第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、單項(xiàng)選擇題（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）
1. 在等差數(shù)列中，已知，則等于
A. 7B. 10C. 13D. 19
【正確答案】C
【詳解】試題分析：根據(jù)可得，解得，所以；
考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；
2. 數(shù)列的前項(xiàng)和，則( )
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用求出通項(xiàng)，再驗(yàn)證是否符合，確定出通項(xiàng).
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和
所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
所以綜上
本題考查由求，利用，驗(yàn)證是否符合，屬于簡(jiǎn)單題.
3. 如圖，在楊輝三角中，斜線的上方從1按箭頭的方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，記其前項(xiàng)和為，則（ ）
（參考公式）
A. 4927B. 4957C. 4967D. 5127
【正確答案】B
【分析】根據(jù)鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，的規(guī)律，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，滿足，是等差數(shù)列，用通項(xiàng)公式求得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，滿足，即，用累加法求得，然后用分組求和法求解.
【詳解】由鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，可知：
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，所以，，…，，
將上述各式兩邊分別相加可得，
而滿足該式，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以，
．
故選：B
本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，還考查了分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
4. 已知數(shù)列滿足，，則的最小值為( )
A. B. C. 10D. 21
【正確答案】B
【分析】由所給表達(dá)式，結(jié)合累加法可求得的通項(xiàng)公式；進(jìn)而求得的表達(dá)式，因?yàn)閚取正整數(shù)，因而注意不能用基本不等式求最小值，需結(jié)合打勾函數(shù)，利用最低點(diǎn)附近的n求的最小值．
【詳解】因?yàn)椋杂蛇f推公式可得

