備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編(全國(guó)通用)專題21特殊的平行四邊形(45題)(學(xué)生版+解析)

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一、單選題
1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
根據(jù)題意可得，
∵矩形，∴，，
在中，，
∴圖中陰影部分的面積．
故選：D．
2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形．結(jié)合菱形的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出，從而可求出，即得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【詳解】解：如圖，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴．
∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選C．
3．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫(huà)；②以點(diǎn)為圓心，個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；③分別以點(diǎn)，為圓心，個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；④連接，，．若，則的大小是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：作圖可得
∴四邊形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故選：C．
4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，則，
∴選項(xiàng)A中不一定正確，故不符合題意；
選項(xiàng)B中不一定正確，故不符合題意；
選項(xiàng)C中一定正確，故符合題意；
選項(xiàng)D中不一定正確，故不符合題意，
故選：C．
5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面積為，
∴，
故選：A．
6．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是（ ）
A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D
【答案】B
【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)，，，可得，，，再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B；
故選：B．
7．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵將矩形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，
∴，，
∴軸，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：C．
8．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到是等邊三角形，結(jié)合，得到，解得即可．
本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
解得．
故選C．
9．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，
，，
，
，
在中，
，
由勾股定理，得，
，
，
，
，
故選：A．
10．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，解得即可．
本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，
根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，
故，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，
故選C．
11．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．
【詳解】解：由圖象得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P在邊上，
設(shè)此時(shí)，則，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故選：B．
12．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接，，，，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A．1B．2C．5D．10
【答案】C
【分析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進(jìn)而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
同理，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，同理，
∴平行四邊形是矩形，
∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴矩形是正方形，
在中，，
∴，
∴，
∴正方形的面積為5，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)．是邊上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若與關(guān)于直線對(duì)稱，則的周長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，再求出，，即可求出答案．
【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴，
∴，
∵與關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)是，
故選：A．
14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形為矩形，過(guò)作對(duì)角線的垂線，過(guò)作對(duì)角線的垂線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
四邊形為矩形，
，，
過(guò)作對(duì)角線的垂線，過(guò)作對(duì)角線的垂線，
，
如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為菱形，
故選：A．
15．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國(guó)許多著名建筑為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形是黃金矩形．，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結(jié)合，然后根據(jù)判別式的符號(hào)即可確定有幾個(gè)解，由此得解．
【詳解】解：如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，
設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)，且，則，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程無(wú)解，即點(diǎn)不存在．
故選：D．
16．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴；
如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為5，
故選：B．
17．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，平分．交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)一步證明得到，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故選：D．
二、填空題
18．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為 ．

【答案】2
【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個(gè)小三角形面積求解，即可解題．
【詳解】解：正方形的面積為4，
，，
點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，
，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
故答案為：2．
19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對(duì)折，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E．若，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．
【詳解】解：在中，，
由折疊可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，
故答案為．
20．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于的方程，求出的值，即可求解．
【詳解】解∶設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，與y軸相交于G，
則四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
21．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，于，則，
∵兩張紙條的對(duì)邊平行，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵兩張紙條的寬度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為，
故答案為：．
22．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，連接．
（1）線段的長(zhǎng)為 ；
（2）若為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】 2 /
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運(yùn)用中位線定理是解題的關(guān)鍵；
（1）運(yùn)用正方形性質(zhì)對(duì)角線互相平分、相等且垂直，即可求解，
（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可．
【詳解】（1）四邊形是正方形，
，
在中，，
，
，
；
（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接
由點(diǎn)向作垂線，垂足為
∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
在中， ，
，
在中，，
為的中位線，
；
故答案為：2；.
