（1）一次函數與幾何圖形的面積問題
首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．
（2）一次函數的優(yōu)化問題
通常一次函數的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數的增減性在前面范圍內的前提下求出最值．
（3）用函數圖象解決實際問題
從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題．
1．（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線與相切，切點為，與軸軸分別交于、兩點．與軸負半軸交于點．
（1）求的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由圖中陰影部分的面積，即可求解．
【解答】解：（1）對于直線，令，
則，即，
由一次函數的表達式知，，
則，
則
連接，則，
則；
（2）過點作于點，
，則，
，
則圖中陰影部分的面積．
【點評】本題考查了一次函數和圓的綜合運用，涉及到圓切線的和一次函數的性質，解直角三角形，面積的計算等，綜合性強，難度適中．
2．（2023?宿豫區(qū)三模）如圖①，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，點是直線上的動點，過點作于點，點的坐標為，連接，．設點的縱坐標為，的面積為．
（1）當時，求點的坐標；
（2）關于的函數解析式為，其圖象如圖②所示，結合圖①、②的信息，求出與的值；
（3）在直線上是否存在點，使得，若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）解法一：先根據可得點，因為在直線上，所以設，利用代入可得點的坐標，在中，利用勾股定理列方程可得點的坐標；
解法二：根據可以使用與軸正半軸夾角為45度來解答；
（2）先把代入中計算得的值，計算在范圍內圖象上一個點的坐標值：當時，根據（1）中的數據可計算此時，可得坐標，代入中可得的值；
（3）存在，設，如圖5和圖6，分別根據兩點的距離公式和勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）解法一：如圖1，連接，
當時，，
設，
在中，當時，，
，
，
，
，
即，
解得：（舍，，
，；
解法二：如圖，過點作軸于，過點作于，
當時，，
當時，，
則，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
當時，，
設，
，
，
，；
（2）如圖2可知：當時，，
把代入中得：，
解得：，
如圖3，過作軸，交于，
由（1）知：當時，，，，
，
設的解析式為：，
則，
解得，
的解析式為：，
，，
，
，
把代入得：，
解得：；
（3）存在，設，
當時，如圖5，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
或，
解得：（舍或，
中，，
即，
把代入得：，
解得：或3，
當時，如圖5，則，
；
當時，如圖6，
此時，，
綜上，點的坐標為：或．
【點評】本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、等腰直角三角形的判定和性質、三角形的面積、兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
3．（2023?溧陽市一模）如圖1，將矩形放在平面直角坐標系中，點是原點，點坐標為，點坐標為，點是軸正半軸上的動點，連接，是由沿翻折所得到的圖形．
（1）當點落在對角線上時， ；
（2）當直線經過點時，求所在的直線函數表達式；
（3）如圖2，點是的中點，連接、．
①的最小值為 ；
②當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）通過點在上，可以通過的三角函數和的三角函數來導出對應的邊的關系，求得結果；
（2）通過直角中，得到的長度，然后通過，可以在中，得到對應的值然后求出結果；
（3）通過，可得出點的運動軌跡，是以點為圓心，4為半徑長度的圓弧，從而可知，的連線上的點為最短的長度，
通過分類討論，，，來求得對應的的坐標．
【解答】解：（1）如圖1，
，
，
，
又，
，
，即，
，
故答案為：；
（2）如圖，
，
，
，
，
設，則，，
，
，
，
點的坐標為，
將和代入中，
，
解得：，
所在直線的表達式為：；
（3）如圖，
①，
點的運動軌跡，是以為圓心，4為半徑的圓弧，
的最小值在的連線上，如圖，即為所求，
是中點，，
，
，
故答案為：；
②如圖，
設，，
，
當時，
，
，
，
，，
當時，如圖，若點在上，
則，
，，，
，
，
，
，
，
；
若點在上方時，
由對稱性可知，
，
，
；
當時，不符合題意，不成立，
故點坐標為，或或．
【點評】本題考查一次函數的圖象及應用，通過一次函數坐標圖象的性質，三角函數的性質，全等三角形的性質和勾股定理，來求得對應的解．
4．（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數與的圖象關于軸對稱，所以我們定義：函數與互為“”函數．
（1）請直接寫出函數的“”函數；
（2）如果一對“”函數與的圖象交于點，且與軸交于，兩點，如圖所示，若，且的面積是8，求這對“”函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點是軸上的一個動點，當為等腰三角形時，請求出點的坐標．
