1. 化簡的結果是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據算術平方根的定義，求解即可.
【詳解】解：，
故選：B．
【點睛】本題考查求算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.
2. 方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個相等的實數根B. 有兩個不相等的實數根
C. 只有一個實數根D. 沒有實數根
【答案】B
【解析】
【分析】根據求出的值，然后根據的值判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根．
3. 拋物線的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
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【分析】直接根據二次函數的頂點式的頂點為進行解答即可．
【詳解】解：∵，
∴頂點坐標為，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的頂點式，熟知二次函數的頂點式的頂點為是解本題的關鍵．
4. 如圖，直線，直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，則的長為（ ）
A. 4B. 8C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由平行線分線段成比例定理即可求得結果．
【詳解】，
，
，
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握此定理是關鍵，注意在這個比例式中，必須是對應的線段的比．
5. 如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可．
【詳解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵．
6. 如圖，正方形與正方形是位似圖形，點O為位似中心，位似比為，點B、E在第一象限．若點A的坐標為，則點E的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得，又由點A的坐標為，即可求得的長，又由正方形的性質，即可求得E點的坐標．
【詳解】解：∵正方形與正方形是位似圖形，O為位似中心，相似比為，
∴，
∵點A的坐標為，
即，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴．
∴E點的坐標為：．
故選：B．
【點睛】此題考查了位似變換的性質與正方形的性質．此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關鍵．
7. 如圖，在中，半徑垂直弦于點D．若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圓周角定理可求得度數，再由已知及三角形內角和定理即可求得結果．
【詳解】，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了圓周角定理，掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關鍵．
8. 如圖，拋物線的對稱軸為，且過點，有下列結論：①；②；③；④；其中所有正確的結論是（ ）
A. ①③B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根據開口判斷a與0的關系，根據對稱軸判斷b與0、a的關系，根據與y軸的交點判斷c與0的關系，即可判斷①③，根據與x軸交點判斷②，根據與x軸交點判斷時y與0的關系．
【詳解】解：由圖像可得，
根據開口向下得到，
與y軸交于正半軸得到，
根據對稱軸可得，，故①③正確；
由圖像可知方程有兩個不相等的實數解，，故②正確；
根據對稱性及圖像可知另一個交點橫坐標為：，
∴，故④錯誤；
故選C．
【點睛】本題考查二次函數圖像的性質：解題的關鍵是掌握圖像與a、b、c之間的關系．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9. 使二次根式有意義,則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意義的條件為，由此計算即可.
【詳解】解：二次根式有意義，則，即.
故答案為：
【點睛】本題考查了二次根式的定義，注意二次根式中被開方數大于等于0這一條件，正確把握二次根式的定義是解題的關鍵，
10. 關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據一元二次方程的解的概念，將代入原方程即可得解．
【詳解】解：關于x的一元二次方程的一個根為0，
代入方程得，
；
故答案為：．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解的概念，熟練掌握一元二次方程的解的概念是解答此題的關鍵．
11. 在平行四邊形中，點E是邊上一點，且，交對角線于點F，則與的面積比值為_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】先根據已知得出，然后根據三角形一邊的平行線的性質得出，再根據相似三角形的面積之比等于它們的相似比的平方即可得解．
【詳解】解：，
，
平行四邊形，
，
，
，
故答案為：9．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．
12. 在正方形網格中，小正方形的邊長均為1，如圖放置，則的值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，在中，由勾股定理求出長，再根據正弦的三角函數定義即可求解．
【詳解】解：如下圖所示，在中，
可知：，
，
，
故答案為：．
【點睛】此題考查了勾股定理、三角函數的定義，熟練掌握勾股定理與三角函數的定義是解答此題的關鍵．
13. 點A是半徑為3的上一動點，點O到直線的距離為4．點P是上一個動點．在運動過程中若，則線段的最小值是_____________．
【答案】５
【解析】
【分析】根據勾股定理得，求線段的最小值轉化為求的最小值，再根據點到直線的距離的意義即可得解．
【詳解】解：，，
，
要使線段最小，則要最小，
即當時，最?。?br>點O到直線的距離為4，
的最小值為4，
線段的最小值是；