23．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對(duì)角線，是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，過(guò)D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解∶過(guò)D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等邊三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案為：．
24．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上的動(dòng)點(diǎn)．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】10
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．
【詳解】解：連接，
∵菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的面積為4，
∴，，
設(shè)菱形中邊上的高為h，
則，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：10．
25．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．線段與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)E，則與四邊形的面積比為
【答案】/
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
設(shè)，，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，連接，，直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，得到點(diǎn)，D，O三點(diǎn)共線，，，，然后證明出，得到，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴設(shè)，
∴，
如圖所示，連接，，直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，
∵線段與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，
∴，，
∴
∴點(diǎn)，D，O三點(diǎn)共線
∴，
∴
∴
∵
∴
由對(duì)稱可得，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴．
故答案為：．
26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)到矩形對(duì)角線所在直線的距離是 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為，進(jìn)而分別求得垂線段的長(zhǎng)度，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為
∵
∴
當(dāng)在線段上時(shí)，
∴
在中，
∵
在中，；
當(dāng)E在射線上時(shí)，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
綜上所述，點(diǎn)到對(duì)角線所在直線的距離為：或或
故答案為：或或．
三、解答題
27．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊上，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．
【詳解】證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
28．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點(diǎn)，．求證：四邊形是矩形．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．利用可證明，得出，根據(jù)得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形．
【詳解】證明：∵是邊的中點(diǎn)，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
29．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實(shí)踐
順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用．
以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開(kāi)探究．
【探究一】
如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)．
求證：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，
∴、分別是和的中位線，
∴，（____①____）
∴．
同理可得：．
∴中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①________
【探究二】
從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形．
（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想Ⅰ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．
【探究三】
（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②________．
（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想Ⅱ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．
【歸納總結(jié)】
（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形．
結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③________時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④________．
【答案】（1）①中位線定理
（2）證明見(jiàn)解析
（3）②矩形
（4）證明見(jiàn)解析
（5）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；③且；④正方形
【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)
（1）利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問(wèn)題；
（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；
（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；
（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問(wèn)題.
【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；
（2）證明：∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中點(diǎn)四邊形是菱形．
（3）②矩形；
故答案為：矩形
（4）證明∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，，
∴．
同理可得：．
∵
∴，
∴
∴中點(diǎn)四邊形是矩形．
（5）證明：如圖4，∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中點(diǎn)四邊形是菱形．
∵
由（4）可知
∴菱形是正方形．
故答案為：③且；④正方形

30．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】
小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①，在等邊中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，試探究線段長(zhǎng)度的最小值．
【問(wèn)題分析】
小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問(wèn)題．
【問(wèn)題解決】
如圖②，過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線．在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問(wèn)題：
（1）證明：；
（2）的大小為 度，線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______．
【方法應(yīng)用】
某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長(zhǎng)度的最小值為多少米．
【答案】問(wèn)題解決：（1）見(jiàn)解析（2）30，；方法應(yīng)用：線段長(zhǎng)度的最小值為米
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證明結(jié)論即可；
（2）先證明，根據(jù)垂線段最短求出最小值；
（3）過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，連接，求出，進(jìn)而得，利用垂線段最短求出即可．
【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：（1）證明：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，
四邊形是平行四邊形，
；
（2）在等邊中，，
；
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，
在中，
，
線段長(zhǎng)度的最小值為；
方法應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，連接，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，
作于點(diǎn)R，
在中，
，
在中，
，
線段長(zhǎng)度的最小值為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短及矩形性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
31．（2024·河北·中考真題）情境 圖1是由正方形紙片去掉一個(gè)以中心O為頂點(diǎn)的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過(guò)裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．
