江蘇省鹽城市鹽都區(qū)第一共同體2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．）
1. 在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)體育代表隊(duì)獲得40金、27銀和24銅共91枚獎(jiǎng)牌，創(chuàng)造了中國(guó)參加境外奧運(yùn)會(huì)的最佳戰(zhàn)績(jī)．以下是巴黎奧運(yùn)會(huì)部分項(xiàng)目的圖標(biāo)，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握中心對(duì)稱圖形的定義，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．
在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形就稱為關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)被稱為對(duì)稱中心，根據(jù)定義，結(jié)合圖形分析即可求解．
【詳解】解：A、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，
∴不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，
∴不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、該圖能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，
∴中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，
∴不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
2. 下列調(diào)查中，最適合采用普查的是（）
A. 長(zhǎng)江中現(xiàn)有魚的種類
B. 八年級(jí)（1）班36名學(xué)生的身高
C. 某品牌燈泡的使用壽命
D. 某品牌飲料的質(zhì)量
【答案】B
【解析】
【分析】在要求精確、難度相對(duì)不大，實(shí)驗(yàn)無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式，當(dāng)考查的對(duì)象很多或考查會(huì)給被調(diào)查對(duì)象帶來損傷破壞，以及考查經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都非常有限時(shí)，普查就受到限制，這時(shí)就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查．
【詳解】解：A．調(diào)查長(zhǎng)江中現(xiàn)有魚的種類，調(diào)查的難度大，范圍廣，適合抽樣調(diào)查；
B．調(diào)查八年級(jí)（1）班36名學(xué)生的身高，難度不大，適合普查；
C．調(diào)查某品牌燈泡的使用壽命，調(diào)查帶有破壞性，適合抽樣調(diào)查；
D．調(diào)查某品牌飲料的質(zhì)量，調(diào)查帶有破壞性，適合抽樣調(diào)查；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是普查與抽樣調(diào)查的含義與運(yùn)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3. 為了解2025年春學(xué)期鹽城市八年級(jí)學(xué)生的視力水平，從中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)．下列說法正確的是（）
A. 2025年春學(xué)期鹽城市八年級(jí)學(xué)生的全體是總體
B. 樣本容量是500
C. 被抽取的500名學(xué)生是總體的一個(gè)樣本
D. 其中的每一名八年級(jí)學(xué)生是個(gè)體
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的知識(shí)，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對(duì)象．總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．根據(jù)樣本，個(gè)體，總體和樣本容量的概念分別判斷．
【詳解】解：A、2025年春學(xué)期鹽城市八年級(jí)學(xué)生的視力水平是總體，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、樣本容量是500，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C、被抽取的500名學(xué)生的視力水平是總體的一個(gè)樣本，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、其中的每一名八年級(jí)學(xué)生的視力水平是個(gè)體，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
4. 如圖△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADE，則旋轉(zhuǎn)角是（）
A. ∠BADB. ∠BACC. ∠BAED. ∠CAD
【答案】A
【解析】
【分析】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角，可求解．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADE，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAD或∠CAE，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)角，掌握定義是解題關(guān)鍵．
5. 如圖，四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)各選項(xiàng)對(duì)比平行四邊形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、符合兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；
B、符合兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；
C、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故符合題意；
D、符合對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；
故選：C．
6. 如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，則m的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA、OB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到OB﹣OA＜m＜OA+OB，代入求出即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝10，BD＝12，
∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝6，
在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，
∴6﹣5＜m＜6+5，
∴1＜m＜11．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，求出OA、OB后得出OB﹣OA＜m＜OA+OB是解此題的關(guān)鍵．
7. 下列平行四邊形中，其圖中陰影部分面積不一定等于平行四邊形面積一半的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得到答案.
【詳解】A.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到陰影部分面積等于平行四邊形面積一半，故A正確；
B.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到陰影部分面積等于平行四邊形面積一半，故B正確；
C.根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到陰影部分面積等于平行四邊形面積一半，故C正確；
D.由圖形無法得到陰影部分面積等于平行四邊形面積一半，故D錯(cuò)誤.
?故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵
8. 如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．下列結(jié)論一定正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以選項(xiàng)A、C不一定正確
再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，所以選項(xiàng)D正確；再根據(jù)∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判斷選項(xiàng)B不一定正確即可．
【詳解】解：∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴選項(xiàng)A、C不一定正確，
∴∠A =∠EBC，
∴選項(xiàng)D正確．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴選項(xiàng)B不一定正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
二．選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．）
9. 為了比較直觀地表示鹽城市2月份每天平均氣溫變化情況，制作_______統(tǒng)計(jì)圖更合適．（選填“條形統(tǒng)計(jì)圖”、“折線統(tǒng)計(jì)圖”或“扇形統(tǒng)計(jì)圖”）
【答案】折線統(tǒng)計(jì)圖
【解析】
【分析】此題考查了統(tǒng)計(jì)圖的選擇，解題的關(guān)鍵是熟知折線統(tǒng)計(jì)圖的特征．根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖的特征進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：為了比較直觀地表示鹽城市2月份每天平均氣溫變化情況，制作折線統(tǒng)計(jì)圖更合適．
故答案為：折線統(tǒng)計(jì)圖．
10. “是實(shí)數(shù)，”這一事件是______事件（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）．
【答案】必然
【解析】
【分析】根據(jù)必然事件、不確定事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義判斷即可．
【詳解】解：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，由a是實(shí)數(shù)，得|a|≥0恒成立，因此，這一事件是必然事件．
故答案為：必然
【點(diǎn)睛】本題主要考查了必然事件、不確定事件、不可能事件、隨機(jī)事件的判定，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
11. 平行四邊形兩鄰角，則________度．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四邊形兩鄰角，可設(shè)，由鄰角互補(bǔ)得到，求得，由平行四邊形對(duì)角相等即可得到答案．
【詳解】解：∵平行四邊形兩鄰角，
∴可設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴,

