一、選擇題(每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的)
1. 2的絕對(duì)值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】．故選A．
2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市場熱度延續(xù)、高潮迭起．三天假期，河南省接待國內(nèi)游客1906.9萬人次，旅游總收入112.5億元．與2023年同期相比，接待人次增長9.9%，旅游總收入增長20.6%．?dāng)?shù)據(jù)“112.5億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法可表示為：，故選：D．
3. 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法．“牟合方蓋”是由兩個(gè)圓柱分別從縱 橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的左視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由幾何體可得，從左邊看到平面圖形為，
故選：B．
4. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.，運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B.， 運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C.運(yùn)算正確，符合題意；
D.運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
5. 關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，m的值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，解得：．
故的值可以為，
故選：A．
6. 如圖，點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，，C為劣弧上一點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，
又∵C為劣弧上一點(diǎn)，
∴，故選：D．
7. 中國古代“四大發(fā)明”有造紙術(shù)、指南針、火藥和活字印刷術(shù)．小明購買了以“四大發(fā)明”為主題的四張紀(jì)念卡片，他將卡片背面朝上放在桌面上（紀(jì)念卡片背面完全相同），小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“造紙術(shù)”和“指南針”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】將造紙術(shù)、指南針、火藥和活字印刷術(shù)四張紀(jì)念卡片分別記為，，，，
畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果，
其中他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“造紙術(shù)”和“指南針”的結(jié)果有：，，共種，
∴他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“造紙術(shù)”和“指南針”的概率為，
故選：C．
8. 如圖①，漢代的《淮南萬畢術(shù)》中記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法．為了探清一口深井的底部情況，如圖②，在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時(shí)，已知，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
9. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有兩條拋物線，它們的頂點(diǎn) P，Q 都在x軸上，平行于x軸的直線與兩條拋物線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，若，，，則的長度為（ ）
A 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】分別作出兩條拋物線的對(duì)稱軸，交于點(diǎn)M，N，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故選B．
10. 如圖1，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)后停止，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長度為，的高，圖2是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點(diǎn)為曲線的最低點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，，∴，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，，∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，最短，
由等面積得：，∴，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
在中，，
∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)坐標(biāo)，
故選：D．
二 、填空題(每小題3分，共15分)
11. 寫出一個(gè)大小在和之間的整數(shù)是_________．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】∵，，
∴符合題意的整數(shù)滿足，，
故答案為：2．
12. 某校為了解九年級(jí)1000名學(xué)生一分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩測試，獲得了他們跳繩的數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），數(shù)據(jù)整理如下：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)九年級(jí)1000名學(xué)生中跳繩的個(gè)數(shù)不低于175個(gè)的人數(shù)為________人．
【答案】600
【解析】由題意得：（人），
即估計(jì)九年級(jí)1000名學(xué)生中跳繩的個(gè)數(shù)不低于175個(gè)的人數(shù)為600人．
13. 不等式組的解集_________．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作半圓，恰好與相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為_______.
【答案】
【解析】連接，作于點(diǎn)H，如圖，
∴，
∵，∴，∴，
∵與與相切于點(diǎn)D，∴，∴，∴，
∴陰影部分的面積==，
故答案為：．
15. 在中，將邊繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，連接．當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，的長為_________．
【答案】或
【解析】當(dāng)，且點(diǎn)在上方時(shí)，如圖所示，
過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
∵，且，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴．
在中，．
當(dāng)，且點(diǎn)在下方時(shí)，如圖所示，
過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
∵，且，
∴四邊形是正方形，
∴，∴．
在中，
綜上所述：的長為或．
三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分)
16. （1）計(jì)算：；
（2）化簡：．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. 某校所在城市中學(xué)段跳遠(yuǎn)成績達(dá)到就很可能奪冠，該市跳遠(yuǎn)記錄為．該校要從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中挑出一人參加全市中學(xué)生跳遠(yuǎn)比賽．李老師記錄了二人在最近的10次選拔賽中的成績（單位：cm），并進(jìn)行整理、描述和分析．
a．甲、乙二人最近10次選拔賽成績：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
b．甲、乙兩人最近10次選拔賽成績的統(tǒng)計(jì)表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）分析這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績各有什么特點(diǎn)？
（2）你認(rèn)為李老師會(huì)讓誰去參加比賽？請(qǐng)說明理由．
解：（1）根據(jù)甲的平均數(shù)高于乙的平均數(shù)，甲的方差小于乙的方差，
所以甲平均成績高且比乙的成績穩(wěn)定；
（2）甲10次成績中有9次成績達(dá)到，而乙10次成績中只有5次達(dá)到，而且甲的成績穩(wěn)定，
應(yīng)該選擇甲參加比賽．
18. 如圖，直線和相交，交點(diǎn)分別為．

