一、單選題（本大題共8小題）
1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3＝15，且＝，則a2＝（ ）
A．2B．
C．3D．
2．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，則（ ）
A．1B．2C．4D．
3．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若{an}是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（ ）.
A．B．1C．D．2
4．已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
5．?dāng)?shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
6．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．（0，1）D．
8．設(shè)直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．與均為的最大值
10．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則
D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列
11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在處取得極大值
B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
C．
D．若在(0,+∞)上恒成立，則
12．已知等比數(shù)列首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，函數(shù)，若，則（ ）
A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B．
C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D．使得成立的的最大值為6
三、填空題（本大題共4小題）
13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則 .
14．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍．設(shè)第三個(gè)音的頻率為，第七個(gè)音的頻率為，則 ．
15．已知是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則 .
16．已知函數(shù)在R數(shù)上單調(diào)遞增，且，則的最小值為
，的最小值為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，________．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n和．
18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．已知函數(shù)()．
（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
20．已知數(shù)列滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證.
21．設(shè)函數(shù)
（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.
（2）討論在上的單調(diào)性；
（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.
22．已知函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性.
（2）是否存在，對任意，總存在，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】∵
∵＝，即，則
∵a1a2a3＝15，
∴＝，
∴a2＝3.
故選：C.
2．【正確答案】C
【詳解】由題意，函數(shù)，且數(shù)列滿足，
所以，，
，，
，，
所以數(shù)列的周期為4，所以.
故選：C.
3．【正確答案】B
由已知數(shù)列的特點(diǎn)依次求出，，，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進(jìn)而可求出答案
【詳解】由題設(shè)可知，斐波那契數(shù)列{an}為：
其特點(diǎn)為：前兩個(gè)數(shù)為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可知：
，
，
，
，
，
則
.
故選：B.
4．【正確答案】C
先求出的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法可求，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)t的最小值.
【詳解】時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，
兩式相減得到，故時(shí)不適合此式，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以；所以t的最小值；
故選：C.
5．【正確答案】C
【詳解】由題知：設(shè)，
則，
所以.
又因?yàn)椋?br>所以，，，，，
即，解得.
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，?
故選：C
6．【正確答案】A
【詳解】，
∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，
∴區(qū)間上存在 ，
滿足
∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，
令，
則，
解得
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:A．
7．【正確答案】B
【詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為與曲線相切的切點(diǎn)為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有
即為令則，
當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，
故選:B
8．【正確答案】A
【詳解】由題意得，，則．
設(shè)函數(shù)，，則，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
又，，所以的值域?yàn)?，故的取值范圍是?br>故選：A.
9．【正確答案】BD
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意知，
：由得，由得，
所以，又，所以，故錯誤；
：由得，故正確；
：因?yàn)槭歉黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，
有
所以，
所以，故錯誤；
：，
則與均為的最大值，故正確.
故選：
10．【正確答案】AC
令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.
【詳解】令，則，因?yàn)椋詾榈炔顢?shù)列且公差，故A正確；
由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，
故，故C正確；
由，因?yàn)?，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.
故選：AC.
1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；
2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進(jìn)行判定；
3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.
11．【正確答案】ACD
【詳解】對于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，，令可得，
令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取得極大值，故選項(xiàng)A正確
對于選項(xiàng)B：令，可得，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C：顯然，在單調(diào)遞減，
可得，因?yàn)椋?br>即，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，
令則 ，因?yàn)?br>易知當(dāng)時(shí).，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，所以，
所以在上恒成立，則，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
12．【正確答案】BCD
【分析】
令，利用可得，，B正確；由可得A錯誤；由可得C正確；由，，可推出，可得D正確.
【詳解】
令，則，
，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，，，B正確；
，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯誤；
，是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；
，，，
時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，，又，，所以使得成立的的最大值為6，D正確.
故選：BCD
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.
13．【正確答案】1189
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
由，可得
所以，
所以
，
故1189
