1. 下列四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是無理數(shù)的概念，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，它的表現(xiàn)形式為：開方開不盡的數(shù)，與π有關(guān)的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．
根據(jù)無理數(shù)的定義，即可得出符合題意的選項(xiàng)．
【詳解】解：，，是有理數(shù)，是無理數(shù)，
故選：D．
2. 下列交通標(biāo)志中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形可得答案．
【詳解】解：A.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C. 不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D. 不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
3. 下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．
根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方和積的乘方進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：與不是同類項(xiàng)，無法合并，則A不符合題意；
，則B符合題意；
，則C不符合題意；
，則D不符合題意；
故選：B．
4. 為落實(shí)陽光體育活動(dòng)，學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉．已知某天五位同學(xué)體育鍛煉的時(shí)間分別為（單位：小時(shí)）：1，1.5，1.4，2，1.5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A. 1.5，1.5B. 1.4，1.5C. 1.48，1.5D. 1，2
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：1，1.4，1.5，1.5，2，
則中位數(shù)是1.5，
1.5出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)是1.5．
故選：A．
5. 如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)角線互相平分，對(duì)角相等等性
質(zhì)進(jìn)行判斷即可
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，故①③正確，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
又，，，
，
，，故②不正確，
，，
，
即，故④正確，
綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故選：C．
6. 不等式組的解集是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式組的解集為．
故選：D．
7. 如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作
弧，兩弧交于點(diǎn)，，過點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長為（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可證明，根據(jù)的周長，即可求出答案．
【詳解】解：由作圖知，垂直平分，
，
的周長，
，，
的周長，
故選：C．
8. 眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：．
故選：B．
9. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，
，，
，
，
在中，
，
由勾股定理，得，
，
，
，
，
故選：A．
10. 定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．
【詳解】解：由題意得，，
即，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．
故選：B．
11. 如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 44
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為 ， ，斜邊為 ，根據(jù)圖1，結(jié)合已知條件得到，，進(jìn)而求出的值，再用分割法求解即可.
【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為，，斜邊為，
圖1中大正方形的面積是24，
，
小正方形的面積是4，
，
，
圖2中最大的正方形的面積為；
故選：D．
12. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對(duì)稱軸的位置即可判斷①，利用對(duì)稱軸和特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.
【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，
；
對(duì)稱軸在軸右側(cè)，
、異號(hào)，
，
拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，
，
，故①錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
，
，
時(shí)，，
，
，
，故②正確；
③對(duì)稱軸為直線，，
最小值，
，
∴，
故③正確；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上所述，正確的有②③④，
故選：C
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將正確答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根據(jù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，綜合應(yīng)用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
故答案為：．
14. 已知方程的兩根分別為，，則的值為______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程的兩根分別為，，則，是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)根于系數(shù)的關(guān)系得到，，然后把化簡為然后﹢體代入即可．
【詳解】解：方程的兩根分別為，，
，，
．
故答案為：．
15. 如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為時(shí)，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為______米．
【答案】##
【解析】
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．
如圖，過點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長線于點(diǎn)，
則，
在中，，
設(shè)米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大樹的高度為米．
故答案為：．
16. 如圖，菱形的邊長為6，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長為______．
【答案】##
【解析】
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，代數(shù)求出，然后證明出，得到，求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：菱形的邊長為，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
17. 已知（且），，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，利用分式的運(yùn)算法則計(jì)算得到每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，分別為，，，進(jìn)一步即可求出．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，
，
．
故答案為：．
18. 如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連接．若，，則的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進(jìn)而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：延長，交于，
是的直徑，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共78分．請(qǐng)把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡絕對(duì)值、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪運(yùn)算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，即可獲得答案．
【詳解】解：
．
20. 解不等式：，把它的解集表示在數(shù)軸上．
【答案】，見解析
【解析】
【分析】本題考查求不等式的解集，并在數(shù)軸上表示解集，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化1，求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出解集即可.