故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
12. 已知，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的值為_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)稱中心是對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)，直接求解即可得到答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)稱中心是對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)．
13. 某班課間活動(dòng)抽查了20名學(xué)生每分鐘跳繩次數(shù)，獲得如下數(shù)據(jù)單位：次：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188.則跳繩次數(shù)在90-110這一組的頻率是______．
【答案】0.2
【解析】
【詳解】首先找出在90～110這一組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總數(shù)可得答案．
解：跳繩次數(shù)在90～110這一組的有9l，93，100，102共4個(gè)數(shù)，
頻率是：4÷20=0.20．
故答案為0.20．
“點(diǎn)睛”此題主要考查了頻率，關(guān)鍵是掌握頻率=頻數(shù)÷總數(shù)．
14. 如圖，平移圖形，與圖形可以拼成一個(gè)平行四邊形，則圖中______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，如圖，把拼在一起，得到平行四邊形，則，由平行四邊形的性質(zhì)得，進(jìn)而四邊形的內(nèi)角和為得到，據(jù)此解答即可求解，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，把拼在一起，得到平行四邊形，則，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵四邊形的內(nèi)角和為，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，在□ABCD中，P是CD邊上一點(diǎn)，且AP、BP分別平分∠DAB、∠CBA，若AD=5，AP=6，則△APB的面積是_______．

【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，證出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，由勾股定理求出BP，即可求出答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5，
同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，
在Rt△APB中，AB=10，AP=6，
∴BP=，
∴；
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．
16. 數(shù)學(xué)家高斯被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則_______．
【答案】44
【解析】
【分析】本題考查了圖形與規(guī)律，利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：第1圈有1個(gè)點(diǎn)，即，這時(shí)；
第2圈有8個(gè)點(diǎn)，即到，這時(shí)；
第3圈有16個(gè)點(diǎn)，即到，這時(shí)；
，
依次類推，第圈，；
由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，即，
故答案為：44．
三．解答題（本題共10小題，共72分．）
17. 如圖，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的；
（2）將平移后得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，請(qǐng)畫出平移后的；若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___________；
（3）若與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)___________．
【答案】（1）見解析（2）畫圖見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
（2）根據(jù)平移性質(zhì)即可將平移后得到，根據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，即可畫出平移后的，根據(jù)平移性質(zhì)即可得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
如圖，即為所求；
根據(jù)圖形的平移可得平移規(guī)律為向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，則；

