?2020-2021學(xué)年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則　　
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）5人排成一行，其中甲、乙兩人相鄰的不同排法共有　　
A．24種 B．48種 C．72種 D．120種
3．（5分）的展開式中的系數(shù)為　　
A．10 B． C．5 D．
4．（5分）某鐵球在時(shí)，半徑為．當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為　?。▍⒖脊剑?br /> A．0 B． C． D．
5．（5分）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為　　
A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.4
6．（5分）正四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
7．（5分）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位．若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次，則回到原點(diǎn)的概率為　　

A．0 B． C． D．
8．（5分）已知函數(shù)，，若，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）隨機(jī)變量，則　　
A． B．
C． D．
10．（5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則

A．
B．
C．在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)
D．的圖象在點(diǎn)處的切線斜率小于0
11．（5分）把4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，則　　
A．不同的放法有64種
B．每個(gè)盒子放一個(gè)球的不同放法有24種
C．每個(gè)盒子放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)都不相同的不同放法有9種
D．恰有一個(gè)盒子不放球的不同放法有72種
12．（5分）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別滿足，，其中，，，，則　　
A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等
C．當(dāng)時(shí)，存在使得平面
D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）若，則　?。?br /> 14．（5分）已知，0，，，1，，，0，，若點(diǎn)，1，在平面內(nèi)，則　?。?br /> 15．（5分）由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有 　　個(gè)．（用數(shù)字作答）
16．（5分）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 　??；若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)在處有極值．
（1）求的解析式；
（2）求在，上的最值．
18．（12分）在國家政策扶持下，近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某公司為了解職工購買新能源汽車的意愿，隨機(jī)調(diào)查了30名職工，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

愿意
不愿意
合計(jì)
男性
15


女性

7
10
合計(jì)


30
（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為“該公司職工購買新能源汽車的意愿與性別有關(guān)”；
（2）為進(jìn)一步了解職工不愿意購買新能源汽車的原因，從不愿意購買新能源汽車的被調(diào)查職工中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少抽到2名女職工的概率．
附：，其中．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
19．（12分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．

20．（12分）為了解某地區(qū)未成年男性身高與體重的關(guān)系，對(duì)該地區(qū)12組不同身高（單位：的未成年男性體重的平均值（單位：，2，，數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖和一些統(tǒng)計(jì)量的值．







115
24.358
2.958
14300
6300
286
表中，2，，，．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷和哪一個(gè)適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值與身高的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）如果體重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)的一位未成年男性身高為，體重為，他的體重是否正常？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，．
21．（12分）一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黃球，從中隨機(jī)地摸4個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，表示樣本中黃球的比例．
（1）若有放回摸球，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）（ⅰ）分別就有放回摸球和不放回摸球，求與總體中黃球的比例之差的絕對(duì)值不超過0.2的概率．
（ⅱ）比較（?。┲兴蟾怕实拇笮?，說明其實(shí)際含義．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．

2020-2021學(xué)年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
所以，
所以．
故選：．
2．（5分）5人排成一行，其中甲、乙兩人相鄰的不同排法共有　　
A．24種 B．48種 C．72種 D．120種
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①將甲乙看成一個(gè)整體，有種順序，
②將甲乙整體與其他三人全排列，有種排法，
則有種不同的排法；
故選：．
3．（5分）的展開式中的系數(shù)為　　
A．10 B． C．5 D．
【解答】解：的展開式的通項(xiàng)為
令得，
所以展開式中的系數(shù)：．
故選：．
4．（5分）某鐵球在時(shí)，半徑為．當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為　?。▍⒖脊剑?br /> A．0 B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其體積，
其導(dǎo)數(shù)，
則，即在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為，
故選：．
5．（5分）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為　　
A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.4
【解答】解：設(shè)該校共有名同學(xué)，則約有的學(xué)生近視，的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)且玩手機(jī)超過1小時(shí)的學(xué)生中有的學(xué)生近視．
所以有的學(xué)生每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)且其中有的學(xué)生近視．
所以從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為．
故選：．
6．（5分）正四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【解答】解連接，取中點(diǎn)，連接，，
設(shè)正四面體中棱長(zhǎng)為2，
，分別是，的中點(diǎn)，
，是直線和夾角，
，，
，
直線和夾角的余弦值為：
．
故選：．