【分析】（1）根據互為“”函數的定義，直接寫出函數的“”函數；
（2）現根據已知條件判斷為等腰直角三角形，再根據互為“”函數的圖象關于軸對稱，得出，再根據函數解析式求出點、、的坐標，再根據的面積是8求出、的值，從而求出函數解析式；
（3）為等腰三角形，分以為頂點，以為頂點，以為頂點三種情況討論即可．
【解答】（1）解：根據互為“”函數的定義，
函數的“”函數為；
（2）解：根據題意，和為一對“函數”．
，
又，
為等腰直角三角形，
，
，
，
，
又且，
，
、、是一次函數與的圖象于坐標軸的交點，
，，，，，
，
，
，
和；
（3）解：根據等腰三角形的性質，分情況，
，
，
由（2）知，，，，，，，
①以為頂點，則，
當點在點上方時，，
當點在點下方時，，
，，，，
②以為頂點，則，
此時點在軸負半軸，
，
③以為頂點，則，
此時為坐標原點，
．
點坐標為，，，，，．
【點評】本題考查一次函數的綜合應用，以及新定義、等腰三角形的性質等知識，關鍵是理解新定義，用新定義解題．
5．（2024?新北區(qū)校級模擬）如圖①，動點從矩形的頂點出發(fā)，以的速度沿折線向終點運動；同時，一動點從點出發(fā)，以的速度沿向終點運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動．點為的中點，連接，，記的面積為，點運動的時間為，其函數圖象為折線和曲線（圖②，已知，，，點的坐標為．
（1）點與點的速度之比的值為 ；的值為 ；
（2）如果．
①求線段所在直線的函數表達式；
②求所在曲線的函數表達式；
③是否存在某個時刻，使得？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由函數圖象可知時，與重合，時，與重合，時，與重合，則的速度，的速度，從而得出答案；
（2）①當時，與重合，與重合，此時，可得，，從而得出點與的速度，即可得出點的坐標，利用待定系數法可得答案；
②設所在的曲線的數解析式為 ，把，代入解析式求得，值即可求解答；
③利用待定系數法求出直線的函數解析式，當時，可得的值，根據圖象可得答案．
【解答】解：（1），，，
，，
由圖象可知：時，與重合，時，與重合，時，與重合，
的速度，的速度，
四邊形是矩形，
，，
為的中點，
，
，
從到用了5秒，從到用了3秒，
，，
，
的值為，
故答案為：，；
（2）①，
，
由題知，時，與重合，與重合，
，
，，
，
，
（舍去負值），
，
，
當時，，
，此時與重合，
，
，
設直線的解析式為，
將與代入得：，
，
線段所在直線的函數表達式為；
②設所在的曲線的數解析式為，
所在的曲線的函數解析式為；
③存在，分情況討論如下：
當在上，在上時，
直線經過點，，
可求得直線的解析式為，
當時，，
，
隨的增大而減小，
當時，，
當在上，在上時，
直線的解析式為；
由知：當時，，
當時，，
或5，
由圖象知：當，
的取值范圍為或．
【點評】本題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，三角形的面積，矩形的性質等知識，理解函數圖象中每一個拐點的意義是解題的關鍵．
6．（2024?梁溪區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸正半軸交于點，直線交于第一象限內的點，且的面積為10．
（1）求二次函數的表達式；
（2）點為軸上一點，過點作軸的平行線交線段于點，交拋物線于點，當時，求點的坐標；
（3）已知點是軸上的點，若點關于直線的對稱點恰好落在二次函數的圖象上，求的值．
【分析】（1）在中，令得，，根據的面積為10，即得，，用待定系數法即得二次函數的表達式為；
（2）設，則，，由，可得，即可解得；
（3）連接交直線于，過作軸于，設，可得，，即得，①，又，②，可解得，，故，，代入得，解得或．
【解答】解：（1）如圖：
在中，令得，
解得或，
，，
，
的面積為10，
，即，
，
，
把代入得：
，
，
二次函數的表達式為；
（2）如圖：
設，則，，
，，
，
，
解得或（舍去），
；
（3）連接交直線于，過作軸于，如圖：
關于直線對稱點為，
，是中點，
設，
，，
在直線上，
，
整理得：①，
，
，
變形得：②，
把①代入②得：，
，
③，
由①③可得，，
，，
在拋物線上，
，
解得或，
答：的值為5或．
【點評】本題考查一次函數、二次函數綜合應用，涉及待定系數法，三角形面積，對稱變換等知識，解題的關鍵是用含的代數式表示的坐標．
7．（2023?邗江區(qū)校級一模）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點點和點，過點作于點，以為邊構造等邊點在軸的正半軸上）．
（1）求、點的坐標，以及的長；
（2）將等邊，從圖1的位置沿軸的正方向以每秒1個單位的長度平移，移動的時間為，同時點從出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著折線運動（如圖2所示），當點到點停止，也隨之停止．
① 3或6 時，直線恰好經過等邊其中一條邊的中點；
②當點在線段上運動，若，求的值；
③當點在線段上運動時，若的面積為，求出的值．
【分析】（1）把，分別代入，即可求出點、的坐標，求出，根據直角三角形的性質，即可得出；
（2）①當直線分別過、、的中點，分三種情況進行討論，得出的值，并注意點運動的最長時間；
②分點在直線的下方和直線上方兩種情況進行討論，求出的值即可；
③分點在之間和點在之間兩種情況進行討論，求出的值即可．