（說(shuō)明：紙片不折疊，拼接不重疊無(wú)縫隙無(wú)剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過(guò)裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照?qǐng)D4所示進(jìn)行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過(guò)程，解答問(wèn)題：
（1）直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)；
（2）直接寫(xiě)出圖3中所有與線段相等的線段，并計(jì)算的長(zhǎng)．
探究淇淇說(shuō)：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請(qǐng)你按照淇淇的說(shuō)法設(shè)計(jì)一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點(diǎn)P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫(huà)出裁剪線（線段）的位置，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2），；的長(zhǎng)為或．
【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，本題要求學(xué)生的操作能力要好，想象能力強(qiáng)，有一定的難度．
（1）如圖，過(guò)作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，再進(jìn)一步解答即可；
（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫(huà)弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫(huà)弧，交于，交于，則直線為分割線，再進(jìn)一步求解的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，
結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性質(zhì)可得：，
∴，，為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形，
設(shè)，
∴，
∴，，
∵正方形的邊長(zhǎng)為，
∴對(duì)角線的長(zhǎng)，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵為等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如圖，以為圓心，為半徑畫(huà)弧交于，交于，則直線為分割線，
此時(shí)，，符合要求，
或以圓心，為半徑畫(huà)弧，交于，交于，則直線為分割線，
此時(shí)，，
∴，
綜上：的長(zhǎng)為或．
32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)，連接
(1)求證：四邊形是菱形：
(2)若平行四邊形的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí) ：
（1）由平行四邊形的性質(zhì)得再證明，得出，證明出四邊形是平行四邊形，由得出四邊形是菱形：
（2）求出菱形的周長(zhǎng)為20，得出，再證明是等邊三角形，得出．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴即
∴
∵為的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
又
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四邊形的周長(zhǎng)為22，
∴菱形的周長(zhǎng)為：
∴
∵四邊形是菱形，
∴
又
∴是等邊三角形，
∵．
33．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)菱形的判定即可得證．
【詳解】（1）解：如圖，
；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵在中，是斜邊上的中線，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
34．（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，有下列條件：
①，②．

(1)請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形是矩形；
(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)條件利用兩組對(duì)邊平行或一組對(duì)邊平行且相等證明是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的定義得到結(jié)論即可；
（2）利用勾股定理得到長(zhǎng)，然后利用矩形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）選擇①，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
選擇②，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面積為．
35．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C，D，E，O均在格點(diǎn)上．圖①中已畫(huà)出四邊形，圖②中已畫(huà)出以為半徑的，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．
(1)在圖①中，面出四邊形的一條對(duì)稱軸．
(2)在圖②中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的的切線．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線的判定，畫(huà)對(duì)稱軸等等：
（1）如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線，則直線即為所求；
（2）如圖所示，取格點(diǎn)，作直線，則直線即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線，則直線即為所求；
易證明四邊形是矩形，且E、F分別為的中點(diǎn)；
（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)，作直線，則直線即為所求；
易證明四邊形是正方形，點(diǎn)E為正方形的中心，則．
36．（2024·吉林·中考真題）小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過(guò)程：

【探究論證】
（1）如圖①，在中，，，垂足為點(diǎn)D．若，，則______．
（2）如圖②，在菱形中，，，則______．
（3）如圖③，在四邊形中，，垂足為點(diǎn)O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．
【理解運(yùn)用】
（4）如圖④，在中，，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)．
小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：
（?。┮渣c(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊，于點(diǎn)R，I；
（ⅱ）以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)；
（ⅲ）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)，K在同側(cè)；
（ⅳ）過(guò)點(diǎn)P畫(huà)射線，在射線上截取，連接，，．
請(qǐng)你直接寫(xiě)出的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3），，證明見(jiàn)詳解，（4）10
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可；
（3）結(jié)合圖形有，，即可得，問(wèn)題隨之得解；
（4）先證明是直角三角形，由作圖可知：，即可證明，再結(jié)合（3）的結(jié)論直接計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；
（2）∵在菱形中，，，
∴，
故答案為：4；
（3）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：，
猜想：，
證明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（4）根據(jù)尺規(guī)作圖可知：，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴根據(jù)（3）的結(jié)論有：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖，勾股定理的逆定理等知識(shí)，難度不大，掌握作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法，是解答本題的關(guān)鍵．
37．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．
(1)尺規(guī)作圖：作對(duì)角線的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)連接．求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析．
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的畫(huà)法及性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定．
（1）根據(jù)垂直平分線的畫(huà)法即可求解；
（2）由直線是線段的垂直平分線．得到，，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，可得，即可得到，即可求證．
【詳解】（1）解：如圖1所示，直線為所求；
（2）證明：如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為O，
由（1）可知，直線是線段的垂直平分線．
∴，，，，
又∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
38．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在中，，，，以為邊向外作有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接，請(qǐng)用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫(xiě)出的面積．
【答案】圖形見(jiàn)解析，的面積為12或36．