故答案為：5．
【點睛】此題考查了圓的相關、概念勾股定理、點到直線的距離的意義，熟練掌握勾股定理與點到直線的距離的意義是解答此題的關鍵．
14. 已知二次函數，當時，函數值y的最大值為1，則a的值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先把函數解析式化為頂點式，分情況討論，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，
∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，和時，函數值相等，
若，當時，y隨x的增大而增大，
此時當時，函數值y最大，最大值為，不合題意，
若時，當時，函數值y最大，最大值為，不合題意，
當時，當時，當時，函數值y最大，最大值為
∴當時，函數值y最大，
∵函數值y的最大值為1，
∴，
解得（不合題意，舍去），，
綜上所述，a的值為．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）0．
【解析】
【分析】（1）先化簡二次根式，然后合并同類二次根式即可；
（2）根據二次根式的乘除法運算法則、特殊角的三角函數值，進行計算化簡即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
【點睛】此題考查了二次根式的混合運算、特殊角的三角函數，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解答此題的關鍵．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）利用因式分解法解該方程即可；
（2）利用配方法解該方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小問2詳解】
解：，
，
，即，
∴，
∴，．
17. 圖①，圖②，圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①，圖②，圖③恰定的網格中按要求畫圖．
（1）在圖①中，畫出格點C，使，用黑色實心圓點標出點C所有可能的位置．
（2）在圖②中，在線段上畫出點M，使．
（3）在圖③中，在線段上畫出點P，使．（保留作圖痕跡）
要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法．
【答案】（1）畫圖見解析
（2）畫圖見解析 （3）畫圖見解析
【解析】
【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質畫的垂直平分線即可；
（2）根據相似三角形的性質，取格點D，H，，，連接交于M即可；
（3）由相似三角形的性質，取格點F，E，，，連接，交于P即可．
【小問1詳解】
解：如圖①所示，點C即為所求；
【小問2詳解】
如圖②所示，點M即為所求；
【小問3詳解】
如圖②所示，點P即為所求；
【點睛】此題主要考查了作圖-應用與設計作圖，線段的垂直平分線的性質，相似三角形的判定和性質，關鍵是正確根據題目要求畫出圖形．
18. 在平面直角坐標系中，拋物線經過點．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）直接寫出拋物線的頂點坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系數法求函數解析式即可；
（2）先求解拋物線頂點的橫坐標，再代入拋物線求解縱坐標即可得出答案．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經過點
∴
解得：
∴拋物線的解析式為：．
【小問2詳解】
由（1）知：拋物線的解析式為，
當時，，
∴拋物線與x軸的頂點坐標為：．
【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式，頂點坐標，熟練掌握待定系數法求拋物線解析式的一般步驟，是解題的關鍵．
19. 平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：，則稱點Q為點P的“可控變點”．
例如：點的“可控變點”為點，點的“可控變點”為點．
（1）點的“可控變點”坐標為_____________．
（2）若點P在函數的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標是7，求出“可控變點”Q的橫坐標．
【答案】（1）
（2）“可控變點”Q橫坐標為： 或．
【解析】
【分析】（1）根據可控變點的定義，可得答案；
（2）根據可控變點的定義，可得函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
【小問1詳解】
解：∵點，，
∴，
即點的“可控變點”坐標為，
【小問2詳解】
由題意得的圖象上的點P的“可控變點”必在函數的圖象上，
∵“可控變點”Q的縱坐標的是7，
當時，則時，解得，
∴“可控變點”Q的橫坐標為：，
當時，時，解得，
∴“可控變點”Q的橫坐標為：，
∴“可控變點”Q的橫坐標為： 或．
【點睛】本題是新定義題，根據可控變點的定義，可得解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案，理解題意是解本題的關鍵．
20. 如圖，在中，，點D在邊上，經過點A和點B且與邊相交于點D．
（1）判斷與的位置關系，并說明理由．
（2）當時，直接寫出的半徑．
【答案】（1）相切，理由見詳解；
（2）4．
【解析】
【分析】（1）根據等腰三角形的性質：等邊對等角，先證明，再根據圓的切線的定義即可判斷并證明；
（2）根據含角的直角三角形的性質即可求解．
【小問1詳解】
解：與的位置關系是：相切；理由如下：
，
，
連接，如圖所示，則，
，
，
為的半徑，
與相切；
即與的位置關系是：相切；
【小問2詳解】
解：設的半徑為，又，
，
在中，，
，
，
，
故的半徑為4．
【點睛】此題考查了圓的切線的證明、等腰三角形的性質、直角三角形的性質等知識，熟練掌握圓的切線的定義、等邊對等角、含角的直角三角形的性質是解答此題的關鍵．
21. 如圖，拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線的解析式為．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）點B的坐標為_____________．
（3）當時，x的取值的范圍是_____________．