等式兩邊分別相加，得

因?yàn)?br>所以
即，n∈N*
根據(jù)打勾函數(shù)圖象可知，當(dāng)n=5時(shí)，
當(dāng)n=6時(shí)，
因?yàn)?br>所以的最小值為
所以選B
本題考查了數(shù)列累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，基本不等式使用的條件及打勾函數(shù)的用法，屬于中檔題．
5. 設(shè)公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】
由，直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.
【詳解】因，
所以，
所以，
即，
解得，
故選：B.
6. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和我，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A. B.
C. D. 和均為的最大值
【正確答案】C
【詳解】試題分析：，，故，所以，選C.
考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本性質(zhì)．
【思路點(diǎn)晴】等差數(shù)列的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列. 已知求是一種非常常見(jiàn)的題型，這些題都是由與前項(xiàng)和的關(guān)系來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，注意：當(dāng)時(shí)，若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．
7. 數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的絕對(duì)值之和為
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，由此可得；根據(jù)的正負(fù)可確定前項(xiàng)的絕對(duì)值之和為，利用等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，
令，解得：，
.
故選：B.
8. 數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先根據(jù)，且，得到，再利用累加法求得，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>所以，，
所以，
，
所以，
所以，
，
，
故選：B
方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法
(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．
(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．
(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.
(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
二、多項(xiàng)選擇題（共4個(gè)小題，部分選對(duì)得2分，全部選對(duì)得5分，共20分）
9. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，把S4和a5用a1和d表示出來(lái)，建立方程組，解出a1和d，即可求得an和Sn，即可選出正確答案．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾4＝0，a5＝5，
所以根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式得，
解方程組得，，
所以，．
故選：AC．
10. 已知公差為的等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出公差d，再逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.
【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，B正確；
于是得公差，A正確；
，則，C不正確；，D正確.
故選：ABD
11. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 若，數(shù)列的前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，則等差數(shù)列的公差
B. 若，，則使成立的最大的n為4039
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】BC
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式與二次函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可判斷A；
根據(jù)選項(xiàng)信息可求得，利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式與一元二次不等式的解法可判斷B；
利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式可得，進(jìn)而求出即可判斷C；
根據(jù)成等差數(shù)列求出，即可判斷D.
【詳解】A：由，得，則是關(guān)于的二次函數(shù)，
對(duì)稱(chēng)軸為，又?jǐn)?shù)列前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，
所以，解得，故A錯(cuò)誤；
B：由，得，即，
整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符題意；
所以，由，得，由，
得，所以的最大值為4039，故B正確；
C：，解得，
又，
故C正確；
D：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即成等差數(shù)列，
所以，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 兩位大學(xué)畢業(yè)生甲?乙同時(shí)開(kāi)始工作．甲第1個(gè)月工資為4000元，以后每月增加100元．乙第一個(gè)月工資為4500元，以后每月增加50元，則（ ）
A. 第5個(gè)月甲月工資低于乙
B. 甲與乙在第11個(gè)月時(shí)月工資相等
C. 甲?乙前11個(gè)月的工資總收入相等
D. 甲比乙前11個(gè)月工資總收入要低
【正確答案】ABD
【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，逐一驗(yàn)證即可出答案.
【詳解】本題考查等差數(shù)列．設(shè)甲各月工資組成數(shù)列，乙各月工資組成數(shù)列，易知因?yàn)?，所以選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)正確；因?yàn)榧浊?1個(gè)月工資總收入為元，乙前11個(gè)月工資總收入為元，所以選項(xiàng)不正確，選項(xiàng)正確．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題（共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.
【正確答案】
【分析】令，得出的值；令，由求出，再檢驗(yàn)是否滿足在時(shí)的通項(xiàng)公式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
不適合，因此，.
故答案為.
本題考查由求，一般利用公式來(lái)求解，同時(shí)也要對(duì)的值是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
14. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則= .
【正確答案】16
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：也成等差，
所以成等差，即，
因此,故答案為16.
考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)
15. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則該數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)分別為_(kāi)_____．
【正確答案】11，7
【分析】設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，表示出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，解得n=3，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，
，
，
∴，解得n=3，∴項(xiàng)數(shù)2n+1=7，
又因?yàn)?，所以，所以中間項(xiàng)為11．
故11，7.
16. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，把中的各項(xiàng)按照一定的順序排列成如圖所示的三角形數(shù)陣：
1
3 5
7 9 11
……
（）數(shù)陣中第行所有項(xiàng)的和為_(kāi)_______________；
（）在數(shù)陣中第行的第列，則________________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】（1）寫(xiě)出數(shù)陣中第行所有項(xiàng)，求和即可；
（2）分析可得為數(shù)列中的第項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)陣中的規(guī)律確定、的值，即可求得結(jié)果.
【詳解】（）第行的個(gè)數(shù)依次為：、、、、，其和為；
（）令，得 ，故是數(shù)列中的第項(xiàng)．
又?jǐn)?shù)陣的前行共有個(gè)數(shù)，前行共有 個(gè)數(shù)，
故數(shù)列的第 項(xiàng)在第行，即，
又，故是第行的第個(gè)數(shù)，即．
故．
故（1）；（2）.
四、解答題（共6個(gè)小題，共70分）
17. 已知是遞增的等差數(shù)列，，，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求和的值.
【正確答案】（1）；（2），．
【分析】（1）求得數(shù)列的公差后可得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得出，從而易得．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公差為，則由得，
數(shù)列遞增，則，故解得．
；
（2）由（1）得，
，．
18. 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和，且a1=1，S3=6．
（1）求公差d的值；
（2）Sn＜3an，求所有滿足條件的n的值．
【正確答案】（1）d=1（2）0＜n＜5
【詳解】解：（1）∵a1=1，S3=6．∴3×1+d=6，解得d=1．
（2）∵Sn＜3an，∴n+＜3（1+n﹣1），解得0＜n＜5，
∴n=1，2，3，4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
19. 已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）若bnan﹣30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【正確答案】（1）an＝4n﹣2.（2）n2﹣30n.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由S6＝72可求，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a3+a4，進(jìn)而可求公差d，從而可求通項(xiàng)
（2）由（1）可知，2n﹣31，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
∵S672，
∴24，
∴a3+a4＝24，
∵a3＝10，
∴a4＝14，d＝4，
∴an＝a3+4（n﹣3）＝4n﹣2.
（2）∵2n﹣31，
∴Tn＝2（1+2+3+…+n）﹣31n＝n（n+1）﹣31n＝n2﹣30n.
本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題
20. 已知等差數(shù)列．
（1）若，求；
（2）若，求．
【正確答案】（1）5；（2）24.
【分析】
（1）由題求出首項(xiàng)和公差即可計(jì)算；
（2）由結(jié)合求和公式可求出.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
，
，解得，
．
（2），，
．
21. 數(shù)列滿足，
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若求數(shù)列的前999項(xiàng)的和.
【正確答案】(1)見(jiàn)解析.
(2)
【分析】（1）作差，將代入，只要差為同一常數(shù)即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）∵=6，由（1）可得，則數(shù)列的前999項(xiàng)的和易求.
【詳解】（1）證明：(n≥2).
∴數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）∵=6，由（Ⅰ）知
∴數(shù)列的前999項(xiàng)和
22. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，.
（1）求公差的取值范圍；
（2）指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
【正確答案】（1）；（2）最大.
【分析】（1）由，，列方程組得 ，求解即可;
（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，得、，又，即數(shù)列為遞減數(shù)列，即可得解.
【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，
由，，可得 ，即 ，，
故公差的取值范圍為；
（2）因?yàn)椋?，所以?
因?yàn)椋?，所以，由上可得?br>又，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
故中最大.
本題考查了等差數(shù)列基本量的求法及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.

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