一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1. 下列各數(shù)中，與相加等于0的數(shù)是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴與相加等于0的數(shù)是．
故選：B．
2. 光明中學(xué)新校區(qū)建成之際，施工方在墻角處留下一堆沙子（如圖所示，兩面墻互相垂直），則這堆沙子主視圖是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】這堆沙子的主視圖是：

故選：B．
3. 世界上最小的開(kāi)花結(jié)果植物是澳大利亞的出水浮萍，這種植物的果實(shí)像一個(gè)微小的無(wú)花果，質(zhì)量?jī)H有克，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故選：C．
4. 如圖，把等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)和另外一個(gè)頂點(diǎn)分別放在矩形紙片的兩條對(duì)邊上，已知，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，
是等腰直角三角形，
，
，
，
矩形紙片的兩條對(duì)邊平行，
，
故選：C．
5. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故選：A．
6. 如圖，是的內(nèi)接三角形，已知，，則的半徑為（ ）
A. 1B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半徑，
故選：D．
7. 定義新運(yùn)算：，例如：．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，即，
∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得：．
故選：C．
8. 如圖，A，B，C，D是電路圖中的四個(gè)接線柱，閉合開(kāi)關(guān)后，燈泡不發(fā)光．小明同學(xué)用一根完好導(dǎo)線的兩端隨機(jī)觸連A，B，C，D中的兩個(gè)接線柱，若電流表有示數(shù)或燈泡發(fā)光，說(shuō)明兩個(gè)接線柱之間的電路元件存在故障．已知燈泡存在斷路故障，其他元件完好，則小明觸連一次找到故障（用導(dǎo)線觸連接線柱）的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意列出表格如下：
由表可知，一共有12種情況，小明觸連一次找到故障的有2種情況，
∴小明觸連一次找到故障的概率，
故選：D．
9. 如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象與的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為，則反比例函數(shù)的解析式為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)圓的半徑是，根據(jù)圓的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得：
陰影部分的面積等于圓的面積的，∴，
解得：．
∵點(diǎn)是反比例與在第三象限的一個(gè)交點(diǎn)，．
∴且
∴，
∴，
則反比例函數(shù)的解析式是：．
故選D．
10. 如圖，在中，，，，點(diǎn) P 從點(diǎn)A 出發(fā)，沿向點(diǎn)C 以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)C 出發(fā)，沿向點(diǎn)B 以的速度運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P，Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積最小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可知，是直角三角形，
∴，
設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，四邊形的面積為y，
則，
∴，
則當(dāng)時(shí)，y最小為．
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 北京冬季里某一天的氣溫為，的含義是 ________ .
【答案】零下
【解析】含義是零下．
故答案為：零下．
12. 若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則其表達(dá)式可以為_(kāi)_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，
∴，且．
任取一個(gè)滿足上述條件的一次函數(shù)即可，
故答案為：（答案不唯一）．
13. 某校為了監(jiān)測(cè)學(xué)生的心理健康狀況，對(duì)九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了心理健康測(cè)試．小芳從中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，并把這些學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（單位：分）制成了如下的扇形統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此估計(jì)該校850名九年級(jí)學(xué)生中測(cè)試成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段分的共有_________名．
【答案】238
【解析】根據(jù)題意：（名），
故答案為：238．
14. 如圖，是的內(nèi)接三角形，斜邊，直角邊，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，，連接，若與相切，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】3
【解析】連接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，與相切，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
故答案為：3．
15. 如圖所示，在中，，，是的中位線，D是邊上一點(diǎn)，，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)O．若是直角三角形，則的長(zhǎng)是________．

【答案】或
【解析】，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中位線，
，，
，
分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作于H，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
設(shè)，
由勾股定理得：，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)F作于H，
則，

