1．（4分）已知集合，集合，則 ．
2．（4分）函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為 ．
3．（4分）已知，如果，那么實數(shù)的值為 ．
4．（4分）已知某校高三年級共480名同學，其中男生一共288人，現(xiàn)在為了了解該年級學生對于該校95周年校慶活動安排的想法，按照性別進行分層隨機抽樣，需要抽取一個容量為40的樣本進行調(diào)查，則抽取的男生人數(shù)為 ．
5．（4分）已知圓柱的底面半徑為3，母線長為6，則該圓柱的表面積為 ．
6．（4分）展開式中的系數(shù)為 ．
7．（5分）已知函數(shù)，則 ．
8．（5分）已知角，為銳角，，，則的值為 ．
9．（5分）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，，若，則的最小值為 ．
10．（5分）某校需要選拔4名同學參與該校95周年校慶活動的引導工作，現(xiàn)在有3位高一同學、2位高二同學和1位高三同學報名參如，則每個年級都有同學被選中的概率為 ．
11．（5分）已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個不同的零點．則實數(shù)的范圍是 ．
12．（5分）已知，，，是1，2，，滿足下列性質(zhì)的一個排列，性質(zhì)：排列，，，中有且僅有一個，2，，，當時，滿足性質(zhì)的數(shù)列一共有 個．
二、選擇題（本大題共4小題，13-14題每題4分，15-16題每題5分，滿分18分）
13．（4分）已知，，則“，”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
14．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
15．（5分）已知，，點為動點，點為線段上的點且滿足，當取最小值時，△的外接圓的面積為
A．B．C．D．
16．（5分）中國結是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復雜奇妙的曲線．用數(shù)學的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對應著數(shù)學曲線中的雙紐線．在平面上，把到兩個定點，距離之積等于的動點軌跡稱為雙紐線，是曲線上的一個動點．則下列結論正確的個數(shù)是
①曲線關于原點對稱
②曲線上滿足的有且只有一個
③動點到定點，距離之和的最小值為
④若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為，，
A．1個B．2個C．3個D．4個
三、解答題
17．（14分）如圖，長方體中，，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
18．（14分）已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
19．（14分）某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設．
（1）當時，求停車場的面積（精確到0.1平方米）；
（2）寫出停車場面積關于的函數(shù)關系式，并求當為何值時，停車場面積取得最大值．
20．（18分）給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”，已知橢圓的兩個焦點分別是．
（1）若橢圓上一動點滿足，求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點，作直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，求點的坐標；
（3）已知，是否存在，，使橢圓的“伴隨圓”上的點到過兩點，的直線的最短距離．若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．
21．（18分）設函數(shù)，直線是曲線在點，處的切線．
（1）當時，求單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不經(jīng)過；
（3）當時，設點，，，，，，，，，為與軸的交點，與分別表示△和△的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？
參考答案
一、填空題（本大題共12小題，1-6題每題4分，7-12增每題5分，滿分54分）
1．（4分）已知集合，集合，則 ．
解：集合，集合，
則．
故答案為：．
2．（4分）函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為 ．
解：函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為．
故答案為：．
3．（4分）已知，如果，那么實數(shù)的值為 4 ．
解：因為，且，
所以．
故答案為：4．
4．（4分）已知某校高三年級共480名同學，其中男生一共288人，現(xiàn)在為了了解該年級學生對于該校95周年校慶活動安排的想法，按照性別進行分層隨機抽樣，需要抽取一個容量為40的樣本進行調(diào)查，則抽取的男生人數(shù)為 24 ．
解：某校高三年級共480名同學，其中男生一共288人，
需要抽取一個容量為40的樣本進行調(diào)查，
則抽取的男生人數(shù)為．
故答案為：24．
5．（4分）已知圓柱的底面半徑為3，母線長為6，則該圓柱的表面積為 ．
解：由題意得，，
圓柱的表面積，
代入解得，
故答案為：．
6．（4分）展開式中的系數(shù)為 15 ．
解：根據(jù)二項式展開．
故答案為：15．
7．（5分）已知函數(shù)，則 ．
解：函數(shù)，
則，
故，解得．
故答案為：．
8．（5分）已知角，為銳角，，，則的值為 ．
解：因為角、為銳角，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以．
故答案為：．
9．（5分）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，，若，則的最小值為 4 ．
解：因為定義在上的函數(shù)滿足，
所以，即函數(shù)的周期為6，
當時，，，
若（2），則，
，當且僅當時取等號．
故答案為：4．
10．（5分）某校需要選拔4名同學參與該校95周年校慶活動的引導工作，現(xiàn)在有3位高一同學、2位高二同學和1位高三同學報名參如，則每個年級都有同學被選中的概率為 ．
解：根據(jù)題意可分，①2位高一，1位高二，1位高三，此時共有種，
②1位高一，2位高二，1位高三，此時共有種，
而從6人中選擇4人所有的選擇方法有，
則每個年級都有同學被選中的概率為．
故答案為：．
11．（5分）已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個不同的零點．則實數(shù)的范圍是 ．
解：作函數(shù)的圖象如下，
是開口向上的二次函數(shù)，其零點個數(shù)最多為2個，
①若只有一個解，則函數(shù)最多只有4個零點，不合題意；
