一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求.
1. 某物體運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)是，已知時(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義直接求解即可.
【詳解】因?yàn)闀r(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度為，
所以，故B正確.
故選：B
2. 下面導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和法則計(jì)算、逐一判斷即可．
【詳解】解 ，故A正確；
故B正確；
故C正確，
故D錯(cuò)誤.
故選：
3. 一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類(lèi)讀物7本，政治類(lèi)讀物8本，英語(yǔ)類(lèi)讀物9本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（ ）
A. 3種B. 24種C. 48種D. 504種
【正確答案】B
分析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】從書(shū)架上取一本書(shū)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的取法共有種．
故選：B
4. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用函數(shù)的函數(shù)的圖象，可判斷函數(shù)的單增區(qū)間與單減區(qū)間，可得結(jié)論.
【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，可排除AC；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，可排除B；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，D均符合，故D正確.
故選：D.
5. 已知，則（ ）
A. 0B. 2C. 1D.
【正確答案】B
【分析】先對(duì)函數(shù)，再將代入即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，?
故選：B
6. 函數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得解.
【詳解】，
令，則，令，則，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
所以.
故選：C.
7. 若函數(shù)在處取得極大值10，則的值為
A. B. C. 或D. 不存在
【正確答案】A
【分析】
由在處取得極大值10，得，然后列出關(guān)于的方程組，解方程組求出的值.
【詳解】解：由，得，
因?yàn)樵谔幦〉脴O大值10，
所以，
所以，解得 或
（1）當(dāng)時(shí)，，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，不合題意，
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，得或，同（1）可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，
所以，
故選：A
此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和極值點(diǎn)，由題意得極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，結(jié)合定義域，即可得答案.
【詳解】由題意得，
令，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，
所以在處取得極小值，
所以，解得，
又為定義域的一個(gè)子區(qū)間，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
9. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】令，則，
由題意知當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
所以，
所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
則不等式的解集為.
故選：D.
第II卷（非選擇題 共105分）
二、填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分
10. 從甲、乙、丙、丁四位家長(zhǎng)中選三人對(duì)某小學(xué)附近的三個(gè)路口維護(hù)交通，每個(gè)路口安排一人，則不同的安排方法有__________種.
【正確答案】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可，第一步從四個(gè)不同元素中選三個(gè)元素，第二步對(duì)所選元素進(jìn)行排列.
詳解】首先從四位家長(zhǎng)中選三人有種方法，
然后將選出的三位家長(zhǎng)分別安排到三個(gè)路口有種方法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的安排方法數(shù)為種.
故
11. 函數(shù)的極值點(diǎn)為_(kāi)_______.
【正確答案】
【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和不同區(qū)間上的正負(fù)，確定極值點(diǎn).
【詳解】確定定義域：由于包含 函數(shù)定義域?yàn)?，
求導(dǎo)得：
在內(nèi) ,單調(diào)遞減；在內(nèi) f'(x)>0,單調(diào)遞增.
是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒(méi)有其它極值點(diǎn).
故答案為.
12. 已知函數(shù)，則______________________.
【正確答案】##0.5
【分析】求導(dǎo)，即可代入求解.
【詳解】，
故，故，
故
13. 過(guò)點(diǎn)的函數(shù)圖象的切線(xiàn)斜率為_(kāi)_____.
【正確答案】-1
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，解出切線(xiàn)斜率，由點(diǎn)和算出斜率，這兩個(gè)斜率相等解出即可.
【詳解】解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
函數(shù)解析式為:


又點(diǎn)和在切線(xiàn)上
解得,所以斜率為:
故答案為:.
14. 若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，則的取值范圍為_(kāi)_______.
【正確答案】
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合給定區(qū)間及函數(shù)的最小值，即可確定的取值范圍.
【詳解】由題可知，
令，即，解得或，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又有，，
故要使在區(qū)間上的最小值為，則.
故
15. 已知不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是_____
【正確答案】
【分析】解法一：設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得，令，則可得，然后證明不等式恒成立即可；解法二：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解法一：設(shè)，當(dāng)，，
當(dāng)，，所以在上遞減，在上遞增，
所以，故.
①一方面，在條件中，令，即得.
假設(shè)，則，從而，矛盾.
所以一定有.
②另一方面，若，
首先有，
以及.
將兩個(gè)不等式相加，就得到，
從而.
由于，故，
所以對(duì)任意，有.
而對(duì)任意的，顯然也有，
所以，從而時(shí)條件一定滿(mǎn)足.
綜合①②兩個(gè)方面，可知的取值范圍是.
解法二：不等式在區(qū)間上恒成立，等價(jià)于
在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，則，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
所以，即的取值范圍是.
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用指對(duì)同構(gòu)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
三、解答題：本題共5個(gè)小題，共75分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
16. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
（1）
（2）
（3）
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式結(jié)合兩函數(shù)和的求導(dǎo)法則求解即可.
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)原函數(shù)變形，再利用兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則求解即可.
（3）利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>則由兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則知.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?
17. 已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間.
（2）求在區(qū)間的最值.
【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）,
【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最大值和最小值即可．
試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?
由得 ，由.
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)由(1)知當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為，
又
18. 已知函數(shù)．
（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【正確答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）求出、代入直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案；
（2）分、、討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
若，則，
，所以，
，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
即；
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得，或，
由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由得，或，
由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
19. 已知函數(shù)，，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)a的值
（2）求的單調(diào)區(qū)間
（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)斜率，從而求解a的值；
（2）結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求最值即可求出a的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>所以，又直線(xiàn)的斜率為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得.（本問(wèn)也可直接把點(diǎn)代入直線(xiàn)方程直接求解）
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，則恒成立，
所以恒成立，
記，則，令，得，
令，得，令，得，
列表如下：
所以函數(shù)的極大值也是最大值為，
由恒成立得，
所以.
20. 已知函數(shù)，.
（1）若時(shí)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)，求的值；
（2）令.
①若，討論在的最大值；
②若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的最小值.
【正確答案】（1）；（2）①，②.
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)，可得，即可求出的值，代入，可求得，即可得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入，即可求得b的值；
（2）①由題意得可得的解析式，令，解得，分別討論當(dāng)、、三種情況的正負(fù)，可得的單調(diào)性，即可求得在的最大值；
②由①可得的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，構(gòu)造不等式組，分析計(jì)算，即可得結(jié)果.
【詳解】（1），，則，設(shè)切點(diǎn)，
所以，解得，
所以，即切點(diǎn)，
又切點(diǎn)P在切線(xiàn)上，代入解得，
（2），
①由，可得，
所以，，
令，解得，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以；
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，可得，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，可得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，
綜上.
②由①可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，即，
所以，
所以；
當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以或，即或，
所以或
所以，
設(shè)，，，恒成立，
所以在（1,2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，
所以在（1,2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以；
當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，即，
所以，
所以，
綜上的最小值為.
解題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，討論的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)，求最大值，還需比較的大小，計(jì)算難度偏大，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬難題.
0
0
單調(diào)遞增
極大值4
單調(diào)遞減
極小值0
單調(diào)遞增
↗
↘

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