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．分兩種情況討論，作，垂足為，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求得的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，所作圖形如圖，作，垂足為，
∵菱形，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面積為；
當(dāng)時(shí)，所作圖形如圖，作，垂足為，
∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴的面積為；
綜上，的面積為12或36．
39．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．
(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；
（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點(diǎn)O，連接，則線段即為所求；
（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉(zhuǎn)可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
40．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．
【詳解】解：，，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
又，
．
41．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．
(1)實(shí)踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點(diǎn)記為O；
②以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；
③順次連結(jié)所得的四點(diǎn)得到四邊形．
于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．
(2)猜想與證明
通過(guò)和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．并寫(xiě)出了以下已知、求證，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

【答案】(1)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由作圖結(jié)合對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；
（2）先證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：由作圖可得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
該判定定理是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形與矩形的判定方法是關(guān)鍵．
42．（2024·重慶·中考真題）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
(1)如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)．用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，連接，．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)已知：矩形，點(diǎn)，分別在，上，經(jīng)過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)，且．求證：四邊形是菱形．
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴①，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論：④．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①；②；③；④四邊形是菱形
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：
（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對(duì)邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
猜想：過(guò)平行四邊形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形；
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．
43．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），作射線，在射線上取點(diǎn)，使，以為邊作正方形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè)．
(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______；
(3)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；
(4)若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握面積法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，利用勾股定理即可求解；（2）利用面積法三角形面積相等即可；（3）設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)作于
，根據(jù)，建立方程；即可求解；（4）第一種情況，，在異側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，證明，得到，即可求解；第二種情況，當(dāng)，在同側(cè)，設(shè)，則，，，求得，解方程即可求解；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：，
為等腰三角形，故點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，；
在中，；
（2）根據(jù)題意作，如圖所示；
當(dāng)時(shí)，則，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
，
解得：；
（3）如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在上，
設(shè)，則，，
過(guò)點(diǎn)作于
則，
，
，
解得：
故，
所以正方形的邊長(zhǎng)為；
（4）如圖，，在異側(cè)時(shí)；
設(shè)，，則
三邊的比值為，
，
，
當(dāng)，在同側(cè)
設(shè)，則，，
三邊比為，
三邊比為，
設(shè)，則，，
解得：
綜上所述：的長(zhǎng)為或
44．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），理由見(jiàn)詳解，（2），理由見(jiàn)詳解，（3），理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）直接證明，即可證明；
（2）過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，先證明，可得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得：， ，即有，，進(jìn)而可得，即可證；
（3）過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證明．
【詳解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，
∵四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四邊形是正方形，
∴是正方形對(duì)角線，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．
45．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長(zhǎng)即可；
（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；
（3）當(dāng)時(shí)求出，得，分為邊和對(duì)角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時(shí)不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
【詳解】（1）解：，解得，
的長(zhǎng)度是的根，
∵是等邊三角形，
∴，
過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為C，
在中，
∴
，
∴
點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（2）解：當(dāng)時(shí)．過(guò)P作軸，垂足為點(diǎn)D，
∴，，
∴
∴，
；
當(dāng)時(shí)，過(guò)Q作，垂足為點(diǎn)E
∵
∴
又
∴，
又，
當(dāng)時(shí)，過(guò)O作，垂足為F
∴，
同理可得，，
∴；
綜上所述
（3）解：當(dāng)時(shí)，解得，
∴，
過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則
∴
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)為邊時(shí)，將沿軸向下平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；
將沿軸向上平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；如圖，
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為T(mén)，過(guò)點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長(zhǎng)到,使連接,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則
∴
∴,即，
解得，,
∴，
∴；
當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存在；
當(dāng)時(shí)，解得，，不符合題意，此情況不存在；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，
【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
菱形
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
②________
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
③________
④________