本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分
第I卷（選擇題共58分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確選項）
1. 已知變量與之間的一組數(shù)據(jù)如表：
若與的線性回歸方程為，則的值為（ ）
A. 60B. 70C. 100D. 110
【正確答案】C
【分析】首先求出，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點，即可求出，再由平均數(shù)公式計算可得.
【詳解】因為，又與的線性回歸方程為，
所以，即，解得.
故選：C.
2. 如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，為與的交點，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可得到答案.
【詳解】因為為與的交點，
則
故選：C.
3. 已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】結(jié)合焦距定義與漸近線方程定義計算即可得.
【詳解】由題意可得，解得（負值舍去），
則該雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
4. 某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（ ）
A. 0.24B. 0.36C. 0.5D. 0.52
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.
【詳解】設(shè) “第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，
根據(jù)題意得，，，
由全概率公式，得
，
因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.
故選：C.
5. 在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區(qū)著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（ ）
A. 420種B. 360種C. 540種D. 300種
【正確答案】A
【分析】先分類，再分步進行.先分顏色種類為3,4,5，再分步計算.
【詳解】選用三種顏色時，必須1,5同色，2，4同色，此時有種；
選用四種顏色時，必須1,5同色或2，4同色，此時有種；
選用五種顏色時，有種，
所以一共有種，
故選：A.
6. 已知樣本9，，10，，11的平均數(shù)是10，標準差是2，則的值為（ ）
A. 96B. 97C. 91D. 87
【正確答案】C
【分析】由平均數(shù)得，由標準差得，聯(lián)立可得.
【詳解】依題意得，則①.
，則②.
由①②得，所以.
故選：C.
7. 已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由題意可得，可知當OP最小時，最大，結(jié)合點到直線的距離公式運算求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為1，
則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，
因，且，
當OP最小時，則最大，可得最大，即最大，
又因為OP的最小值即為圓心到直線的距離為，
此時，所以取得最大值．
故選：C．
8. 如圖所示，在頂角為圓錐內(nèi)有一截面，在圓錐內(nèi)放半徑分別為1，4的兩個球與圓錐的側(cè)面、截切，兩個球分別與截切于E，F(xiàn)，則截面所表示的橢圓的離心率為（ ）
（注：在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點B，C，由相切的幾何性質(zhì)可知，，于是，為橢圓的幾何意義）

A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)兩球的球心分別為，設(shè)圓錐的頂點為S，取兩球與圓錐同一母線上的切點分別為G，H，連接，連接交于點K，則根據(jù)題意易得，，再由，可得，從而可得，從而可得，，再根據(jù)橢圓離心率的定義，即可求解．
【詳解】如圖，設(shè)兩球的球心分別為，