【解答】解：（1）令，則，
點的坐標為，
令，則，
解得，
點的坐標為，
，
，
，
，
為直角三角形，
；
（2）①當直線過的中點時，
為等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
當過的中點時，
，，
直線為的垂直平分線，
為等邊三角形，
此時點與點重合，
；
當直線過的中點時，運動時間為；
點從運動到停止用的時間為：，
此時不符合題意；
綜上所述，當或時，直線恰好經過等邊其中一條邊的中點，
故答案為：3或6；
②，，，
，
，
，
，
當在直線的下方時，
，
，
解得：；
當在直線的上方時，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或；
③當時，
，，，
，
，，
，
，
，
邊的高，
的面積為，
，
整理得：，
解得（舍或
當點在之間時，
，，，
，
，，
，
，
，
，
邊的高，
的面積為，
，
解得（舍或（舍，
綜上所述，的值為．
【點評】本題主要考查了一次函數的性質、等邊三角形的性質、直角三角形的性質、利用三角函數解直角三角形，熟練掌握含的直角三角形的性質并注意進行分類討論是解題的關鍵．
8．（2023?武進區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，對于任意兩點，與，的“非常距離”，給出如下定義：
若，則點與點的“非常距離”為；
若，則點與點的“非常距離”為．
例如：點，點，因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線交點）．
（1）已知點，，為軸上的一個動點，
①若點與點的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點的坐標；
②直接寫出點與點的“非常距離”的最小值；
（2）已知是直線上的一個動點，
①如圖2，點的坐標是，求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點的坐標；
②如圖3，是以原點為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點與點的坐標．
【分析】（1）①根據點位于軸上，可以設點的坐標為．由“非常距離”的定義可以確定，據此可以求得的值；
②設點的坐標為．因為，所以點與點的“非常距離”最小值為；
（2）①設點的坐標為，．根據材料“若，則點與點的“非常距離”為”知，、兩點的“非常距離”的最小值為，據此可以求得點的坐標；
②根據“非常距離”的定義，點在過原點且與直線垂直的直線上，且與的橫縱坐標差相等時，點與點的“非常距離”取最小值，據此求出與的坐標及“非常距離”的最小值．
【解答】解：（1）①為軸上的一個動點，
設點的坐標為．
，
，
解得，或；
點的坐標是或；
②點與點的“非常距離”的最小值為．
（2）①如圖2，當點與點的“非常距離”取最小值時，需要根據運算定義“若，則點與點的“非常距離”為”解答，此時．即，
是直線上的一個動點，點的坐標是，
設點的坐標為，，
，
此時，，
點與點的“非常距離”的最小值為：，
此時，；
②如圖3，當點在過原點且與直線垂直的直線上，且時，點與點的“非常距離”最小，
設（點位于第二象限）．則
，
解得，
故，．
設點的坐標為，，
，
解得，
則點的坐標為，，點與點的“非常距離”的最小值為1．
【點評】本題考查了一次函數綜合題．對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵．
9．（2023?海安市一模）對于平面直角坐標系中的圖形和點，給出如下定義：為圖形上任意一點，將，兩點間距離的最小值記為，最大值記為，稱與的差為點到圖形的“差距離”，記作，即，已知點，
（1）求；
（2）點為直線上的一個動點，當時，點的橫坐標是 或， ；
（3）點為函數圖象上的任意一點，當時，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）畫出圖形，根據點到圖形的“差距離”的定義即可解決問題．
（2）如圖2中，設．由此構建方程即可解決問題．
（3）如圖3中，取特殊位置當時，當時，分別求解即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，
，，
軸，
點到線段的最小距離為1，最大距離為，
．
（2）如圖2中，設．
當點在軸的左側時，由題意，
，
，
或（舍棄），
，，
當點在軸的右側時，同法可得，，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為，或，．
故答案為：，或，．
（3）如圖3中，
當時，線段上任意一點，滿足，
當時，線段上任意一點，滿足，
觀察圖象可知：當或時，函數圖象上的任意一點，滿足．
【點評】本題屬于一次函數綜合題，考查了一次函數的性質，點到圖形的“差距離”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數解決問題，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．
10．（2022?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標系中，對于任意的三個點、、，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且，，三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點，，的“三點矩形”．在點，，的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點，，的“最佳三點矩形”．