，
，
，
，
，即，
，
綜上，的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16. （1）計(jì)算.
（2）因式分解：.
小剛的解題過(guò)程如下：
……第一步
……第二步
．……第三步
①請(qǐng)問(wèn)小剛同學(xué)第一步變形用到的乘法公式是_____（寫(xiě)出用字母，表示的乘法公式）；
②小穎說(shuō)小剛的步驟中有錯(cuò)誤，小剛第_____步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
③請(qǐng)用小剛的思路給出這道題的正確解法
解：（1）.
（2）①小剛同學(xué)第一步變形用到的乘法公式是平方差公式，用字母、表示為，
故答案為：；
②小剛第二步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，去括號(hào)時(shí)應(yīng)該等于，而不是，
故答案為：二；
③正確解法如下：
．
17. 2024年3月25日，是第29個(gè)全國(guó)中小學(xué)生安全教育日，為切實(shí)增強(qiáng)同學(xué)們的安全防范意識(shí)和避險(xiǎn)能力，保障學(xué)生安全，提高學(xué)生面臨突發(fā)安全事件自救自護(hù)應(yīng)變能力，某校在 3月份開(kāi)展了一系列的安全知識(shí)講座以及相應(yīng)的安全演練，為了解學(xué)生對(duì)“安全知識(shí)”的掌握情況．學(xué)校分別從八年級(jí)和九年級(jí)隨機(jī)抽取各40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并收集了這些學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理和分析，研究過(guò)程中的部分信息如下：
信息一：安全知識(shí)測(cè)試題共10道題目，每題10分；
信息二：九年級(jí)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下：
信息三：八年級(jí)平均成績(jī)的計(jì)算過(guò)程如下：
（分）
信息四：
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1） ， ；
（2）你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更加穩(wěn)定？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在本次測(cè)試中，九年級(jí)甲同學(xué)和八年級(jí)乙同學(xué)的成績(jī)均為80分，你認(rèn)為兩人在各自年級(jí)中誰(shuí)的成績(jī)排名更靠前？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）學(xué)校安排七年級(jí)主辦一期安全知識(shí)宣傳板報(bào)，要求從A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．網(wǎng)絡(luò)與信息安全，E．心理健康與安全中選擇兩個(gè)主題，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求七年級(jí)選擇D和E的概率．
解：（1）八年級(jí)成績(jī)第20和21個(gè)數(shù)分別為:70和80，
則八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)，
九年級(jí)成績(jī)，80分出現(xiàn)了14次數(shù)，次數(shù)最多，九年級(jí)成績(jī)的眾數(shù)，
故答案為：75；80；
（2）九年級(jí)1班的成績(jī)更穩(wěn)定，
九年級(jí)成績(jī)的方差為，八年級(jí)成績(jī)的方差為，
九年級(jí)方差八年級(jí)的方差，
九年級(jí)的成績(jī)更穩(wěn)定；
（3）九年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)為80，八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)為75，而甲同學(xué)成績(jī)小于該班成績(jī)中位數(shù)，而乙同學(xué)成績(jī)大于該班成績(jī)中位數(shù)，
乙同學(xué)成績(jī)?cè)谠摪喑煽?jī)的排名更靠前；
（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
所有等可能的結(jié)果數(shù)有20種，其中七年級(jí)選擇D和E的結(jié)果數(shù)有2個(gè)，
七年級(jí)選擇D和E的概率為．
18. 如圖，在中，．

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線，交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，若，求的面積．
解：（1）如圖1，射線為所求；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，則，

，
，
又平分，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理，得
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)B，且，點(diǎn)M為反比例函數(shù)圖象上第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，取x軸上一點(diǎn)D，使得，連接交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）試判斷點(diǎn)F是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明四邊形的形狀．
解：（1）點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)B，且，
，，
比例函數(shù)圖象在第二、四象限，
，即，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2），，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，
將代入，得，左邊等于右邊，
點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上，
在中，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，
四邊形是菱形．
20. 風(fēng)能作為一種清潔的可再生能源，越來(lái)越受到世界各國(guó)的重視圖1是某規(guī)格風(fēng)力發(fā)電機(jī)，其工作發(fā)電時(shí)，當(dāng)風(fēng)輪葉片末端旋轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)，如圖2所示，測(cè)得；當(dāng)風(fēng)輪葉片末端旋轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)，如圖3所示，測(cè)得．已知，，則該規(guī)格的風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)輪葉片長(zhǎng)為多少？（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）

