第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．已知集合，，則集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化簡集合，分析集合中的元素，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得，.
對于集合，當(dāng)時，，當(dāng)為其他整數(shù)時，，
所以.
故選：D.
2．“關(guān)于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出滿足題意的充要條件為，然后根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，即可得出答案.
【詳解】因為不等式的解集為，所以應(yīng)有，
解得.
選擇的必要不充分條件的范圍，應(yīng)該大于包含的范圍，顯然只有C項滿足.
故選：C.
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，若，則（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】由題意，求出，的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列示求出，進(jìn)而求出.
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，
所以，
因為，所以，即，
解得，所以，所以．
故選：A．
4．已知為數(shù)列的前項和，且，若對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用關(guān)系及等比數(shù)列定義得，將問題化為恒成立，研究右側(cè)的單調(diào)性并求其最大值，即可得答案.
【詳解】由，令，解得，
當(dāng)時，由，得，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，
由，即恒成立，令，則，
而，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故，
所以，所以的最小值為.
故選：B
5．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖像進(jìn)行大小比較.
【詳解】∵且，∴，
∵且，∴，
∵且，∴，
∴，，，即且，
又∵， ，，∴，
故，故.
故選：D.
6．已知且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用和角公式先把的分子、分母展開，再弦化切，代入已知條件即可.
【詳解】因為．
故選：C
7．如圖所示，在三棱錐中，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先證，取的中點(diǎn)分別為，再證平面，推得點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，即可求得該三棱錐外接球的半徑，計算即得表面積.
【詳解】在中，，
，則，
取的中點(diǎn)分別為，則分別為的外心，且，
平面平面，平面平面平面，
平面，因平面，故,
在中，又
在中，
在中，
故為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑，
故外接球的表面積.
故選:D．
8．對，不等式恒成立，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】令，通過舉反例說明選項A、B錯誤；對于選項C、D，通過分析可得在
上恒成立，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有相同的零點(diǎn)，計算可得選項D正確.
【詳解】由得，
對于選項A、B，若，可令，不等式可化為，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項A、B錯誤.
對于選項C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，則需，
∵函數(shù)在為增函數(shù)，
∴函數(shù)有相同的零點(diǎn)，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，選項D正確.
故選D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，具體思路如下：
（1）不等式變形為.
（2）對于選項A、B，若，對，與符號不確定，可取，通過分類討論得到不存在使得不等式恒成立，即可說明選項A、B錯誤.
（3）對于選項C、D，若，確定恒成立，轉(zhuǎn)化為，則與同號，利用函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)有相同的零點(diǎn)，利用零點(diǎn)相同可得.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評委對他們的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計圖，則（ ）

A．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)
B．甲得分的極差大于乙得分的極差
C．甲得分的第75百分位數(shù)小于乙得分的第75百分位數(shù)
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【分析】運(yùn)用極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計算，和方差的意義即可判斷選項.
【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：
故可得如下表格：
故選：ABD
10．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在底面內(nèi)運(yùn)動(含邊界)，且平面，則（ ）
A．若，則平面
B．點(diǎn)G到直線的距離為
C．若，則
D．直線與平面所成角的正弦值為
【答案】ACD
【分析】分別取棱，，，的中點(diǎn)M，N，P，Q作出圖形，確定平面，及點(diǎn)G的軌跡．對于A，由條件得點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)P，根據(jù)線面平行的性質(zhì)判定即可；對于B，由，可得點(diǎn)G到的距離即為與間的距離，求解即可判斷；對于C，連，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)G，求解即可得出；對于D，設(shè)面，根據(jù)對稱性可知，為的中點(diǎn)，由已知得為直線與平面所成的角，即可求解判斷.
【詳解】分別取棱，，，的中點(diǎn)M，N，P，Q，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，∴，
∵，∴，
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，同理，
∵平面，∴平面，
根據(jù)條件平面，可得平面即為平面，
于是點(diǎn)G的軌跡即為線段
對于A，若，則點(diǎn)G在上，
又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)P，
連，∵，∴為平行四邊形，
∴，又平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B，∵點(diǎn)F，Q分別為棱，的中點(diǎn)，∴，
∴正六邊形的邊長為，
設(shè)正六邊形的中心，
則均是邊長為的正三角形，
∵,
∴，即與間的距離，
因為，所以點(diǎn)G到的距離即為與間的距離，
所以點(diǎn)G到的距離為，所以 B錯誤；
對于C，連，交點(diǎn)為，
∵，則點(diǎn)G在上，
又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為與的交點(diǎn)，
∵分別為的中點(diǎn)，則，
此時，于是滿足，所以C正確；
對于D，設(shè)平面，根據(jù)對稱性可知，為的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，∴為直線與平面所成的角，
又，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，
故選：ACD.