設(shè)圓錐的頂點為S，取兩球與圓錐同一母線上的切點分別為G，H，
連接，連接交于點K，
∵頂角為，，又兩球的半徑分別為1，4，
， ，，
，，
，
又，
∴，又，
∴，∴，
∴，
∴，
∴該橢圓的離心率為．
故選：C．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分）
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是7.5
B. 隨機變量，若，則
C 已知隨機事件，且，若，則事件相互獨立
D. 若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則
【正確答案】BCD
【分析】求出第80百分位數(shù)判斷A；利用二項分布的方差公式計算判斷B；利用條件概率化簡判斷C；利用正態(tài)分布對稱性求出概率判斷D.
【詳解】對于A，由，所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是8，A錯誤；
對于B，由，，得，解得，因此，B正確；
對于C，由，得，即，
則事件相互獨立，C正確；
對于D，由服從正態(tài)分布，，得，D正確.
故選：BCD
10. 如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（ ）
A. B. 的最小值為
C. 當時，AM與BC的夾角為D.
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)體積公式即可求解A，根據(jù)平面中兩點距離最小即可求解B，根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進而求解C，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解D.
【詳解】對于A,連接相交于，故
，，A錯誤；
對于B，因與均是邊長為1的正三角形，故可將沿翻折，
使其與共面，得到菱形，則，B正確；
對于C，由且,平面,
故平面，平面，，
若，平面,則平面，
故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；
對于D，，，
由于平面，故平面，
平面，故
（與的夾角為鈍角），D錯誤．
故選：BC.
11. 已知直線與雙曲線交于兩點，為雙曲線的右焦點，且，若的面積為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 雙曲線的離心率為B. 雙曲線的離心率為
C. 雙曲線的漸近線方程為D.
【正確答案】BCD
【分析】先根據(jù)對稱性及得到；進而得到以為直徑的圓過點，列方程組求出的關(guān)系；對于A、B，求出離心率即可判斷；對于C，求出漸近線方程即可判斷；對于D，由對稱性及題意求出的坐標，進而解出斜率即可判斷.
【詳解】
由題意知：，不妨取，由，
即，所以，
所以，所以以為直徑的圓過點，
所以圓的直徑，所以圓的方程為：，
設(shè)，連接，則四邊形為矩形，則，
則的面積為：，且，
聯(lián)立，解得，
再由，
所以離心率，故A錯誤，B正確；
對于C，雙曲線的漸近線方程為：，故選項C正確；
對于D，不妨設(shè)點在第一象限，由對稱性可知，
，代入中，得，
所以，由對稱性知：當，，
所以，故選項D正確.
故選：BCD.
關(guān)鍵點點睛：由圖象對稱性可知：點為雙曲線另一個焦點；由定義知，由題意解出關(guān)系，不妨設(shè)點在第一象限，且，進而求解出直線斜率即可判斷答案.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 直線的傾斜角的取值范圍是_________．
【正確答案】
【分析】借助傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)值域即可得.
【詳解】，故.
故答案為.
13. 若， 記，則的值為__________.
【正確答案】
【分析】利用賦值法，分別取和，代入運算即可.
【詳解】因為，
令，則；
令，則，
即，所以.
故答案為.
14. 一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數(shù)．當最大時，____________．
【正確答案】17.8##
【分析】首先分析超幾何分布最大項確定的值，再通過超幾何分布的期望公式求出的值，即可求出.
【詳解】不放回的摸球，每次實驗結(jié)果不獨立，為超幾何分布
，
最大時，即最大，
超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項
設(shè)
則
令
故當時，嚴格增加，
當時，嚴格下降，
即時取最大值，
此題中，
根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，
故17.8
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算）
15. 已知圓．
（1）求直線被圓截得弦長；
（2）已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出圓心和半徑，結(jié)合勾股定理可得答案；
（2）利用待定系數(shù)法和相切可求圓的方程.
【小問1詳解】
由可得，圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以直線被圓截得弦長為.
【小問2詳解】
設(shè)，
則，解得，；
因為圓與圓相切于原點，且圓過點，
所以，，
兩邊平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圓的方程為.
16. 在展開式中，若第3項的二項式系數(shù)為28，求：
（1）展開式中所有項的二項式系數(shù)之和；
（2）展開式中的有理項；
（3）展開式中系數(shù)最大的項．
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）利用給定的二項式系數(shù)求出，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得答案.
（2）求出二項式的展開式的通項，由的冪指數(shù)為有理數(shù)求解即得.
（3）由展開式通項的系數(shù)，列出不等式組并求解即得.
【小問1詳解】
依題意，，而，解得，
所以展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為.
【小問2詳解】
二項式展開式通項為，
當為整數(shù)時，為有理項，則，
因此當時，；當時，；當時，，
所以展開式中的有理項為．
【小問3詳解】
設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即，
整理得，解得，由，得或，
所以展開式中系數(shù)最大的項為．
17. 某學(xué)校組織游戲活動，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結(jié)果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．
（1）學(xué)生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；
（2）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機變量X的分布列與期望；
（3）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，期望為
（3）
【分析】（1）根據(jù)題意，甲乙同時摸到1分球或2分球，結(jié)合概率的乘法公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；
（3）記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎勵”，結(jié)合相互獨立事件的概率公式以及條件概率和全概率公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為，
若學(xué)生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，則甲乙同時摸到1分球或2分球，
所以兩人得分相等的概率為.
【小問2詳解】
解：由題意知，學(xué)生甲摸球2次的總得分的可能取值為，
可得，
所以隨機變量的分布列為：
所以，期望為.
【小問3詳解】
解：記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎勵”，
可得，
當甲的最終得分為9分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分，
則；
當甲最終得分為8分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分或9分，
則，
所以，
所以乙獲得獎勵的概率為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點，點在上，．
（1）證明：平面；
（2）若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）通過證明，即可證明平面；
（2）建立空間直角坐標系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.
【小問1詳解】
底面是菱形，，
平面，且平面，.
又，平面,平面，
平面，，又，且平面，，
平面，平面，，
，，即，又平面，
且，平面．
【小問2詳解】
以為原點，以為軸，為軸，過點且平行的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則
，
,,又,
在中由勾股定理得,
即,.
，，
，，平面，
與平面所成的角為，平面，
是平面的一個法向量，平面，平面，
平面平面，設(shè)，只需，則平面，
則，
令，則，
，.
19. 給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個公共點P，且l與的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線相切，公共點P稱為切點.定理：過拋物線上一點處的切線方程為.完成下述問題：如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)是拋物線上兩點.過點E，F(xiàn)分別作拋物線的兩條切線，，直線，交于點C，點A，B分別在線段，的延長線上，且滿足，其中.
（1）若點E，F(xiàn)的縱坐標分別為，，用，和p表示點C的坐標.
（2）證明：直線與拋物線相切；
（3）設(shè)直線與拋物線相切于點G，求.
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）
【分析】（1）分別寫出切線和切線的方程，聯(lián)立方程即可求出點C的坐標.
（2）設(shè)出切點坐標，根據(jù)切點坐標寫出切線的方程，從而求出點的坐標，根據(jù)點的坐標可求出的值，從而證明直線與拋物線相切.
（3）首先根據(jù)（2）結(jié)論求出， ；然后求和的值，再根據(jù)，，可得到，從而可求出答案.
【小問1詳解】
因為點E，F(xiàn)的縱坐標分別為，，所以，
所以在處的切線方程為，即，
同理在處的切線方程為，
兩式聯(lián)立，解得，
所以點C的坐標為.
【小問2詳解】
設(shè)為拋物線上的一點，則，
拋物線在點處的切線方程為，即，
由，得，由，得，
所以，
，，
所以，，
取，則點為點，為點,此時滿足，
所以直線與拋物線相切；
【小問3詳解】
因為，所以，所以根據(jù)（2）可知，，
所以，
所以，
而，
，
所以，
所以2
4
5
6
8
30
50
70
2
3
4

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