如圖1，矩形，矩形都是點，，的“三點矩形”，矩形是點，，的“最佳三點矩形”．
如圖2，已知，，點．
（1）①若，，則點，，的“最佳三點矩形”的周長為 18 ，面積為 ；
②若，點，，的“最佳三點矩形”的面積為24，求的值；
（2）若點在直線上．
①求點，，的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時的取值范圍；
②當點，，的“最佳三點矩形”為正方形時，求點的坐標；
（3）若點在拋物線上，當且僅當點，，的“最佳三點矩形”面積為12時，或，直接寫出拋物線的解析式．
【分析】（1）①利用“最佳三點矩形”的定義求解即可，
②利用“最佳三點矩形”的定義求解即可；
（2）①利用“最佳三點矩形”的定義求得面積的最小值為12，
②由“最佳三點矩形”的定義求得正方形的邊長為6，分別將，代入，可得分別為，5，點的坐標為或；
（3）利用“最佳三點矩形”的定義畫出圖形，可分別求得解析式．
【解答】解：（1）①如圖，畫出點，，的“最佳三點矩形”，可知矩形的周長為，
面積為；
故答案為：18，18．
②，，
，．
又，點，，的“最佳三點矩形”的面積為24．
此矩形的鄰邊長分別為6，4．
或5．
（2）如圖，
①由圖象可得，點，，的“最佳三點矩形”面積的最小值為12；
分別將，代入，可得分別為1，2；
結合圖象可知：；
②當點，，的“最佳三點矩形”為正方形時，邊長為6，
分別將，代入，可得分別為，4；
點的坐標為或；
（3）設拋物線的解析式為，經過點，，，
，
，
，
同理拋物線經過點，，，可求得拋物線的解析式為，
拋物線的解析式或．
【點評】本題主要考查了一次函數的綜合題，涉及點的坐標，正方形及矩形的面積及待定系數法求函數解析式等知識，解題的關鍵是理解運用好“最佳三點矩形”的定義．
11．（2022?太倉市模擬）如圖①，動點從矩形的頂點出發(fā)，以的速度沿折線向終點運動；同時，一動點從點出發(fā)，以的速度沿向終點運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動．點為的中點，連接，，記的面積為，點運動的時間為，其函數圖象為折線和曲線（圖②，已知，，，點的坐標為．
（1）點與點的速度之比的值為 ；的值為 ；
（2）如果．
①求線段所在直線的函數表達式；
②是否存在某個時刻，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由函數圖象可知時，與重合，時，與重合，時，與重合，則的速度，的速度，從而得出答案；
（2）①當時，與重合，與重合，此時，可得，，從而得出點與的速度，即可得出點的坐標，利用待定系數法可得答案；
②利用待定系數法求出直線的函數解析式，當時，可得的值，根據圖象可得答案．
【解答】解：（1），，，
，，
由圖象可知：時，與重合，時，與重合，時，與重合，
的速度，的速度，
四邊形是矩形，
，，
為的中點，
，
，
從到用了4秒，從到用了2秒，
，，
，
的值為2，
故答案為：；
（2）①，
，
由題知，時，與重合，與重合，
，
，
，
，
，，
，
當時，，
，此時與重合，
，
，
設直線的解析式為，
將與代入得：
，
，
線段所在直線的函數表達式為；
②存在，分情況討論如下：
當在上，在上時，
直線經過點，，
同理求得直線的解析式為，
當時，，
，
隨的增大而減小，
當時，，
當在上，在上時，
直線的解析式為，
由知：當時，，
當在上，在上時，
，
，
，
，
，
，
，
，
當時，，
或5，
由圖象知：當時，，
綜上，時，的取值范圍為或．
【點評】本題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，三角形的面積，矩形的性質等知識，理解函數圖象中每一個拐點的意義是解題的關鍵．
12．（2022?邗江區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，對于點和線段，我們定義點關于線段的線段比．
（1）已知點，．
①點關于線段的線段比 ；
②點關于線段的線段比，求的值．
（2）已知點，點，直線與坐標軸分別交于，兩點，若線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①求出、、，根據線段比定義即可得到答案；
②方法同①，分和討論；
（2）分兩種情況，畫出圖象，根據線段比定義，分別在為“臨界點”時列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①，，，
，，，
根據線段比定義點關于線段的線段比；
故答案為：；
②，，，
，，，
，，
當時，，即，
由關于線段的線段比可得：
，解得或（舍去），
，
當時，，即，
由關于線段的線段比可得：
，
解得（舍去）或，
，
綜上所述，點關于線段的線段比，或；
（2）直線與坐標軸分別交于，兩點，
，，
點，點，
，在右邊2個單位，
當線段上的點到距離較小時，分兩種情況：
①當、在點左側時，如圖：
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，
，即，
解得：，
②當在右側，在左側時，過作于，如圖：
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，
，即，
，
而，，
，
時等腰直角三角形，
，