11．已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為的角平分線，，點(diǎn)均在軸上，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．以橢圓和雙曲線四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為
C．若，則的取值范圍為
D．若，則的最小值為
【答案】BCD
【分析】由橢圓和雙曲線定義有，將兩式平方相加后由余弦定理和向量的數(shù)量積計算可得A錯誤；由對稱性得到四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合基本不等式求出面積可得B正確；由離心率的定義和邊長關(guān)系得到，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可得C正確；由角平分線的定理將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，再由橢圓和雙曲線的性質(zhì)結(jié)合余弦定理得到，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正確；
【詳解】
對于A，設(shè)，
由橢圓和雙曲線定義有，
將兩式平方得，
相加整理得，
又在中，由余弦定理有，
則，即，
則，故A選項錯誤；
對于B，橢圓和雙曲線一個交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的對稱性可知，
另外三個點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為矩形，面積，又點(diǎn)在橢圓上，
所以滿足，則有，
當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立，故B選項正確；
對于C，即，所以，則，
又，所以，即，
又，所以，
，則．
令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C選項正確；
對于D，由為的角平分線，，易知為的外角平分線，
則由角平分線性質(zhì)定理有即，
由外角平分線性質(zhì)定理有，即，
求的最小值即求的最小值；
由可得，
代入即，整理可得，
所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故D選項正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題D選項關(guān)鍵在于利用角平分定理將所求轉(zhuǎn)換成求的最小值，再結(jié)合基本不等式的乘“1”法分析.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，，點(diǎn)C，D滿足，，則D點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)，利用平面向量線性運(yùn)算與模的坐標(biāo)表示，結(jié)合求軌跡的相關(guān)點(diǎn)法即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)，又，，
則，，，
因為，所以，
則，故，
因為，所以，
所以，則，
所以D點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：.
13．記數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，函數(shù)均存在兩個極值點(diǎn)，，且滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因為，結(jié)合已知得，再利用裂項相消法求和.
【詳解】函數(shù)定義域為0,+∞，且，
令，得，

如圖所示，不妨設(shè)，
因為，所以，
解得，代入條件得，
化簡得：，
即，
所以
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因為，從而得，代入已知化簡得：，從而可得，可解問題.
14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，Ax1,y1，Bx2,y2，為拋物線上的任意三點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），，且，若直線AB，AD，BD的斜率分別為，，，則的值為 ； ．
【答案】 2 0
【分析】根據(jù)三角形重心公式以及拋物線焦半徑公式求解即可；根據(jù)題意求得直線的斜率，代入等式計算即可求解.
【詳解】因為為拋物線上任意三點(diǎn)，且，
所以F為的重心，，
所以，
又，即.
因此拋物線的方程為，
則，，
兩式相減得：，
所以，
同理可得，，
所以.
故答案為：2；0.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．（13分）在斜中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，
(1)求的值；
(2)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，連接CD，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化簡得，，結(jié)合，根據(jù)可求；
（2）根據(jù)，兩邊平方之后結(jié)合正弦定理可得，，再求出，即可得三角形面積．
【詳解】（1）由正弦定理可知，
所以，于是，
因為是斜三角形，所以，，于是，
因為，所以或，
因為，所以，因此，
因為，
于是；
（2）由條件知，兩邊同時平方得，
即，
根據(jù)正弦定理得，
即，代入，得，解得，，
又，
所以的面積為
16．（15分）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程；
（2）分類討論以及結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的增減性，分別從，，三方面分類討論；
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率，
又，
所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為即.
（2）因為在區(qū)間上恒成立，即，
對，即恒成立，
令，只需，
，，
當(dāng)時，有，則，
在上單調(diào)遞減，符合題意，
當(dāng)時，令，
其對應(yīng)方程的判別式，
若即時，有，即，
在上單調(diào)遞減，，符合題意，
若即時，，對稱軸，
又，
方程的大于1的根為，
，，即，
，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.
綜上，在區(qū)間上恒成立，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，且.
(1)求四棱錐的體積.
(2)點(diǎn)滿足為棱的中點(diǎn)，且平面.
①求的值；
②求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)①；②.
【分析】（1）分別求得四棱錐的高與底面積，再由錐體的體積公式代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）①根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，連接，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到結(jié)果；②建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）平面平面的邊上的高為四棱錐的高.
由已知得底面是直角梯形，，
是等腰直角三角形，
邊上的高.
四棱錐的體積.
（2）①如圖，取的中點(diǎn)，連接.
為棱的中點(diǎn)，，
又，又四點(diǎn)共面，
平面，平面平面，
四邊形是平行四邊形.
，即.
②取的中點(diǎn)，連接，由條件知四邊形為正方形.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
易知.