故答案為：；
【小問3詳解】
如圖，點(diǎn)即為所求；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，且，
根據(jù)平移性質(zhì)知：，且，
∴，且，
四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，作圖-平移變換，中心對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．也考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．
18. 如圖，在中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行推出，再由線段中點(diǎn)的定義得到，據(jù)此可證明，進(jìn)而可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
19. 已知：如圖，在平行四邊形ABDC中，點(diǎn)E、F在AD上，且AE=DF，
求證：四邊形BECF是平行四邊形．
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得對(duì)角線互相平分，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得證明結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接BC，設(shè)對(duì)角線交于點(diǎn)O．
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四邊形BECF是平行四邊形．
20. 為了增強(qiáng)學(xué)生的安全意識(shí)，某校組織了一次全校名學(xué)生都參加的“安全知識(shí)”考試，考題共題．考試結(jié)束后，學(xué)校隨機(jī)抽查部分考生的考卷，對(duì)考生答題情況進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所抽查的考卷中答對(duì)題量最少為題，并且繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問題：

（1）本次抽查的樣本容量是______；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，______，______，“答對(duì)題”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為______度；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估算出該校答對(duì)超過題的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）50；16；30；72
（2）補(bǔ)圖見解析（3）該校答對(duì)超過題的學(xué)生人數(shù)有人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“答對(duì)6題”的人數(shù)以及占比求得本次抽查的樣本容量，據(jù)此可求得m、n的值，用乘“答對(duì)題”的占比即可求解；
（2）求得“答對(duì)9題”“答對(duì)題”的人數(shù)，即可補(bǔ)圖；
（3）利用樣本估計(jì)總體求解即可．
【小問1詳解】
解：本次抽查的樣本容量是（人），
，
，
“答對(duì)題”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，
故答案為：50；16；30；72；
【小問2詳解】
解：“答對(duì)9題”的人數(shù)（人），
“答對(duì)題”的人數(shù)（人），
補(bǔ)全條形圖如圖所示：
；
【小問3詳解】
解：該校答對(duì)超過題的學(xué)生有（人）．
答：該校答對(duì)超過題的學(xué)生人數(shù)有人．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體，總體、樣本、個(gè)體、樣本容量等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．
21. 一個(gè)不透明的口袋中放著若干個(gè)紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經(jīng)攪勻，閉眼從口袋中摸出一個(gè)球，經(jīng)過很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定在．
（1）估計(jì)摸到紅球的概率是；
（2）如果袋中原有紅球12個(gè)，求袋中原有幾個(gè)球？
（3）又放入個(gè)黑球，再經(jīng)過很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，求的值．
【答案】（1）
（2）袋中原有30個(gè)球
（3）n＝6
【解析】
【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率即可得出答案；
（2）設(shè)袋子中原有m個(gè)球，根據(jù)題意得，解之即可得出答案；
（3）根據(jù)題意得，解之即可得出答案．
【小問1詳解】
解：∵經(jīng)過很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定在，
∴估計(jì)摸到紅球的概率是．
故答案為：．
【小問2詳解】
解：設(shè)袋子中原有m個(gè)球，
根據(jù)題意，得，
解得：m＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)m＝30是分式方程的解，且符合題意，
答：袋中原有30個(gè)球．
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意得：，
解得：n＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)n＝6是分式方程的解，且符合題意，
∴n＝6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)，估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
22. 已知，如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，與相交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）連接，判斷與的位置關(guān)系并且證明．
【答案】（1）見解析（2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，即有，問題隨之得證；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可得，即有，再根據(jù)，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，問題得證．
【小問1詳解】
由折疊可知：，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
；
【小問2詳解】
．證明如下：