7．（5分）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位．若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次，則回到原點(diǎn)的概率為　　

A．0 B． C． D．
【解答】解：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)向左或向右，
設(shè)事件為“向右”，則為“向左”，
故，
設(shè)表示6次移動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)，
則，
質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的情況是質(zhì)點(diǎn)向右和向左各移動(dòng)3次，
故質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為．
故選：．
8．（5分）已知函數(shù)，，若，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
【解答】解：解法一，，
，
，
直線的斜率，
當(dāng)直線與函數(shù)的切線平行時(shí)，取得最小值，
設(shè)切點(diǎn)為，
令（a），則，則，
（e），即切點(diǎn)為，
函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程為，即，令，解得，
令，解得，
．
解法二，
，
，
，
設(shè)，，
求導(dǎo)可得，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
．
的最小值為．
故選：．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）隨機(jī)變量，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：隨機(jī)變量，
正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，即，故選項(xiàng)正確，
標(biāo)準(zhǔn)差為2，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
，
．故選項(xiàng)正確．
故選：．
10．（5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則

A．
B．
C．在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)
D．的圖象在點(diǎn)處的切線斜率小于0
【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間，，， 上均單調(diào)遞增，故，選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，故原函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，選項(xiàng)正確；
’ ，故的圖象在點(diǎn)處的切線斜率大于0，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
11．（5分）把4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，則　　
A．不同的放法有64種
B．每個(gè)盒子放一個(gè)球的不同放法有24種
C．每個(gè)盒子放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)都不相同的不同放法有9種
D．恰有一個(gè)盒子不放球的不同放法有72種
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，把4個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)小球有4種放法，則4個(gè)小球有中放法，錯(cuò)誤；
對(duì)于，若每個(gè)盒子放一個(gè)球，有種放法，正確；
對(duì)于，1號(hào)球可以放入2、3、4號(hào)盒子，有3種放法，剩下3個(gè)球有3種放法，則球的編號(hào)和盒子的編號(hào)都不相同的不同放法有種，正確；
對(duì)于，四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，說明恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，
從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，故共有種不同的放法，錯(cuò)誤；
故選：．
12．（5分）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別滿足，，其中，，，，則　　
A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等
C．當(dāng)時(shí)，存在使得平面
D．當(dāng)時(shí)，
【解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積等于，因?yàn)槊妫缘矫娴木嚯x為定值，可得三棱錐的體積為定值，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，到平面的距離相等，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不可能有，則不存在使得平面，故錯(cuò)；
對(duì)于，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，、，1，，設(shè)，則，，，，1，，
從而，1，，，，，
，，故正確；
故選：．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）若，則　2?。?br /> 【解答】解：，．
故答案為：2．
14．（5分）已知，0，，，1，，，0，，若點(diǎn)，1，在平面內(nèi)，則　?。?br /> 【解答】解：因?yàn)椋?，，，1，，，0，，
所以，1，，，0，，
又點(diǎn)，1，在平面內(nèi)，
所以，其中、；
由，，，
所以，
解得．
故答案為：．
15．（5分）由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有 　52　個(gè)．（用數(shù)字作答）
【解答】解：根據(jù)題意，若三位數(shù)是偶數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字必須是2、4或0，
則分2種情況討論：
1、三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2或4時(shí)，
個(gè)位數(shù)字有2種情況，0不能在百位，則百位有4種選法，十位數(shù)字也有4種選法，
則此時(shí)有種情況，
2、三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，
在1、2、3、4、5中任取2個(gè)數(shù)，安排在百位和十位，有種情況，
則一共可以組成個(gè)三位偶數(shù)；
故答案為：52．
16．（5分）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 　1??；若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　?。?br /> 【解答】解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增，，故是原函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．
故只有一個(gè)零點(diǎn)0．
再令，，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，恒有，且當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；
又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，取得最小值，
而在上單調(diào)遞增，同一坐標(biāo)系內(nèi)做出與的圖像：做出直線，與交于
，易知，當(dāng)時(shí)，方可保證取到最小值，此時(shí)時(shí)，，時(shí)，的下界大于．
故答案為：1，．