②若有兩個解，要使函數(shù)有6個零點，則需兩個零點滿足或，
若為，則，此時無解；
若為，則需，即，解得．
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
12．（5分）已知，，，是1，2，，滿足下列性質(zhì)的一個排列，性質(zhì)：排列，，，中有且僅有一個，2，，，當時，滿足性質(zhì)的數(shù)列一共有 26 個．
解：當時，1，2，3所有的排列有：，2，，，3，，，1，，，3，，，2，，，1，，其中滿足僅存在一個，2，，使得的排列有：，3，，，1，，，3，，，1，；
（3）；
當，由1，2，3，4構成的所有種排列中，符合性質(zhì)的排列有：，2，4，，，3，2，，，3，4，，，4，2，，，1，3，，，3，1，，，3，4，，，4，1，，，1，2，，，4，1，，，1，2，，故（4）；
同理可得：（5）．
故答案為：26．
二、選擇題（本大題共4小題，13-14題每題4分，15-16題每題5分，滿分18分）
13．（4分）已知，，則“，”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
解：已知，，則由，可得，則充分性成立；
由不能推出，，如，，滿足，但不滿足，，故必要性不成立，
則“，”是“”的充分不必要條件．
故選：．
14．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
解：，對應的點的坐標為，位于第一象限．
故選：．
15．（5分）已知，，點為動點，點為線段上的點且滿足，當取最小值時，△的外接圓的面積為
A．B．C．D．
解：以為坐標原點，所在的直線為軸，
過點垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，
則，又，
所以所在的直線為，
設，則，，
所以，
當時，最小，此時點，
因為，所以，
所以點的坐標為，
則，
設△外接圓的半徑為，
由正弦定理得，
所以，所以．
故選：．
16．（5分）中國結是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復雜奇妙的曲線．用數(shù)學的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對應著數(shù)學曲線中的雙紐線．在平面上，把到兩個定點，距離之積等于的動點軌跡稱為雙紐線，是曲線上的一個動點．則下列結論正確的個數(shù)是
①曲線關于原點對稱
②曲線上滿足的有且只有一個
③動點到定點，距離之和的最小值為
④若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為，，
A．1個B．2個C．3個D．4個
解：設，則根據(jù)雙紐線的定義有，
故，即曲線的軌跡方程為．
用替換方程中的，原方程不變，曲線關于原點中心對稱，故①正確；
若曲線上點滿足，則點在的垂直平分線，即軸上，故，
代入曲線方程得，解得，所以這樣的點僅有一個，故②正確；
，當且僅當時，等號成立，
，故③正確；
由題意知直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，
將代入曲線方程中，方程無非零解，則，解得或，
故④正確．
故選：．
三、解答題
17．（14分）如圖，長方體中，，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【解答】證明：（1）設交于，連，
為的中點，為的中點
又面，面
平面
解：（2）連交于點，連，
則，
又，，
平面，
即即為直線與平面所成角
，
（12分）
18．（14分）已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）因為，
所以當且時，，
兩式相減得當且時，，
又因為，所以，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以．
（2）由（1），所以，令，
則，
所以當且時，，
故且為減函數(shù)，
而，
又因為恒成立，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍為．
19．（14分）某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設．
（1）當時，求停車場的面積（精確到0.1平方米）；
（2）寫出停車場面積關于的函數(shù)關系式，并求當為何值時，停車場面積取得最大值．
解：（1）在中，，，
由正弦定理得，
，
則停車場面積（平方米），
（2）在中，，，
由正弦定理得，
，
則停車場的面積為，
，
因為，所以，
當，即時，停車場的面積最大．
20．（18分）給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”，已知橢圓的兩個焦點分別是．
（1）若橢圓上一動點滿足，求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點，作直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，求點的坐標；
（3）已知，是否存在，，使橢圓的“伴隨圓”上的點到過兩點，的直線的最短距離．若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）依題意，，，
，
橢圓的方程為：，
其“伴隨圓”的方程為：；
（2）設直線的方程為：，
聯(lián)立，消去整理得：
，
令△，
解得：，
直線截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，
，即，
，
解得：，，
，，
點的坐標為：；
（3）結論：存在、滿足題意．
理由如下：
過兩點、的直線的方程為：，
整理得：，
，
，即，
圓心到直線的距離，
當時，，但，故等式不能成立；
當時，，
，
，
又，
，
，
解得：或（舍，
，
綜上所述，存在、滿足題意．
21．（18分）設函數(shù)，直線是曲線在點，處的切線．
（1）當時，求單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不經(jīng)過；
（3）當時，設點，，，，，，，，，為與軸的交點，與分別表示△和△的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？
解：（1）當時，，定義域為，
，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）依題意，，切線的斜率為，
則切線的方程為，假設切線過原點，
將代入，得，即，
則，即，令，，
求導得，則在上單調(diào)遞增，
于是，函數(shù)在上無零點，即假設不成立，
切線不過．
（3）當時，，，，，，，
由（2）知，，
由，得，即，
即，整理得，
令，
求導得，
當或時，；當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)極大值，
極小值（4），
又，，
因此函數(shù)在上有兩個零點，
存在點使得且點有兩個．

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