，即，
解得，
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，線段上的點到距離較小時，，
當線段上的點到距離較小時，也分兩種情況：
①當在右側，在左側時，如圖：
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，
，即，
解得，
②當、在點右側時，過作于，如圖：
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，
，即，
，
而，，
，
時等腰直角三角形，
，
，即，
解得：，
線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，線段上的點到距離較小時，，
綜上所述，線段上存在點使得這一點關于線段的線段比，則或．
【點評】本題考查一次函數應用，解題的關鍵是讀懂線段比的定義，找出“臨界點”列不等式．
13．（2022?泰州）定義：對于一次函數、，我們稱函數為函數、的“組合函數”．
（1）若，，試判斷函數是否為函數、的“組合函數”，并說明理由；
（2）設函數與的圖像相交于點．
①若，點在函數、的“組合函數”圖像的上方，求的取值范圍；
②若，函數、的“組合函數”圖像經過點．是否存在大小確定的值，對于不等于1的任意實數，都有“組合函數”圖像與軸交點的位置不變？若存在，請求出的值及此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由，可知函數是函數、的“組合函數”；
（2）①由得，當時，，根據點在函數、的“組合函數”圖象的上方，有，而，可得；
②由函數、的“組合函數” 圖象經過點，知，即，而，即得，可得，令得，即，即可得時，“組合函數”圖象與軸交點的位置不變，．
【解答】解：（1）函數是函數、的“組合函數”，理由如下：
，
，
函數是函數、的“組合函數”；
（2）①由得，
，
、的“組合函數”為，
時，，
點在函數、的“組合函數”圖象的上方，
，
，
，
，
，
；
②存在時，對于不等于1的任意實數，都有“組合函數”圖象與軸交點的位置不變，，理由如下：
由①知，，
函數、的“組合函數” 圖象經過點，
，
，
，
，有，
，
令得，
變形整理得：，
當，即時，，
，
時，“組合函數”圖象與軸交點的位置不變，．
【點評】本題考查一次函數綜合應用，涉及新定義，函數圖象上點坐標的特征，一次函數與一次方程的關系等，解題的關鍵是讀懂“組合函數“的定義．
14．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）在同一平面內，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這兩個三角形叫做“共邊全等”．
（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是 ③ ；
（2）如圖1，在邊長為6的等邊三角形中，點在邊上，且，點、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長；
（3）如圖2，在平面直角坐標系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點，點是的中點，、在的邊上，當以、、為頂點的三角形與 “共邊全等”時，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）由于第③個圖不符合共邊要求，所以圖③即為答案；
（2）為兩個全等三角形的公共邊，由于點在邊上，在邊上，兩個三角形的位置可以如圖②，在公共邊異側，構成一個軸對稱圖形，也可以構成一個平行四邊形（將圖③的兩條最長邊重合形成），分兩類討論，畫出圖形，按照圖②構圖，會得到一個一線三等角模型，利用相似，列出方程來解決，按照平行四邊形構圖，直接得到為等邊三角形，計算邊長即可求得；
（3）由題目要求，可以知道兩個全等三角形的公共邊為邊，由于要構成，所以點只能在和邊上，當在邊上，兩個三角形可以在同側，也可以在異側，當在異側構圖時，可以得到圖3和圖4，在圖3中，當在同側構圖時，可以得到圖6，當在邊上時，只能落在上，得到圖7，利用已知條件，解三角形，即可求出點坐標．
【解答】解：（1）①②均符合共邊全等的特點，只有③，沒有公共邊，所以③不符合條件，
答案是③；
（2）①如圖1，當，且是共邊全等時，
，
，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，
，
②如圖2，當，且是共邊全等時，
，
，，
，
又，
，
又，
，
，
設，則，
，
解得，
，，
，
綜上所述，或；
（3）聯立，解得，
，
令，得，
，
，
為中點，
，
，
由題可得，點只能在邊和上，
①在上時，如圖3，，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
為中點，
為中點，
又，
為中點，
，
②當在邊上，如圖4，，
，
如圖5，過作于，則，，
，
，
過作于，
，
設，則，
，
，
，
，
，
③當在邊上，在邊上時，如圖6，，
，，
過作于，
，，
，
，
設，
，
，
，
，
④當在上，在上時，，如圖7，
，
過，分別作得垂線，垂足分別為，，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
為中點，
為中點，
，
綜上所述，或或或．
【點評】此題是一道一次函數和三角形的綜合題，充分利用第一問的構圖是此題的突破口，當點所在的位置不確定時，要注意分類討論，同時，利用已知數據解三角形是解決此題的基本能力要求．