解：根據(jù)題意可得：，
作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，

∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴該規(guī)格的風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)輪葉片長(zhǎng)，
答：該規(guī)格的風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)輪葉片長(zhǎng)為．
21. 習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)，讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．某校為提高學(xué)生的閱讀品味，決定購(gòu)買(mǎi)獲得茅盾文學(xué)獎(jiǎng)的甲、乙兩種書(shū)．已知每本甲種書(shū)比每本乙種書(shū)多元，若購(gòu)買(mǎi)相同數(shù)量的甲、乙兩種書(shū)分別需花費(fèi)元和元．
（1）求甲、乙兩種書(shū)的單價(jià)．
（2）如果學(xué)校決定再次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種書(shū)共本，總費(fèi)用不超過(guò)元，那么該校最多可以購(gòu)買(mǎi)甲種書(shū)多少本？
解：（1）設(shè)甲種書(shū)的單價(jià)為元，則乙種書(shū)的單價(jià)為元，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合實(shí)際．
∴，
答：甲、乙兩種書(shū)的單價(jià)分別為元、元．
（2）設(shè)該校購(gòu)買(mǎi)了甲種書(shū)本，則購(gòu)買(mǎi)了乙種書(shū)本，
則，
解得，
∴該校最多購(gòu)買(mǎi)本甲種書(shū)．
22. 數(shù)字農(nóng)業(yè)正帶領(lǐng)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)進(jìn)入一個(gè)嶄新的時(shí)代，而智能溫室大棚將成為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展進(jìn)程中重要的參與者之一.某種植大戶對(duì)自己的溫室大棚進(jìn)行改造時(shí)，先將大門(mén)進(jìn)行了裝修，如圖2所示，該大門(mén)門(mén)頭示意圖由矩形和拋物線形組成，測(cè)得，，，以水平線為x軸，的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求此門(mén)頭拋物線部分的表達(dá)式；
（2）改造時(shí)，為了加周，要在棚內(nèi)梁的四等分點(diǎn)M，N處焊接兩排鍍鋅管支撐大棚，已知定制的每根鍍鋅管成品長(zhǎng)，問(wèn)是否需要截取，截取多少？
解：（1）由題意，知，
，
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為，
將點(diǎn)代入，得，解得，
此門(mén)頭拋物線部分的表達(dá)式為；
（2）需要截取，
要在棚內(nèi)梁的四等分點(diǎn)M， N處焊接鍍鋅管，，，
當(dāng)或時(shí)，代入拋物線的表達(dá)式得，
，
需要鍍鋅管長(zhǎng)度為，
，
需要截取，每根鍍鋅管截?。?br>23. 綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：
“綜合與實(shí)踐”課上，李老師進(jìn)行如下操作，將圖①中的矩形紙片沿著對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中，將和按圖②所示的方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)G重合（標(biāo)記為點(diǎn)B），并將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，直線、相交于點(diǎn)F．
初探發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖②，猜想，數(shù)量關(guān)系是 ．
深入探究：
（2）李老師將圖②中的繞點(diǎn)B繼續(xù)旋轉(zhuǎn)．
①“善思”小組提出猜想：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E落在的內(nèi)部，如圖③，線段，，有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出他們的猜想，并說(shuō)明理由．
②“智慧”小組也提出：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A做于點(diǎn)H，若給出，，可以求出的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．
解：（1）連接，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）①由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
②Ⅰ．當(dāng)在上方時(shí)，設(shè)與交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，
∵，
∴，，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
由勾股定理可得，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
Ⅱ．當(dāng)在下方時(shí)，如圖：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴.A
B
C
D
A
B
C
D
統(tǒng)計(jì)量
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
九年級(jí)
82.5
80
n
八年級(jí)
80.5
m
70

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