14．【正確答案】
【詳解】將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識可求得結(jié)果.
【詳解】由題知：一個(gè)八度13個(gè)音，且相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，
可以將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項(xiàng)，且，
最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，
，，
，
．
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求解是解題關(guān)鍵.
15．【正確答案】
由題意得，，消去，可得，化簡得，得，則有
【詳解】由題設(shè)可知：
由是，的等差中項(xiàng)，則①，
是，的等比中項(xiàng)，則②，
則有①②可知：③，
，，
則將③式變形得：，
即，
則.
故答案為.
16．【正確答案】；
【分析】
根據(jù)條件分析出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析出的最小值.將待求式子變形為關(guān)于的式子，利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性求解出的最小值.
【詳解】
解：因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，則，
所以，所以，又因?yàn)?，所以，則，
又因?yàn)椋?br>令函數(shù)，在恒成立，
在上單調(diào)遞減，
所以，所以的最小值為，取等號時(shí)，
所以，又因?yàn)?，取等號時(shí)，
且函數(shù)，，
在上遞增，所以，
所以的最小值為，取等號時(shí)；
故 ；.
易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求解最值時(shí)，一定要注意取等號的條件是否能滿足，若不滿足則無法直接使用基本不等式，轉(zhuǎn)而利用對勾函數(shù)單調(diào)性分析更方便.
17．【正確答案】任選三條件之一，都有（1）；（2）．
【詳解】選條件①時(shí)，
（1）時(shí)，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
設(shè)，其前項(xiàng)和為，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
選條件②時(shí)，
（1）由于，所以①，當(dāng)時(shí)，②，
①②得：，
，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
設(shè)，其前項(xiàng)和為，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
選條件③時(shí)，
由于， ①
②
①②時(shí)，，整理得（常數(shù)），
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
所以.
（2）由（1）得：，
設(shè)，其前項(xiàng)和為，
所以①，
②，
①②得：，
故，
所以.
18．【正確答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.，，，分別利用“ ”法和“ ”法求解.
（2）由（1）知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，然后分別利用裂項(xiàng)相消法和錯位相減法求和，然后相加即可.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
因?yàn)?，?br>所以，
解得d=1.
所以的通項(xiàng)公式為.
由，
又q≠0，得，
解得q=2，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
對任意的正整數(shù)n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，分組求和、裂項(xiàng)相消法和錯位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難題.
19．【正確答案】（1）；（2）證明見解析．
（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號零點(diǎn)，再參變分離后得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構(gòu)造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
等同于，
即水平直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(不是的切線)，
令，的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
則為的極大值，也為最大值，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，且為正數(shù)，
則的圖像如圖所示，則此時(shí)；
（2）證明：令()，則只需證明當(dāng)時(shí)恒成立即可，
則，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，，，
則，則在時(shí)單調(diào)遞增，
又，
∴時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的突破口.
20．【正確答案】（1）；（2）證明見解析.
（1）由題可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，所以，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用對數(shù)列進(jìn)行放縮 ，化簡求出答案.
【詳解】（1），所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，所以
（2）證明：
21．【正確答案】（1）.（2）答案見解析.（3），證明見解析
【詳解】（1）由于函數(shù)在上遞增，在上遞減，
由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，所以，
∵，
故，
此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；
（2）∵，
∴，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)，即或時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減.
③當(dāng)且時(shí)，由 得.
令得；
令得.
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；
當(dāng)或時(shí)，在上遞減；
當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.
（3）令，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故在處取得最小值為，
又當(dāng)，
所以函數(shù)大致圖象為：
由圖象知.
不妨設(shè)，則有，
要證，只需證即可，
令，
則
在上單調(diào)遞增，
故
即，
，
.
22．【正確答案】（1）答案見解析；（2）存在，.
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對a進(jìn)行分類討論，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對a進(jìn)行分類討論，分為，，三種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而進(jìn)行分析求解即可.
【詳解】（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，對任意，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）存在滿足條件的實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)的值為，
理由如下：
①當(dāng)，且時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞減，
則時(shí)，，
則，
所以此時(shí)不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，對任意，
，
所以此時(shí)不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，令（），
由（1）知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而知在上單調(diào)遞減，
所以，，
若對任意的，總存在，使得，
則，，即，
所以，解得，
綜上，存在滿足題意的實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)的值為.

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2024-2025學(xué)年江西省贛州市高二上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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江西省贛州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試卷

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2023-2024學(xué)年江西省贛州市大余縣部分學(xué)校聯(lián)考高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

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