15．（2023?新北區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，點、點的坐標分別為、．經過、、三點的圓的圓心為，過點的直線與的公共點是、，與軸交于點，與軸交于點，連接、、．已知．
（1）的直徑為 ，點的坐標為 ；
（2）求直線所對應的函數表達式；
（3）若是線段上的動點，與的一個內角相等，求的長度．
【分析】（1）連接，求出，可得的直徑為，而為中點，知；
（2）連接，由，得，故，設，即，可解得；用待定系數法得直線所對應的函數表達式為；
（3）設，由，，可得，；分三種情況：①當時，連接，求出，，可得，故；
②當時，證明得，解得，可得；③當時，由，有，得，．
【解答】解：（1）連接，如圖：
，
為的直徑，
，，
，
的直徑為，
為中點，
；
故答案為：，；
（2）連接，如圖：
，
，
，
設，
，，
，
解得，
；
設直線所對應的函數表達式為，把，代入得：
，
解得，
直線所對應的函數表達式為；
（3）設，
，，
，
解得或，
，；
①當時，連接，如圖：
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當時，如圖：
，，
，
，，
，，
，，
，
，即，
；
；
③當時，如圖：
，
，
，即，
，
；
綜上所述，的長度為5或或10．
【點評】本題考查一次函數的綜合應用，涉及圓的性質及應用，待定系數法，相似三角形判定與性質，解題的關鍵是分類討論思想的應用．
16．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，以、為頂點作等邊，點在第二象限．
（1）求直線所對應的函數表達式．
（2）過點作一條直線交于點，交于點，且．
①求點的坐標與的度數；
②在軸上是否存在這樣的點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請直接寫出所以符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）過作于，求出，可得，，即得，，用待定系數法得直線解析式為；
（2）①過作交于，過作于，由，有，可得，證明是等邊三角形，即可得，從而可求得，，用待定系數法得直線解析式為，聯立即可解得，；故，，即可得；
②分兩種情況：當在軸下方時，過作于，設交軸于，由到的兩邊所在直線的距離相等，知是的角平分線，故，從而，是等腰直角三角形，有，，，而是等腰直角三角形，即可得；當在軸上方時，過作于，延長交軸于，同理可求得．
【解答】解：（1）過作于，如圖：
、，
，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，，
設直線解析式為，將，，代入得：
，
解得，
直線解析式為；
（2）①過作交于，過作于，如圖：
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，，
設直線解析式為，把，，代入得：
，
解得，
直線解析式為，
聯立，解得，
，；
，
，
，
，
，
；
點的坐標為，，的度數為；
②在軸上存在點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等，理由如下：
當在軸下方時，過作于，設交軸于，如圖：
到的兩邊所在直線的距離相等，
是的角平分線，
，
，
是等腰直角三角形，
點的坐標為，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
當在軸上方時，過作于，延長交軸于，如圖：
到的兩邊所在直線的距離相等，
是的角平分線，
，
，
是等腰直角三角形，
點的坐標為，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
綜上所述，的坐標為或．
【點評】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，三角形相似的判定與性質，等邊三角形，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形求出點的坐標．
17．（2023?海州區(qū)校級二模）問題提出：
（1）在學習幾何時，我們可以通過構造基本圖形，將幾何“模型“化．例如在三角形全等與三角形的相似的學習過程中，“”字形是非常重要的基本圖形．如圖1，已知：，、、三點共線，，由易證；
如圖2，已知：，、、三點共線，若、、，則的長為 ；
問題探究：
（2）①如圖3，已知：，，、、三點共線，求證：；
②如圖4，已知點，點在直線上，若，則此時點的坐標為 ；
問題拓展：
（3）如圖5，正方形中，點是邊上一點，，，垂足分別為、．若，四邊形的面積等于10，求正方形的面積．
（4）如圖6，正方形中，點、分別在、邊上，，連接、，則的最小值是 ．
【分析】（1）證，按比例求出，再利用勾股定理求出的長即可；
（2）①證，則，，然后等量代換得出結論即可；
②過點作軸于點，過點作軸于點，證，設出點坐標，根據比例關系求出點坐標即可；
（3）證，得，，根據四邊形的面積等于10，求出的長，再根據勾股定理求出的長，然后求正方形面積即可；
（4）設正方形的邊長為，，則，利用勾股定理分別求出和的值，然后利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
即，
，
，
故答案為：；
（2）①證明：，
，
，
又，
，
，，
，
；