，，
，
，
，，
，
，得證．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．
23. 知識(shí)背景：過中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的任意一條直線都將其分成全等的兩個(gè)部分．
（1）如圖①，直線m經(jīng)過平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，則S四邊形AEFB S四邊形DEFC（填“＞”“＜”“=”）；
（2）如圖②，兩個(gè)正方形如圖所示擺放，O為小正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，求作過點(diǎn)O的直線將整個(gè)圖形分成面積相等的兩部分；
（3）八個(gè)大小相同的正方形如圖③所示擺放，求作直線將整個(gè)圖形分成面積相等的兩部分（用三種方法分割）．
【答案】（1）＝（2）作圖見解析（3）作圖見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)知識(shí)背景即可求解；
（2）先找到兩個(gè)矩形的中心，然后過中心作直線即可；
（3）先分成兩個(gè)矩形，找到中心，然后過中心作直線即可．
【詳解】（1）如圖①，直線m經(jīng)過平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，則S四邊形AEFB=S四邊形DEFC
故答案是：=；
（2）如圖所示：
（3）如圖所示：
24. 已知在中，，點(diǎn)在上，以、為腰作等腰三角形，且，連接，過作交延長(zhǎng)線于，連接．
（1）求證：≌；
（2）若，求度數(shù)；
（3）求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見解析（2）120°
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）證明：由等邊對(duì)等角可知，即得出．由題意可得，，即得出．由，可證明，從而可證明，即易證≌；
（2）根據(jù)題意可知，再根據(jù)≌即可證明，從而可求出．由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得出，從而可求出；
（3）由（2）知，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明，即得出，從而可得，最后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
【小問1詳解】
證明：，
，
，
以、為腰做等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
【小問2詳解】
解：，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
【小問3詳解】
證明：≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定．掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25. 如圖，在四邊形中，，，，M為對(duì)角線 (不含點(diǎn)B)上任意一點(diǎn)．是等邊三角形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．
（1）求證：．
（2）①直接回答：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，的值最??？
②當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，的值最?。?請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）見解析（2）①當(dāng)點(diǎn)M在與交點(diǎn)處時(shí)，的值最??；②當(dāng)點(diǎn)M位于、交點(diǎn)處時(shí)，最小，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由題意得，，證出；
（2）①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)點(diǎn)M在與交點(diǎn)處時(shí)，的值最小；
②連接，在上取一點(diǎn)N，使，證明，
得出，證明，得出，說明此時(shí)可以看作由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由（1）可知：，得出，證明是等邊三角形，得出，得出，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：是等邊三角形，
，．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，
，
即，
在和中，
，
；
【小問2詳解】
解：①連接，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)點(diǎn)M在與交點(diǎn)處時(shí)，的值最??；
②連接，當(dāng)點(diǎn)M位于、交點(diǎn)處時(shí)，最小，理由如下：
如圖，交于點(diǎn)M，連接，在上取一點(diǎn)N，使，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和，
∴，
∴，
∴此時(shí)可以看作由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
由（1）可知：，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)點(diǎn)M位于、交點(diǎn)處時(shí)，最小，即最?。?br>【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．
26. 平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“鏈垂點(diǎn)”，圖1為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“鏈垂點(diǎn)”Q的示意圖．

（1）如圖2，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“鏈垂點(diǎn)”為點(diǎn)Q；
①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在直線上，若點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的“鏈垂點(diǎn)”E在坐標(biāo)軸上，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的“鏈垂點(diǎn)”是點(diǎn)B，連接、，
①直接寫出的最小值；
②直接寫出當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】（1）①；②；
（2）或；
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的前后兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，即可得到答案；
②根據(jù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的前后兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，即可得到答案；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E落在軸上時(shí)，則軸，把代入直線，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)E落在軸上時(shí)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，證，得到，將代入直線，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）①過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，證明，得到，，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式，得到，即相當(dāng)于在直線上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)P到點(diǎn)，到點(diǎn)的距離和最小，作點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，推出的最小值為的長(zhǎng)，即可得到的最小值；
②利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立，求出，進(jìn)而得到的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
故答案為：；
②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E落在軸上時(shí)，則軸，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為
點(diǎn)D在直線上，
當(dāng)時(shí)，，
；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)E落在軸上時(shí)，此時(shí)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，

，
，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)D在直線上，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
，
綜上可知，點(diǎn)D坐標(biāo)為或；
【小問3詳解】
解：①如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，

，
，
點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的“鏈垂點(diǎn)”是點(diǎn)B，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
，
，
，，
，，
，
即相當(dāng)于在直線上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)P到點(diǎn)，到點(diǎn)的距離和最小，
如圖，作點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，

，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，
，
的最小值為，
的最小值為；
②設(shè)直線的解析式為，
，，
，解得：，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，
，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱求最小值，坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．

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