一．選擇題（每題3分，共24分）
1. 下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的定義．根據(jù)一元一次方程的定義“含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次是1的整式方程”作答．
【詳解】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意；
B、，未知數(shù)的最高次是2，不是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意；
C、有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意；
D、滿足一元一次方程的定義，該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2. 下列等式變形正確的是
A. 由=1得x=B. 由a=b,得
C. 由?3x=?3y，得x=?yD. x=y,得x-4=y-5
【答案】B
【解析】
【分析】逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.
【詳解】A選項(xiàng)中，由,得故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)中，由,得，故該選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)中，由,得，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)中，由,得，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的基本性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3. 下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了二元一次方程組定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為1的整式方程是二元一次方程組，熟記定義是解題的關(guān)鍵．據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、有三個(gè)未知數(shù)，所以A選項(xiàng)不合題意；
B、是二元一次方程組，所以B選項(xiàng)符合題意；
C、有兩個(gè)未知數(shù)，但的次數(shù)為2，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、有分式方程，所以D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
4. 若關(guān)于的方程的解是，則a，b的關(guān)系為（ ）
A. 相等B. 互為相反數(shù)C. 互為倒數(shù)D. 乘積為-1
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了方程的解、相反數(shù)的定義，由方程的解得，由相反數(shù)的定義，即可求解；理解方程的解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：方程的解是，
，
，
a，b的關(guān)系為互為相反數(shù)，
故選：B．
5. 對(duì)于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將①式代入②式消去去括號(hào)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：將①式代入②式得，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．
6. 《九章算術(shù)》中有這樣一道數(shù)學(xué)問題，原文如下：清明游園，共坐八船，大船滿六，小船滿四，三十八學(xué)子，滿船坐觀．請(qǐng)問客家，大小幾船?其大意為：清明時(shí)節(jié)出去游園，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人剛好坐滿，問：大小船各有幾只?若設(shè)有只小船，則可列方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確的列方程即可．
【詳解】解：設(shè)有只小船，則大船有只，
根據(jù)題意，得，
故選：A．
7. 方程的正整數(shù)解的對(duì)數(shù)是（ ）
A. 1對(duì)B. 2對(duì)C. 3對(duì)D. 4對(duì)
【答案】C
【解析】
【分析】將x=1，2，…，分別代入2x+3y=17，求出方程的正整數(shù)解的對(duì)數(shù)是多少即可．
【詳解】解：當(dāng)x＝1時(shí)，方程變形為2+3y＝17，解得y＝5；
當(dāng)x＝4時(shí)，方程變形為8+3y＝17，解得y＝3；
當(dāng)x＝7時(shí)，方程變形為14+3y＝17，解得y＝1；
∴二元一次方程的正整數(shù)解的對(duì)數(shù)是3對(duì)：、和．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的解，要熟練掌握，注意解中x與y必須為正整數(shù)．
8. 如圖是由7個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形和一塊正方形無縫隙拼合而成，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. 15B. 30C. 36D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則小正方形的邊長(zhǎng)為2y，根據(jù)圖中各邊之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用正方形的面積計(jì)算公式，即可求出圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則小正方形的邊長(zhǎng)為2y，
依題意得：
，
解得：，
∴圖中陰影部分的面積為（2y）2=（2×3）2=36．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（每題3分，共18分）
9. 在中，如果y＝0，那么x =_____．
【答案】6
【解析】
【分析】直接把y=0代入求出即可．
【詳解】解：把y=0代入得：，解得x=6．
故答案是：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到一元一次方程．
10. 若關(guān)于的方程是二元一次方程，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二元一次方程的定義可得，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，，
解得：，
故答案為：
11. 已知，則 ____．
【答案】
【解析】
【分析】將方程組的兩個(gè)方程加起來，得到，進(jìn)而得到．
【詳解】解：，
將①②，得：，
則：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，利用了加減消元法，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
12. 如果滿足，則________________.
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和平方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求得x，y的值，再得到答案.
【詳解】由題意可得，，兩式聯(lián)立可得，解得，所以9.
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)和平方差的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和平方差的性質(zhì).
13. 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為12，如果交換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，所得新數(shù)比原數(shù)大36，則原兩位數(shù)為_________.
【答案】48
【解析】
【分析】設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，根據(jù)等量關(guān)系“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為12 ”、“交換個(gè)位與十位數(shù)字，則所得新數(shù)比原數(shù)大36”列出方程組并求解即可得.
【詳解】設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，由題意得
，
解得：，
則原兩位數(shù)為48，
故答案為48.
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．
14. 已知關(guān)于、方程組，若用含的代數(shù)式來表示，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，先用表示出，進(jìn)一步用含的代數(shù)式來表示即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
三．解答題（共78分）
15. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先移項(xiàng)再合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化1，即可作答．
（2）先去分母，再去括號(hào)，然后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化1，即可作答．
【小問1詳解】
解：，
移項(xiàng)得，
合并同類項(xiàng)得，
解得；
【小問2詳解】
解：，
去分母得，
去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，
合并同類項(xiàng)得，
∴．
16. 解下列方程組：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的解法；
（1）用代入法先求出，再代入求得；
（2）用加減消元法解得再代入求
【小問1詳解】
解：將②代入①，得，
，．
將代入②，得．
所以原方程組的解是
【小問2詳解】
解：①+②，得．
．
將．代入①，得．
所以原方程組的解是
17. k取何值時(shí)，代數(shù)式的值比代數(shù)式的值大4？
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【詳解】解：依題意得：，
去分母得：
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次方程并求解，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
