個(gè)．已知籃球、足球的單價(jià)分別是120元和100元．
（1）求購買籃球、足球所需總費(fèi)用（元）與購買籃球數(shù)量（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系；
（2）若學(xué)校計(jì)劃購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的2倍．問：學(xué)校所購買的籃球?yàn)槎嗌賯€(gè)時(shí)，所需總費(fèi)用最??？求出最省費(fèi)用．
【答案】（1）
（2）學(xué)校所購買的籃球?yàn)?5個(gè)時(shí)，所需總費(fèi)用最省，最省費(fèi)用為3300元．
【解析】
【分析】此題考查一次函數(shù)和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意，理清各量間關(guān)系是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)總費(fèi)用等于籃球的費(fèi)用加上足球的費(fèi)用可得關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意得到，求出，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
根據(jù)題意得，；
【小問2詳解】
∵學(xué)校計(jì)劃購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的2倍
∴
解得
∵，
∴y隨x的增大而增大
∴當(dāng)，y取得最小值，即
∴學(xué)校所購買的籃球?yàn)?5個(gè)時(shí)，所需總費(fèi)用最省，最省費(fèi)用為3300元．
22. 我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸．如圖①，是的平分線，是上任一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．將沿對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：
角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
【定理證明】
已知：如圖①，是的平分線，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．
求證：．
分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和．只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．
（1）結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整證明過程．
【定理應(yīng)用】
（2）如圖②，在中，，的角平分線交于點(diǎn)．若過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)在上，且，請(qǐng)你判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
（1）證明即可；
（2）證明得，證明得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的平分線，
∴
∵，，
∴
又
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵的角平分線交于點(diǎn)，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴．
23. 【問題提出】
（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，求證：；
【問題探究】
（2）如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，與的延長線交于點(diǎn)．探究線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【問題解決】
（3）如圖3，某校有一塊四邊形空地，現(xiàn)將這塊空地規(guī)劃為實(shí)踐活動(dòng)區(qū)域，在的中點(diǎn)處修建入口，沿修建一條小路（小路的寬度忽略不計(jì)），將這塊空地分成兩部分，在內(nèi)種植蔬菜，在四邊形內(nèi)種花卉，已知，恰好平分，，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）的長為
【解析】
【分析】（1）由，可得，，由F是的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可證，由全等的性質(zhì)即可得證；
（2）由和E為邊的中點(diǎn)，可證，再由等腰三角形性質(zhì)和判定，即可得證；
（3）由，，得，再由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，可證，由全等三角形的性質(zhì)可得，由平分，結(jié)合等腰三角形的判定，可證，由等腰三角形三線合一可得，由，，可得，進(jìn)而可證，最后可得．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，，
，
∵點(diǎn)F是中點(diǎn)，
∴，
，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：分別延長與的延長線交于點(diǎn)G．
∵，
∴，，
∵E為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：過C作交的延長線于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，連接，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，
∴，
∵，，
∴，，，
，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，理清角度關(guān)系和線段的關(guān)系，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．解：去分母，得……第一步
去括號(hào)，得……第二步
移項(xiàng)，得……第三步
合并同類項(xiàng)，得……第四步
兩邊都除以，得……第五步

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