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
其解集在數(shù)軸上表示如下：
21. 為響應(yīng)國家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開展高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田改造建設(shè)，調(diào)查統(tǒng)計(jì)了其中四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)（分別為型，型，型，型）一個(gè)月內(nèi)改造建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
改造農(nóng)田面積統(tǒng)計(jì)表
型號(hào)
畝數(shù)
16
20
12
利用圖中的信息，解決下列問題：
（1）①______；
②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為______．
（2）若這四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)共改造建設(shè)了960畝高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田，估計(jì)其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了多少畝？
（3）若從這四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)中隨機(jī)抽調(diào)兩臺(tái)挖掘機(jī)參加其它任務(wù)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的概率．
【答案】（1）①32，② （2）240畝
（3）
【解析】
【分析】本題考查的是統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角度數(shù)，用樣本估計(jì)總體，畫樹狀圖求概率．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
（1）利用型建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田的面積除以其所占比得到總數(shù)，再利用總數(shù)減去型，型，型的面積，即可得到型的建設(shè)面積， 利用乘以型建設(shè)面積所占比，即可解題；
（2）利用總數(shù)乘以型所占比，即可解題；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得到總的情況數(shù)，再得到抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的情況數(shù)，利用由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：①（畝），
；
②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為；
故答案為：32，；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：（畝），
答：估計(jì)其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了240畝；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖得：
共有12種等可能的結(jié)果，同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的有2中情況，
同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的概率為：．
22. 如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，，平分交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
【小問2詳解】
解：，，
，
，
，
，
，
連接，
平分，
，
，
，
是的直徑，
，
．
23. 眉山是“三蘇”故里，文化底蘊(yùn)深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用元購進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品和用元購進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)比款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)多元．
（1）求，兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）已知，文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為元，款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為元，根據(jù)市場需求，商店計(jì)劃再用不超過元的總費(fèi)用購進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共件進(jìn)行銷售，問：怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
【答案】（1）款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元；
（2）購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是元．
【解析】
【分析】（）設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解；
（）設(shè)購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤為，利用一次一次不等式求出的取值范圍，再根據(jù)題意求出與的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；
本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元，
根據(jù)題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程解，
∴
答：款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元；
【小問2詳解】
解：設(shè)購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤為，
根據(jù)題意得，，
解得，
又由題意得，，
，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，利潤最大，
∴購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，獲得的利潤最大，，
答：購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是元．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)在軸上，當(dāng)周長最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將直線向下平移個(gè)單位長度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為
（3）或
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱-最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)已知條件列方程求得，得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為，求得，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交y軸于P，則此時(shí)，的周長最小，根據(jù)軸對(duì)稱
的性質(zhì)得到，得到直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）將直線向下平移a個(gè)單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求得直線EF的解析式為，解方程得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，
，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，
此時(shí)，的周長最小，
點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問3詳解】
解：將直線向下平移個(gè)單位長度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
25. 綜合與實(shí)踐
問題提出：在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形的中心處，并繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．
操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分的面積為______；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，重疊部分的面積為______．
（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中與的關(guān)系為______．
類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點(diǎn)，小宇經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他進(jìn)行證明．
拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個(gè)直角三角板中角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交于點(diǎn)，斜邊交于點(diǎn)，且時(shí)，請(qǐng)求出重疊部分的面積．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）4；4；（2）；類比探究：見解析；拓展延伸：
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的概念等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線證明全等是解題的關(guān)鍵．
操作發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)圖形即可判斷重疊部分即為（對(duì)角線分成的四個(gè)三角形中的一個(gè)）求出面積即可；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，如圖，證明四邊形是正方形，求解面積即可；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．證明，從而證明，即可求得結(jié)論；
類比探究： 先證明，從而證明，即可證明結(jié)論；
拓展延伸：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．先證明，即可證明，，從而證明，根據(jù)，即可求得，由重疊部分的面積，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn)：（1）四邊形是正方形，
，
當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分面積為；
當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，如圖，
，
四邊形是矩形，
四邊形是正方形，
，，
，
，
四邊形是正方形，
，
四邊形的面積是4，
故答案為：4，4；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．
是正方形的中心，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：；
類比探究：
證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
拓展延伸：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．
同（2）可知四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重疊部分的面積
．
26. 如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)
的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為
（2）的坐標(biāo)為或
（3）的坐標(biāo)為或或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；
（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．
【小問1詳解】
解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：過作軸交于，如圖：
由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
的面積為3，
，即，
解得或，
的坐標(biāo)為或；
【小問3詳解】
解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直線解析式為，
設(shè)，，
過作軸于，過作軸于，
①，
當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：
此時(shí)；
②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
坐標(biāo)為；
③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐標(biāo)為；
④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．

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