18. 一段公路甲隊(duì)獨(dú)修需30天，乙隊(duì)獨(dú)修需20天，甲隊(duì)獨(dú)修路10天后，再由甲、乙兩隊(duì)共同修路，還需多少天能修完？
【答案】還需8天能修完
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)還需x天能修完，由題意：一段公路甲隊(duì)獨(dú)修需30天，乙隊(duì)獨(dú)修需20天，甲隊(duì)獨(dú)修路10天后，再由甲、乙兩隊(duì)共同修完，列出一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)還需天能修完，
由題意得：，
解得：，
答：還需8天能修完．
19. 如圖，用直徑為的圓鋼鍛造一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為，和的長(zhǎng)方體毛坯底板，應(yīng)截取多長(zhǎng)的圓鋼？（結(jié)果保留）
【答案】應(yīng)取長(zhǎng)的鋼．
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)體積不變列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)截収圓鋼xmm，根據(jù)題意得，
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
答：應(yīng)取長(zhǎng)的鋼．
20. 某平臺(tái)有一套科技叢書，每套叢書進(jìn)價(jià)為120元，原售價(jià)為180元．該平臺(tái)為拓展銷路，準(zhǔn)備通過直播間打折銷售．如果要確保的利潤(rùn)率，那么直播間應(yīng)該對(duì)原售價(jià)打幾折出售？
【答案】直播間應(yīng)該對(duì)原售價(jià)打八折出售
【解析】
【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系式，同時(shí)要注意掌握利潤(rùn)率的計(jì)算方法．根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)直播間應(yīng)該對(duì)原售價(jià)打x折出售，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：直播間應(yīng)該對(duì)原售價(jià)打八折出售．
21. 上數(shù)學(xué)課時(shí)，陳老師讓同學(xué)們解一道關(guān)于x、y的方程組，并請(qǐng)小方和小龍兩位同學(xué)到黑板上板演，可是小方同學(xué)看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為，小龍同學(xué)看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為．
（1）____；____；
（2）按照正確的a、b求出原方程組的解．
【答案】（1）1，
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的解及解二元一次方程組；
（1）由二元一次方程組的解得是②的解，是①的解，即可求解；
（2）用加減消元法解方程組，即可求解；
理解二元一次方程組的解，能熟練解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：由題意得
是②的解，
解得：，
是①的解，
，
解得：，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：原方程組為
①得，
③，
③②得
，
解得：，
將代入①得
，
解得：，
原方程組的解為．
22. A、B兩地相距36千米．甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地．兩人同時(shí)出發(fā)，4小時(shí)后相遇；6小時(shí)后，甲所余路程為乙所余路程的2倍，求兩人的速度．
【答案】甲的速度是4千米/時(shí)，乙的速度是5千米/時(shí)．
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，等量關(guān)系式：甲4小時(shí)形式的路程乙4小時(shí)形式的路程千米，甲6小時(shí)后所余路程乙6小時(shí)后所余路程，據(jù)此列方程組，即可求解；找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)甲的速度是x千米/時(shí)，乙的速度是y千米/時(shí)，由題意得：
，
解得：，
答：甲的速度是4千米/時(shí)，乙的速度是5千米/時(shí)
23. 綜合與實(shí)踐
問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：
解方程組：．
觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的看成一個(gè)整體，把看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題．
設(shè)，，則原方程組可化為__________，解關(guān)于m，n的方程組，得，
所以，解方程組，得__________．
探索猜想：（2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：．
拓展延伸：（3）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；
（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；
（3）將所求方程組變形，然后得出，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：（1）設(shè)，，
則原方程組可化為，
解關(guān)于m，n的方程組，得，
所以，
解方程組，得，
故答案為：，；
（2）設(shè)，，
則原方程組可化為，
解關(guān)于m，n的方程組，得，
所以，
解方程組，得；
（3）方程組可化為，
∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，點(diǎn)O為原點(diǎn)，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，，且，若點(diǎn)同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度相同，都是每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答下列問題：
（1）A點(diǎn)表示的數(shù)為______，B點(diǎn)表示的數(shù)為______；
（2）t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為______；點(diǎn)M表示的數(shù)為______；
（3）請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)，；
（4）運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，不包括兩點(diǎn)重合時(shí)刻，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值？
【答案】（1），
（2），
（3） 或
（4） 、或
【解析】
【分析】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差，一元一次方程的應(yīng)用等，正確用代數(shù)式表示移動(dòng)過程中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，且即可確定表示的數(shù)；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，用代數(shù)式表示所表示的數(shù)；
（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，列方程求解即可；
（4）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，表示出，再分別令求出的值 ．
【小問1詳解】
已知，且，
∴，
∵在點(diǎn)O的左側(cè)，在點(diǎn)O的右側(cè)，
∴A點(diǎn)表示的數(shù)為，B點(diǎn)表示的數(shù)為．
小問2詳解】
點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)P表示數(shù)為，
點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，
∵點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)M表示的數(shù)為．
【小問3詳解】
由（2）可知，點(diǎn)P表示的數(shù)為，
點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
∴，
當(dāng)時(shí)，即，
則或，
解得或．
【小問4詳解】
由題意可知，點(diǎn)P表示的數(shù)為，
點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
點(diǎn)M表示的數(shù)為，
∴，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
即，或
解得或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M表示數(shù)為，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，
此時(shí)兩點(diǎn)重合，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，
得或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為，
點(diǎn)表示的數(shù)為，兩點(diǎn)重合，舍去；
綜上所述，或或．

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吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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90，吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

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2023年吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中中考三模數(shù)學(xué)試題（含解析）

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