1.質(zhì)點M的運動方程為S=2t2?2 ，則在時間段[2,2+△t]內(nèi)的平均速度為( )
A. 8+2△tB. 4+2+△tC. 7+2+△tD. ?8+2+△t
2.已知雙曲線x24?y2m2=1的右焦點到其漸近線的距離等于 3，則該雙曲線的離心率等于( )
A. 12B. 32C. 2D. 72
3.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=1且an+1=2Sn+1，則a5=( )
A. 101B. 81C. 32D. 16
4.現(xiàn)有5人站成一排照相，其中甲、乙相鄰，且丙、丁不相鄰，這樣的排法有( )
A. 12種B. 24種C. 36種D. 48種
5.已知四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，點E是BC的中點，則點E到直線PD的距離是( )
A. 54B. 52C. 22D. 3 24
6.已知A(?2,0)，B(2,0)，動點P滿足|PA||PB|= 2，則點P的軌跡與圓x2+y2=8相交的弦長等于( )
A. 2 7B. 2 6C. 4 2D. 2 5
7.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=x2?m，?(x)=6lnx?4x，設(shè)兩曲線y=f(x)與y=?(x)在公共點處的切線相同，則m值等于( )
A. ?3B. 1C. 3D. 5
8.已知點P是曲線y2=4x上任意一點，過點P向y軸引垂線，垂足為H，點Q是曲線y=ex上任意一點，則|PH|+|PQ|的最小值為( )
A. 3+1B. 2+1C. 3?1D. 2?1
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,2,1)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 向量a與向量b的夾角為π3
B. c⊥(a?b)
C. 向量a在向量b上的投影向量為(12,0,12)
D. 向量c與向量a，b共面
10.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有( )
A. 如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
B. 如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種
C. 如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種
D. 如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種
11.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x22+y2=1的左、右焦點，不過原點O且斜率為1的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的有( )
A. 橢圓C的離心率為 22
B. 橢圓C的長軸長為2
C. 若點M是線段PQ的中點，則MO的斜率為?12
D. △OPQ的面積的最大值為 22
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是_________．
13.曲線y=ln(2x?1)上的點到直線2x?y+3=0的最短距離是______．
14.已知曲線y=a?xex存在過坐標原點的切線，則實數(shù)a的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx?3在x=1處取得極值，且在點(0,?3)處的切線與直線2x+y=0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x在區(qū)間[?1,2]上的最大值和最小值．
16.(本小題15分)
已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn(n∈N+)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5?2b2=a3．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若cn=2Sn,n為奇數(shù)2anbn,n為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中點．
(Ⅰ)求證：PA//平面EDB；
(Ⅱ)求平面EDB與平面PAD夾角的余弦值；
(Ⅲ)已知點F在棱PB上，且直線EF與平面EDB所成角的正弦值為2 23，求線段PF的長．
18.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=aex?x．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若a>0,?x∈(0,+∞),f(x)>e?xa?1x，求a的取值范圍．
19.(本小題17分)
已知圓F1：(x+1)2+y2=8，點F2(1,0)，點Q在圓F1上運動QF2的垂直平分線交QF1于點P．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點S(0,?13)的動直線l交曲線C于A、B兩點，證明：以AB為直徑的圓恒過y軸上的定點T，并求出T的坐標．
參考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.D
6.A
7.D
8.D
9.ABD
10.ABC
11.AC
12.(0,1)，(1,e)
13. 5
14.(?∞,?4]∪[0,+∞)
15.解：(1)由f(x)=ax2+bx?3，可得f′(x)=2ax+b，
所以由題意得f′(1)=0f′(0)=?2，即2a+b=0b=?2，解得a=1，b=?2，
所以f(x)=x2?2x?3．
(2)由題意可知g(x)=xf(x)+4x=x3?2x2+x，
所以g′(x)=3x2?4x+1=(3x?1)(x?1)，
令g′(x)=0，解得x1=13，x2=1，
列表有
由上可知g(x)在[?1,13]上單調(diào)遞增，在(13,1]上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，
又g(?1)=?4,g(13)=427，g(1)=0，g(2)=2，
所以g(x)最小值為?4，最大值為2．
16.解：(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}前n項和為Sn(n∈N+)，數(shù)列{bn}是以公比為q的等比數(shù)列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5?2b2=a3，
所以q+3+3+d=10 3+4d?2q=3+2d ，解得d=2 q=2 ；
故an=2n+1，bn=2n?1．
(2)由(1)得：cn=2Sn,n為奇數(shù)2anbn,n為偶數(shù)，整理得cn=2n(n+2),n為奇數(shù)(2n+1)?2n,n為偶數(shù)；
所以T2n=(1?13+13?15+...+12n?1?12n+1)+(5?22+9?24+...+(4n+1)?22n)，
令Mn=5?22+9?24+...+(4n+1)?22n，①；
4Mn=5?24+9?26+...+(4n+1)?22n+2，②；
①?②得：?3Mn=22+4×(22+24+...+22n)?(4n+1)?22n+2，
整理得Mn=(4n+1)?4n+13+49?4n+29，
故T2n=1?12n+1+(4n+1)?4n+13+49?4n+29，
整理得T2n=(4n+1)?4n+13+139?4n+29?12n+1．
17.(Ⅰ)證明：連接AC，交BD于O，連接OE，
∵底面ABCD為矩形，∴O為AC的中點，
又E是PC的中點，則OE//PA，
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD，
∴PA//平面EDB；
(Ⅱ)解：以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，
DB=(1,2,0)，DE=(0,1,1)，
設(shè)平面EDB的一個法向量為m=(x,y,z)，
則m?DB=x+2y=0m?DE=y+z=0，取y=?1，得m=(2,?1,1)，
平面PDC的一個法向量為n=(1,0,0)，
∴平面EDB與平面PDC夾角的余弦值為|m?n||m||n|=2 6= 63；
(Ⅲ)解：設(shè)PF=λPB，λ∈[0,1]，∵P(0,0,2)，B(1,2,0)，
∴PF=λPB=λ(1,2,?2)=(λ,2λ,?2λ)，
∴EF=DF?DE=DP+PF?DE=(0,0,2)+(λ,2λ,?2λ)?(0,1,1)=(λ,2λ?1,1?2λ)，
設(shè)直線EF與平面EDB所成的角為θ，
∴sinθ=|cs|=|EF?m||EF||m|=|2?2λ|| 6× λ2+(2λ?1)2+(1?2λ)2|=2 23，
化簡得33λ2?26λ+5=0，解得λ=13或λ=511，
∵PB=3，∴PF=1或1511．
18.解：(1)因為f(x)的定義域為R，
可得f′(x)=aex?1．
當a≤0時，f′(x)0時，
當x0，f(x)單調(diào)遞增，
綜上，當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞減；
當a>0時，f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減，在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增；
(2)若f(x)>e?xa?1x，
即aex?e?xa>x?1x，
設(shè)g(x)=x?1x，函數(shù)定義域為(0,+∞)，
此時g(aex)=aex?e?xa，
所以g(aex)>g(x)，
因為g′(x)=1+1x2>0，
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
則aex>x，
即a>xex．
設(shè)?(x)=xex，函數(shù)定義域為(0,+∞)，
可得?′(x)=1?xex，
當01時，?′(x)1e．
故a的取值范圍為(1e,+∞)．
19.
x
(?∞,13)
13
(13,1)
1
(1,+∞)
g′(x)
+
0
?
0
+
g(x)
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

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