（4）當時，的取值的范圍是_____________．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）由圖可知拋物線的頂點坐標為，即，然后將拋物線上的點代入即可求出的值，從而得解；
（2）對于拋物線的解析式，令，求出的值，即可求出點的坐標；
（3）觀察圖形，由數形結合即可得出答案；
（4）根據，觀察拋物線求出的最大值與當時的函數值，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：觀察拋物線圖像可知：拋物線的頂點為即，
，
又拋物線與x軸交于點，
，
，
故拋物線的解析式為：；
【小問2詳解】
解：當時，，
；
故答案為：；
【小問3詳解】
解：由 可知，拋物線的圖像在直線的圖像的上方，
；
故答案為：；
【小問4詳解】
解：，，
當時，最大值為4；
當時，，
的取值的范圍為：；
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數的圖像與性質、求二次函數的解析式、拋物線與直線的交點問題等知識，熟練掌握二次函數的圖像與性質與數形結合的思想方法是解答此題的關鍵．
22. 如圖，學校要用一段長為40米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻長為16米．
（1）若矩形的面積為150平方米，求矩形的邊的長．
（2）要想使花圃的面積最大，邊的長應為多少米？最大面積為多少平方米？
【答案】（1）10米 （2）邊的長應為16米時，花圃面積最大為平方米
【解析】
【分析】（1）設矩形的邊米，則可表示矩形的邊，由面積關系建立方程，解方程即可；
（2）設矩形的面積為平方米，矩形的邊米，則可用含的代數式表示，且是一個二次函數關系，則可求得此二次函數的最大值，從而可得邊的長．
【小問1詳解】
解：設矩形的邊米，則邊米，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
由于可利用的墻長為16米，即，
不符合題意，應舍去，
，
即邊的長為米；
【小問2詳解】
解：設矩形的面積為平方米，矩形的邊米，則邊米，
由題意得：，
，
，且，
當時，函數值S隨自變量的增大而增大，
時，S有最大值，且最大值為，
所以邊的長為米時，花圃的面積最大，最大面積為平方米．
【點睛】本題是函數與方程的綜合應用，考查一元二次方程的實際應用及二次函數的實際應用，讀懂題意，根據面積關系列出方程或函數關系式是解題的關鍵．求面積最大值時，要注意最大可利用的墻長為16米這個條件，即注意函數自變量的取值范圍．
23. 【教材呈現】華師版九年級上冊數學教材第77頁的部分內容：
如圖，在中，點D、E分別是的中點，可以猜想：且．
對此，我們可以用演繹推理給出證明．
證明：在中，
∵點D、E分別是與的中點，
∴，請根據教材提示，結合圖1，寫出完整證明過程．
【結論應用】
如圖2，在中垂直于的平分線于點E，且交邊于點D，點F為的中點．若，求的長．
【拓展延伸】
如圖3，在中，，D為中點，將繞點A逆時針旋轉一定的角度，得到線段，連接，取的中點E，連接．則面積的最大值為_____________．
【答案】教材呈現】證明見詳解；
【結論應用】2；
【拓展延伸】．
【解析】
【分析】（1）根據兩邊對應成比例以及夾角相等，判定兩個三角形相似，然后得出，即可推出結論即三角形的中位線定理；
（2）先證明，得出，從而得長，再根據（1）中結論即可求解；
（3）先根據（1）中結論得出點的軌跡，然后通過求點到的距離的最大值，求出面積的最大值即可．
【詳解】[教材呈現]
證明：如圖1，在中，
∵點D、E分別是與的中點，
∴，
，
，
，
，且；
[結論應用]
解：如圖2所示，
平分，
，
，
，
在與中
，
，
，
，
，
又點是的中點，
根據（1）中的結論可知：；
[拓展延伸]
解：，
，
D為中點，
，
繞點A逆時針旋轉一定的角度，得到線段，
，
分別為的中點，連接，如圖3所示，
，
又點是定點，
點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，
過點作于，如圖3，
，
，
是的中點，
，
點到的距離的最大值為：，
，
面積的最大值為：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了三角形的中位線定理的證明及應用、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的意義、勾股定理、平行線分線段成比例等知識，熟練掌握中位線定理的應用、相似三角形的判定與性質、全等三角形判定與性質是解答此題的關鍵．
24. 如圖，在中，，動點P從點A出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度向終點C運動，過點P作于點Q，將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，連接．設點P的運動時間為t秒．
（1）線段的長為_____________（用含t的代數式表示）；
（2）當點P與點C重合時，求t的值；
（3）當C、R、Q三點共線時，求t的值；
（4）當為鈍角三角形時，直接寫出t的取值的范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根據題意，用含的代數式表示線段的長即可；
（2）當點P與點C重合時，得，即可求解；
（3）先證得，再證，得，從而得出，進而求得得解；
（4）根據題意可知：當為鈍角三角形時，為鈍角；先求為直角時的的值，從而得出為鈍角三角形時，的取值的范圍．
【小問1詳解】
解：根據題意可知：；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：當點P與點C重合時，，
，
；
【小問3詳解】
解：當C、R、Q三點共線時，連接，則經過點，如圖1所示，
繞點逆時針旋轉到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
即；
【小問4詳解】
解：，
為銳角，
又，
故當為鈍角三角形時，為鈍角，
當為直角時，如圖2所示，
易知：，
，
，
，
，
當為鈍角時，；
故t的取值的范圍為：．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、圖形旋轉的性質、列代數式、一元一次方程的應用等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．

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