②過點作軸于點，過點作軸于點，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
點在直線上，
設，
則，
解得，
，，
故答案為：，；
（3）正方形中，，，
，，，
，
，，
四邊形的面積等于10，
，
即，
，
解得或（舍去），
，
正方形的面積為；
（4）設正方形的邊長為，，則，
，，
，
令，則，
，
，
當時，有最大值，則有最小值，最小值為，
故答案為：．
【點評】本題主要考查一次函數，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強，熟練掌握一次函數，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．
18．（2023?金壇區(qū)一模）在平面直角坐標系中，對于點，記線段的中點為．若點，，，按逆時針方向排列構成菱形，其中，則把菱形稱為點的“菱形” ，把菱形邊上所有點都稱為點的“菱點”．已知點．
（1）在圖1中，用直尺和圓規(guī)作出點的“菱形” ，并直接寫出點的坐標（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若點是點的“菱點”，求的值；
（3）若一次函數的圖象上存在點的“菱點”，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）分別以，，為圓心，2為半徑作圓，即可確定，的位置，作出點的“菱形” ，求出到軸，軸的距離，結合可得點的坐標是，；
（2）分兩種情況：當點在邊上時，過點作軸，垂足為，由，可得是等腰直角三角形，即得；當點在邊上時，過點作軸，垂足為，可得，故；（3）設直線與軸交于，與軸交于，過作于，可得，①當最大時，與重合，此時，由，可求出最大為；②當直線在下方時，有，即可得，從而得到答案．
【解答】解：（1）作出點的“菱形” ，如圖：
，且，，
點的坐標是，；
（2）當點在邊上時，過點作軸，垂足為，如圖：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即；
當點在邊上時，過點作軸，垂足為，如圖：
則，
，
，
，即；
綜上所述，的值是或；
（3）設直線與軸交于，與軸交于，過作于，如圖：
在中，令得，令得，
，
，
①當最大時，與重合，此時，
，
，
，即最大為；
②當直線在下方時，如圖：
，
，即，
，
，
綜上所述，的取值范圍是．
【點評】本題考查一次函數綜合應用，涉及新定義，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是畫出圖形，應用數形結合思想解決問題．
19．（2022?吳中區(qū)模擬）探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過分離和構造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①
（1）請就圖①證明上述“模塊”的合理性．已知：，求證：；
（2）請直接利用上述“模塊”的結論解決下面兩個問題：
①如圖②，已知點，點在直線上運動，若，求此時點的坐標；
②如圖③，過點作軸與軸的平行線，交直線于點、，求點關于直線的對稱點的坐標．
【分析】（1）根據余角的性質就可以求出，再由，就可以得出結論；
（2）①作軸于點，軸于點，可以得出，可以得出，設點的坐標為，建立方程求出其解就可以得出結論；
②過點作的延長線于點，過點作的延長線于點，設，先可以求出、的坐標，進而可以求出，，，，，．再由條件可以求出，利用相似三角形的性質建立方程組求出其解就可以得出結論．
【解答】（1）證明：，
．
，
，
．
，
；
（2）解：①作軸于點，軸于點
，
．
，
，．
點在直線上，
設點的坐標為，
，，
，
，
，
，；
②過點作的延長線于點，過點作的延長線于點，
，
點的縱坐標為1，點的橫坐標為，
，，
，，
，，
，．
設，
，，，，
由對稱可知：，
，
，
，
，
解得：
，．
【點評】本題是一道一次函數的綜合試題，考查了相似三角形的判定及性質的運用，軸對稱的性質的運用，方程組的運用，解答時靈活運用相似三角形的性質是關鍵．
20．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）閱讀并解答下列問題；在學習完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以下一個思考題：如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，，，，連接，，，求最小值．
【思考交流】小明：如圖2，先將點向右平移2個單位長度到點，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，將點向左平移2個單位長度得到點，連接．．此時的最小值等于．
小穎：如圖3，先將點向右平移2個單位長度到點，作點關于軸的對稱點，連接可以求解．
小亮：對稱和平移還可以有不同的組合．
【嘗試解決】在圖2中，的最小值是 7 ．
【靈活應用】如圖4，在平面直角坐標系中，已知點，，，，連接，，，則的最小值是 ，此時 ，并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出最小時的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系中，已知點，是一次函數圖象上一點，與軸垂直且（點在點右側），連接，，，直接寫出的最小值是 ，此時點的坐標是 ．