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)在處有極值．
（1）求的解析式；
（2）求在，上的最值．
【解答】解：（1）函數(shù)，
則，
因?yàn)樵谔幱袠O值，
所以，即，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意，
所以；
（2）因?yàn)?br /> 所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
又，，（2），（3），
所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值2，
當(dāng)時(shí)，取得最小值．
18．（12分）在國家政策扶持下，近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某公司為了解職工購買新能源汽車的意愿，隨機(jī)調(diào)查了30名職工，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

愿意
不愿意
合計(jì)
男性
15


女性

7
10
合計(jì)


30
（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為“該公司職工購買新能源汽車的意愿與性別有關(guān)”；
（2）為進(jìn)一步了解職工不愿意購買新能源汽車的原因，從不愿意購買新能源汽車的被調(diào)查職工中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少抽到2名女職工的概率．
附：，其中．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
【解答】解：（1）根據(jù)題意補(bǔ)充列聯(lián)表為：

愿意
不愿意
合計(jì)
男性
15
5
20
女性
3
7
10
合計(jì)
18
12
30
由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，
所以沒有的把握認(rèn)為“該公司職工購買新能源汽車的意愿與性別有關(guān)”；
（2）不愿意購買新能源汽車的被調(diào)查職工中男職工5人，女職工7人，
從這12人中隨機(jī)抽取3人，至少抽到2名女職工的概率為．
19．（12分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連，，因?yàn)槭钦切?，所以?br /> 又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> （2）連接，因?yàn)椋?br /> 在中，，
在正中，，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，?br /> ，、平面，所以平面，
所以，，兩兩相互垂直．如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，0，，，0，，，，，所以，1，，，0，，，0，，，，．
設(shè)平面的法向量為，，，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，，．
設(shè)平面的法向量為，，，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，，，
則．
所以二面角的余弦值為．

20．（12分）為了解某地區(qū)未成年男性身高與體重的關(guān)系，對(duì)該地區(qū)12組不同身高（單位：的未成年男性體重的平均值（單位：，2，，數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖和一些統(tǒng)計(jì)量的值．







115
24.358
2.958
14300
6300
286
表中，2，，，．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷和哪一個(gè)適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值與身高的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）如果體重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)的一位未成年男性身高為，體重為，他的體重是否正常？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，．
【解答】解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇模型更適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值與身高的回歸方程類型；
（2）對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得，即，
所以，
則，
所以；
（3）由，可得，
令，則，
又，
所以該男生偏胖．
21．（12分）一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黃球，從中隨機(jī)地摸4個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，表示樣本中黃球的比例．
（1）若有放回摸球，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）（?。┓謩e就有放回摸球和不放回摸球，求與總體中黃球的比例之差的絕對(duì)值不超過0.2的概率．
（ⅱ）比較（?。┲兴蟾怕实拇笮。f明其實(shí)際含義．
【解答】解：（1）有放回摸球，每次摸到黃球的概率為，且每次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，
服從二項(xiàng)分布，即，
的所有可能值為0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列為

0
1
2
3
4






．
（2）樣本中黃球的比例為，
由題意，解得，即取2，3，
有放回摸球時(shí)，概率，
不放回摸球時(shí)，概率．
由可知，，所以在誤差不超過0.2的限制下，用樣本中黃球比例估計(jì)總體黃球比例，采用不放回估計(jì)的結(jié)果更可靠些．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2），
令，定義域?yàn)?，因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一，，使得，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
其中，即，



所以在上恒成立．
綜上所述，的取值范圍為，．
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