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)作直線l的垂線（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）點(diǎn)是外一點(diǎn)，分別連接交于點(diǎn)，連接．（1）中所作垂線和交于點(diǎn)，若，且，求的度數(shù)．
解：（1）如圖，直線即為所求

（2）如圖，連接，由（1）知，

對(duì)應(yīng)的是
19. 如圖1，塑像在底座上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)為最大視角．
（1）請(qǐng)僅就圖2的情形證明．
（2）經(jīng)測量，最大視角為，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A仰角為，點(diǎn)P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．
（1）證明：如圖，連接．
則．
∵，∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，∴．
∴．
答：塑像的高約為．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)．
（1）求k，m的值；
（2）已知點(diǎn)P為直線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求a的值；
（3）觀察圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)，a的取值范圍．
解：（1）∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，
∵在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴．
（2）由（1）可知，反比例函數(shù)解析式為，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，∴，∴，
解得：或（舍去）或或（舍去），∴或，
（3）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．
21. 2024年植樹節(jié)來臨之際，某學(xué)校計(jì)劃采購一批樹苗，參加“保護(hù)黃河，遠(yuǎn)離霧霾” 植樹節(jié)活動(dòng)． 已知每棵甲種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元，用400元購買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用300元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？
（2）學(xué)校決定購買甲、乙兩種樹苗共100棵，實(shí)際購買時(shí)，甲種樹苗的售價(jià)打九折，乙種樹苗的售價(jià)不變．學(xué)校用于購買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過3200元，最多可購買多少棵甲種樹苗？
解：（1）設(shè)乙種樹苗每棵元，則甲種樹苗每棵元，
根據(jù)題意得，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
，
答：每棵甲種樹苗40元，每棵乙種樹苗30元；
（2）設(shè)可購買棵甲種樹苗，根據(jù)題意得，解得，
根據(jù)實(shí)際意義，取正整數(shù)，則最大取33，
答：學(xué)校最多可購買棵甲種樹苗33棵．
22. “急行跳遠(yuǎn)”是田徑運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一．運(yùn)動(dòng)員起跳后的騰空路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到落入沙坑的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系
某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；
（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練落入沙坑點(diǎn)的水平距離為，第二次訓(xùn)練落入沙坑點(diǎn)的水平距離為，請(qǐng)比較，的大?。?br>解：（1）由題意得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：．
∴該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為米．
設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：．
∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：．
∴函數(shù)解析式為：．
（2）?。?br>第一次訓(xùn)練時(shí)，．
解得：(不合題意，舍去)，．∴．
第二次訓(xùn)練時(shí)，．
解得：(不合題意，舍去)，．，
，．
23. 綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們用“木工尺”探究三等分任意角 的方法．如圖1為“木工尺”示意圖，它是由兩條寬度相同且互相垂直的直尺組成的，其中．下面是同學(xué)們的探究過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)，
【操作實(shí)踐】
如圖2，小明畫的平行線，使得與的距離等于尺寬，在上取點(diǎn)E，使等于尺寬，調(diào)整“木工尺”的位置，使得經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)D落在上，點(diǎn)E落在上， 則 三等分
小明過點(diǎn) D 作，垂足為點(diǎn) F，
由題意得：，
∴（ ）．
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴平分（ ），
∴．
∴．
∴三等分．
任務(wù)：（1）請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填寫推理的依據(jù)．
【類比遷移】
愛動(dòng)腦筋的小華受到上述方法的啟發(fā)，想到了通過折疊矩形紙片三等分一個(gè)已知角的方法，他的前兩個(gè)操作步驟如下 （如圖 3）：
步驟 1：在矩形紙片 上折出任意角，將矩形對(duì)折， 折痕記為， 再將矩形對(duì)折， 折痕記為， 展開矩形；
步驟 2：將矩形 沿著 折疊， 使得點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在 上， 點(diǎn) M 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 落在上．
任務(wù)：（2）連接， 試證明是的一條三等分線．
【拓展應(yīng)用】（3）在上述小華折疊的條件下，若 ，且 三點(diǎn)共線，請(qǐng)直接寫出的長．
解：（1）根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)．
故答案為：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上；垂直平分線的性質(zhì)
（2）連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)J，過點(diǎn)作于點(diǎn)K，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
故是的一條三等分線．
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)T，
根據(jù)(2)證明，得到，
∵，且 三點(diǎn)共線，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴．跳繩的個(gè)數(shù)/個(gè)
人數(shù)/人
2
5
13
24
6
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
達(dá)到的次數(shù)
達(dá)到的次數(shù)
甲運(yùn)動(dòng)員成績
601.6
600.5
65.84
9
3
乙運(yùn)動(dòng)員成績
599.3
595.5
284.21
5
4
水平距離
0
2
3
4
豎直高度
0

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