【分析】【嘗試解決】根據作圖痕跡分析出，小明的做法是先將點向右平移2個單位長度，再利用對稱的性質，兩點之間線段最短得到點的位置，進而得到點的位置．
【靈活應用】借助小明的思路，的長度一定，利用平移和對稱，轉化求其最小值．
【拓展提升】按照前面的思路的長度一定，利用平移，找到兩個固定點與在一條直線上運動的點，利用對稱求最小值．
【解答】解：【嘗試解決】由題意得，，
則，
故，
故答案為：7．
【靈活應用】先將點向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到，作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點就是點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，與直線的交點就是點，連接，，，此時最小，最小值即為，
作圖如下：
由作圖得，，且，
四邊形是平行四邊形，且，，，，
最小值為，此時為點的橫坐標2，
故答案為：；2；
【拓展提升】
先將點向右平移2個單位長度得到點，得到平行四邊形，，而中，為定值2，即求的最小值，由題意得：點在直線上，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，交直線的交點為點，點往左平移2個單位為點．如圖：
與直線垂直，
設直線解析式為，將代入得：，
直線解析式為，
解得，
，
是中點，設，
，解得，
設所在直線的解析式為，將、代入得：
得，解得，
，
點是直線與直線的交點，
解得，
，，
點是將點向左平移2個單位長度，
，，
此時，
故答案為；．
【點評】本題考查平移和對稱中的最短路徑問題，結合一次函數待定系數法，還涉及關于直線對稱點的求法，綜合性較強，對學生的作圖能力和計算能力要求較高，屬于壓軸題．
21．（2022?濱?？h校級三模）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖象的“好點”，例如，點是函數的圖象的“好點”．
（1）在函數①，②，③的圖象上，存在“好點”的函數是 ③ （填序號）．
（2）設函數與的圖象的“好點”分別為點、，過點作軸，垂足為．當為等腰三角形時，求的值；
（3）若將函數的圖象在直線下方的部分沿直線翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求的值．
【分析】（1）判斷與各個函數圖象是否有公共點即可；
（2）先得出的“好點”，從而得出的長，在上的點，使得，從而求得點坐標，將點坐標代入求得的值；
（3）折疊前的拋物線上有兩個“好點”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點”即可，即與折疊后拋物線只有一個公共點，從而求得折疊后的拋物線解析式，進一步求得結果．
【解答】解：（1），
，
①不是“好點”的函數，
，，
，
②不是“好點”的函數，
，
，
△，
方程組有解，
③是“好點”的函數，
故答案為：③；
（2），，
，
，
如圖，
當為等腰三角形時，或，
當時，
，
，
，
，，
當時，，
，
，
當時，，
，
，
當時，點，
，
，
綜上所述：或或；
（3）設翻折后的拋物線解析式為，
的圖象上有兩個“好點”： 和，
當上有一個“好點”時，
把代入得，
，
化簡整理得，
，
△，
，
，
由得，
，
，
．
當在上時，
此時，
或，
這時也有三個“好點”： ，，，
或0．
【點評】本題考查了結合一次函數，反比例函數及二次函數知識，考查了對“好點”的理解，等腰三角形知識，坐標系中線段的長，兩個圖象的交點與方程組之間的關系等知識，解決問題的關鍵是根據題意，轉化為學過的知識．
22．（2022?宜興市校級一模）如圖（1），在平面直角坐標系中，四邊形的頂點是坐標原點，點坐標，點在軸上，點在第二象限角平分線上，動點、同時從點出發(fā)，點以的速度沿勻速運動到終點；點沿運動到終點，點在線段、、上分別做勻速運動，速度分別為、、．設點運動的時間為，的面積為，已知與之間的部分函數關系如圖（2）中的曲線段、曲線段和線段所示．
（1） ， ；
（2）求曲線段的解析式；
（3）補全函數圖象（請標注必要的數據）；
（4）當點、在運動過程中是否存在這樣的，使得直線把四邊形的面積分成兩部分，若存在直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）觀察圖象可知，時，點運動到點位置，時，點運動到點位置．如圖1中，作軸于，于．利用圖中信息，求出點、坐標即可解決問題．
（2）如圖1中，當點在線段上時，作于，交于．由，可得，推出，可得，，可得．
（3）利用描點法即可解決問題；
（4）分兩種情形構建方程即可解決問題；
【解答】解：（1）觀察圖象可知，時，點運動到點位置，時，點運動到點位置．
如圖1中，作軸于，于．
由題意，
，
，
，，
，
在中，，
，
故答案為，．
（2）如圖1中，當點在線段上時，作于，交于．
，
，
，
，，
．
（3）時，，
點奧的結論，
，
當時，，
函數圖象如圖所示：
（4）如圖3中，由題意滿足條件的點在線段上，點在線段上．
四邊形的面積為48，
當四邊形的面積或26時，滿足條件，
則有：或，
解得或4（負根已經舍棄）．
或時，直線把四邊形的面積分成兩部分．
【點評】本題考查一次函數綜合題、三角形的面積、路程、速度、時間之間的關系等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

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