TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188517218" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc188517219" 02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc188517220" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc188517221" 考點(diǎn)一 圓的相關(guān)概念
\l "_Tc188517222" 考點(diǎn)二 圓的基本性質(zhì)
\l "_Tc188517223" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc188517224" 命題點(diǎn) 圓的基本性質(zhì)
\l "_Tc188517225" ?題型01 圓的周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
\l "_Tc188517226" ?題型02 圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算
\l "_Tc188517227" ?題型03 利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解
\l "_Tc188517228" ?題型04 在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)
\l "_Tc188517229" ?題型05 垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用
\l "_Tc188517230" ?題型06 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc188517231" ?題型07 利用垂徑定理求取值范圍
\l "_Tc188517232" ?題型08 利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解
\l "_Tc188517233" ?題型09 利用弧，弦，圓心角的關(guān)系比較大小
\l "_Tc188517234" ?題型10 利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求最值
\l "_Tc188517235" ?題型11 利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明
\l "_Tc188517236" ?題型12 利用圓周角定理求解
\l "_Tc188517237" ?題型13 利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角度
\l "_Tc188517238" ?題型14 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題
\l "_Tc188517239" ?題型15 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題
\l "_Tc188517240" ?題型16 與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題
\l "_Tc188517241" ?題型17 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問(wèn)題
\l "_Tc188517242" ?題型18 圓的基本性質(zhì)與函數(shù)綜合
\l "_Tc188517243" ?題型19 與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距
\l "_Tc188517244" ?題型20 與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 圓的相關(guān)概念
1.圓的定義
圓的定義[動(dòng)態(tài)]:如圖，在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓，其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.
圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.
圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”.
確定圓的兩個(gè)條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大小），兩者缺一不可.
2.弦與直徑
弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.
3.弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧
?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)“”表示，以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的
劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如右圖中的.
等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.
4.同圓、等圓、同心圓
同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.
等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.
同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓
5.圓心角與圓周角
圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.
圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個(gè)不同的弓形.
扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，和半徑OA，OB組成的圖形是一個(gè)扇形，讀作“扇形AOB”.
1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此重物拉到A點(diǎn)后放開(kāi)，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（ ）

A．傾斜直線B．拋物線C．圓弧D．水平直線
2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在MO的延長(zhǎng)線及ON上取點(diǎn)A，B，使OA=OB；（3）連接AB，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO=35°，則∠AOC=（ ）

A．35°B．30°C．25°D．20°
3．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
4．（2022·青海·中考真題）如圖所示，A22,0，AB=32，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．32,0B．2,0C．?2,0D．?32,0
5．（2022·甘肅武威·中考真題）中國(guó)清朝末期的幾何作圖教科書(shū)《最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)》由國(guó)人自編（圖1），書(shū)中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：

(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫(xiě)出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小關(guān)系．
考點(diǎn)二 圓的基本性質(zhì)
1.圓的對(duì)稱(chēng)性
2.垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
3.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
4.圓周角定理及圓周角定理的推論
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=12圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
5.圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)定理
圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).
如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
如圖，∠1=∠2
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC=42°，則∠OED的度數(shù)是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（ ）
A．順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個(gè)矩形
B．平分弦的直徑垂直于弦
C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等
3．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長(zhǎng)為 寸．
4．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，將一個(gè)量角器與一把無(wú)刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量角器的外弧分別交于點(diǎn)A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為 ．

5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB=18°，則n= ．

\l "_Tc188350794" 04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 圓的基本性質(zhì)
?題型01 圓的周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
1．（2023·湖南·中考真題）毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫(xiě)道“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)大約為“八萬(wàn)里”．對(duì)宇宙千百年來(lái)的探索與追問(wèn)，是中華民族矢志不渝的航天夢(mèng)想．從古代詩(shī)人屈原發(fā)出的《天問(wèn)》，到如今我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問(wèn)一號(hào)”，太空探索無(wú)上境，偉大夢(mèng)想不止步．2021年5月15日，我國(guó)成功實(shí)現(xiàn)火星著陸．科學(xué)家已經(jīng)探明火星的半徑大約是地球半徑的12，若把經(jīng)過(guò)火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長(zhǎng)大約為 萬(wàn)里．
2．（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長(zhǎng)為 ．
3．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，一枚圓形古錢(qián)幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
QUOTE QUOTE QUOTE ?題型02 圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（ ）
A．4B．42C．5D．52
2．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
3．（2024·云南·中考真題）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36°，則∠D=（ ）
A．9°B．18°C．36°D．45°
4．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．22C．23D．4
?題型03 利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半徑；
(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥OC．（請(qǐng)用兩種證法解答）
2．（2024·重慶·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D、E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB=10,DE=8，則AF= _ ．DG= _ ．
3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF的長(zhǎng)．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ?題型04 在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)
1．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M2，3為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
2．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為4的圓被直線y?x=?2所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．14B．23C．214D．27
3．（2023·安徽淮北·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A6，0、B0，8，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于E、F，則線段EF的最大值為（ ）
A．3.6B．4.8C．32D．33
QUOTE ?題型05 垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用
1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓ACB上的點(diǎn)A，B，C，O均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下列要求完成作圖：要求一：僅用無(wú)刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作圖痕跡．
(1)在圖中作出弧BC的中點(diǎn)D．
(2)連結(jié)AC，作出∠BAC的角平分線．
(3)在AB上作出點(diǎn)P，使得AP=AC．
2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為⊙O與格線的交點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．
(1)畫(huà)出該圓的圓心O，并畫(huà)弦AD，使AD平分∠BAC；
(2)先將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，再在圓上畫(huà)點(diǎn)E，使AC=BE．
3．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)BM=4，BN=2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿(mǎn)足∠MPN=45°的△PMN中，求邊PM的長(zhǎng)的最大值．
QUOTE ?題型06 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
1．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測(cè)出AB=40 cm,CD=10 cm，則圓形工件的半徑為（ ）
A．50 cmB．35 cmC．25 cmD．20 cm
2．（2023·湖南·中考真題）問(wèn)題情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．
問(wèn)題設(shè)置：把筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車(chē)半徑為2米．當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM=30°，經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414，3≈1.732）

問(wèn)題解決：
(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；
(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）
3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫(huà)出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及AC、BD組成的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線l為對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，如圖2，他又畫(huà)出了AC所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC=66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)E在MN上．請(qǐng)你繼續(xù)完成MN長(zhǎng)的計(jì)算．
參考數(shù)據(jù)：sin66°≈910，cs66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cs33°≈1113，tan33°≈1320．
?題型07 利用垂徑定理求取值范圍
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5的⊙О中，弦AB、AC在圓心О的同側(cè)，AB=8，AC=6，則關(guān)于tan∠BAC的取值所在范圍正確的是（ ）
A．0.225≤tan∠BAC

相關(guān)試卷

第30講 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理(講義，2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型)-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及試題（含答案）：

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