.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則
令，可得.
易知平面的一個法向量為.
，
平面與平面夾角的余弦值為.
18．（17分）甲、乙兩人各有張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)，兩人進(jìn)行輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上的數(shù)的大小，數(shù)大的人得分，數(shù)小的人得分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）．
(1)當(dāng)時，求甲的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)輪比賽后，求甲的總得分不小于的概率．
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)
【分析】（1）根據(jù)題得的可能值為，分別求，，，的概率，列出分布列，再求期望；
（2）先求得和的概率，再由求解.
【詳解】（1）解：由題知甲的總得分的可能值為，
不妨設(shè)甲四輪出的卡片上的數(shù)依次為，則乙四輪出的卡片共有種情況，
當(dāng)時，乙出的卡片上的數(shù)依次為，所以．
當(dāng)時，乙出的卡片上的數(shù)依次為；；；；；
；；；；；．
所以．
當(dāng)時，乙出的卡片上的數(shù)依次為；；；；；；
；；；；．
所以．
當(dāng)時，乙出的卡片上的數(shù)依次為，所以．
因此甲的總得分的分布列為
故甲的總得分的數(shù)學(xué)期望為．
（2）設(shè)輪比賽后甲的總得分為，則．
不妨設(shè)甲輪出的卡片上的數(shù)依次數(shù)，
則乙輪出的卡片順序有種．
若，則乙出的卡片上的數(shù)依次為，所以．
若，即甲只有一張卡片上的數(shù)比乙的卡片上的數(shù)大，
不妨設(shè)甲輪出的卡片上的數(shù)依次為，
乙輪出的卡片上的數(shù)為：
中元素的一個排列：，，，…，，
故要滿足題意，則存在唯一的，使得，即，
且對任意的滿足，．（提示：觀察到，均為的倍數(shù)，接下來可以將研究對象轉(zhuǎn)化到的排列中進(jìn)行研究，更容易理解）
令，則問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使得，且對任意的滿足，．（注意：此處滿足的條件是從上面的滿足的條件轉(zhuǎn)化而來，且，，，…，的取值順序不確定）
易知，則．
當(dāng)時，．
當(dāng)時，，且，
設(shè)滿足，的序列，，…，，的個數(shù)為：
①當(dāng)時，，，…，，為的一個排列，
故滿足，的序列，，…，，的個數(shù)為；
②當(dāng)時，，，…，，為的一個排列，，
故滿足，的序列，，…，，的個數(shù)為．
（提示：注意出現(xiàn)的位置與等價）
綜上，，易得，故，
因為當(dāng)且僅當(dāng)序列，，…，，為時滿足任意的，，且，所以滿足，，且的序列，，…，，的個數(shù)為．
設(shè)第輪甲卡片上的數(shù)比乙卡片上的數(shù)大，，則根據(jù)以上推論可得滿足的情況有
（種）．
故．
綜上，．
所以甲的總得分不小于的概率為．
19．（17分）橢圓左焦點(diǎn)和，構(gòu)成一個面積為的，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)是在三象限的點(diǎn)，與軸交于，與軸交于
①求四邊形的面積；②求面積最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】(1)；
(2)①；②面積最大值為，.
【分析】（1）根據(jù)離心率和三角形面積公式列方程，結(jié)合關(guān)系即可求解.
（2）①設(shè)點(diǎn)Px0,y0，求出直線和的方程，寫出點(diǎn)和的坐標(biāo)，計算和，即可證明四邊形的面積為定值；②要求面積最大值只需求出面積最大值，結(jié)合基本不等式及等號成立的條件可得結(jié)果.
【詳解】（1）
設(shè)，由，得，為等腰直角三角形，
∴，
由面積為得，，
又∵，
∴，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）
①設(shè)Px0,y0，則，
由（1）得，，
直線：，直線：，
故，，
四邊形的面積
.
②由①得，要求面積最大值只需求出面積最大值即可.
由，得，直線：，
∴點(diǎn)到的距離，
∴.
，
∴，
∴，解得
當(dāng)時，，此時，
由得，
由面積最大值為得面積最大值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合問題，具體思路如下：
（1）當(dāng)四邊形對角線互相垂直時，四邊形面積等于兩對角線乘積的一半；
（2）面積不易表達(dá)，可借助四邊形面積為定值，把求面積最大值轉(zhuǎn)化為求面積最大值.
甲
7.0
8.3
8.9
8.9
9.2
9.3
乙
8.1
8.5
8.6
8.6
8.7
9.1
甲
乙
中位數(shù)
A正確
極差
B正確
第75百分位數(shù)
，故第75百分位數(shù)是第5個數(shù)
C錯誤
9.2
8.7
方差
由題圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差
D正確
0
1
2
3

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