溫馨提示：
1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)正確填寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)位置，待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息與自己的準(zhǔn)考證上的信息是否一致．
2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)位置規(guī)范填涂．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的框內(nèi)．超出答題區(qū)答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上作答無(wú)效．
3．不要折疊、弄破、弄皺答題卡．不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀等影響答題卡整潔．
4．考試結(jié)束后，將試卷及答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分．共40分）
1. 有理數(shù)2024相反數(shù)是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：有理數(shù)2024的相反數(shù)是，
故選：B．
2. 大米是我國(guó)居民最重要主食之一，與此同時(shí)，我國(guó)也是世界上最大的大米生產(chǎn)國(guó)，水稻產(chǎn)量常年穩(wěn)定在2億噸以上．將2億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：2億，
故選：B．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了完全平方公式，積的乘方計(jì)算，同底數(shù)冪除法計(jì)算，合并同類項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算正確，符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
4. 如圖，正方體的表面展開(kāi)圖上寫(xiě)有“我們熱愛(ài)中國(guó)”六個(gè)字，還原成正方體后“我”的對(duì)面的字是（ ）

A. 熱B. 愛(ài)C. 中D. 國(guó)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，正方體的平面展開(kāi)圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是中間必須間隔一個(gè)正方形，據(jù)此作答即可．
【詳解】解：正方體的平面展開(kāi)圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是中間必須間隔一個(gè)正方形，則與“我”字相對(duì)的字是“愛(ài)”，與“們”字相對(duì)的字是“中”，與“國(guó)”字相對(duì)的字是“熱”，
故選：B．
5. 小明在處理一組數(shù)據(jù)“12，12，28，35，■”時(shí)，不小心將其中一個(gè)數(shù)據(jù)污染了，只記得該數(shù)據(jù)在30~40之間．則“■”在范圍內(nèi)無(wú)論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)B. 眾數(shù)C. 中位數(shù)D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查數(shù)據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)方差的計(jì)算方法，根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得．
【詳解】解：依題意“■”該數(shù)據(jù)在30~40之間，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
∴“■”在范圍內(nèi)無(wú)論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
故選：C．
6. 當(dāng)光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了改變，這就是光的折射現(xiàn)象（如圖所示）．圖中，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)，即可求解．
【詳解】解：依題意，水面與容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故選：B．
7. 甲乙兩人各自加工120個(gè)零件，甲由于個(gè)人原因沒(méi)有和乙同時(shí)進(jìn)行，乙先加工30分鐘后，甲開(kāi)始加工．甲為了追趕上乙的進(jìn)度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時(shí)完成．求乙每小時(shí)加工零件多少個(gè)？設(shè)乙每小時(shí)加工個(gè)零件．可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)乙每小時(shí)加工個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工個(gè)零件，再根據(jù)時(shí)間工作總量工作效率結(jié)合甲的工作時(shí)間比乙的工作時(shí)間少30分鐘列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)乙每小時(shí)加工個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工個(gè)零件，
由題意得，
故選：D．
8. 如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，，其中點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出，解直角三角形求得的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)頂角相等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，
依題意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故選：B．
9. 拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱軸即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項(xiàng)，無(wú)條件判斷D選項(xiàng)，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為
依題意，
∵，拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)時(shí)，，即
∴，故A選項(xiàng)正確，符合題意；
若對(duì)稱軸為，即，
而，不能得出對(duì)稱軸直線，
故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，即，又
∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
無(wú)法判斷的符號(hào)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
10. 如圖，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)，分別在，邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，交于點(diǎn)，且始終滿足，則下列結(jié)論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（ ）

A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷②；在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，根據(jù)定弦定角得出在的上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)時(shí)，面積的最大，根據(jù)三角形的面積公式求解，即可判斷③，當(dāng)在上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴
∴
又∵
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∴
即
在中，
即
∵是等腰直角三角形，
∴平分
∴
∴
∴，
∴，故②正確，
如圖所示，

在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，且
∴，
∵
∴
∴在上運(yùn)動(dòng)，
∴，
連接交于點(diǎn)，則，
∴當(dāng)時(shí)，結(jié)合垂徑定理，最小，
∵是半徑不變
∴此時(shí)最大
則面積的最大，
∴
，故③正確；
如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求圓外一點(diǎn)到圓上的距離最值問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
第II卷（非選擇題 共110分）
二、填空題（每小題4分，共20分）
11. 分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】
【分析】先提取公因式3，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．
【詳解】3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
故答案為：3（x-3）2．
12. “四大名著”《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《三國(guó)演義》《西游記》是中國(guó)優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校七年級(jí)準(zhǔn)備從這四部名著中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本）開(kāi)展“名著共讀”活動(dòng)，則該年級(jí)的學(xué)生恰好抽取到《三國(guó)演義》和《西游記》的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率；畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：把《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《三國(guó)演義》《西游記》四本書(shū)分別記為A，B，C，D，根據(jù)題意，畫(huà)出如下的樹(shù)狀圖：
由樹(shù)狀圖可知看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．
兩本是《三國(guó)演義》和《西游記》的結(jié)果有2種，
所以P（兩本是《三國(guó)演義》和《西游記》）．
故答案為：．
13. 若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值為_(kāi)_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解分式方程得到，再根據(jù)分式方程無(wú)解得到，解方程即可得到答案．
【詳解】解：
去分母得：，
解得，
∵關(guān)于的方程無(wú)解，
∴原方程有增根，
∴，即，
∴，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則______度．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先分別對(duì)運(yùn)用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．
【詳解】解：如圖：
∵，，
∴設(shè)，，則，，
由三角形的外角的性質(zhì)得：，，
∴，
如圖：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案為：．
15. 如圖，在中，．點(diǎn)在線段上，．若，，則的面積是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理．過(guò)作于，設(shè)，則，利用列出等式即可．
【詳解】解：過(guò)作于，
，，，
是等腰直角三角形
設(shè)，則
解得（舍去）或
經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，
．
故答案為：．
三、解答題：解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（共90分）
16. （1）計(jì)算：；
（2）解不等式組
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組；
（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：（1）
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
17. 先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，?，1，2之中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．
【答案】，當(dāng)時(shí)，原式．
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，接著根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，最后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
∵分式要有意義，
∴，
∴且且，
∴當(dāng)時(shí)，原式．
18. 2024年4月21日，達(dá)州馬拉松暨“跑遍四川”達(dá)州站馬拉松賽鳴槍開(kāi)跑．本次賽事以“相約巴人故里，樂(lè)跑紅色達(dá)州”為主題．旨在增強(qiáng)全市民眾科學(xué)健身意識(shí)．推動(dòng)全民健身活動(dòng)，本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和歡樂(lè)跑三個(gè)項(xiàng)目賽后隨機(jī)抽樣了部分參賽選手對(duì)本次賽事組織進(jìn)行滿意度評(píng)分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：
請(qǐng)根據(jù)表中提供的信息．解答下列問(wèn)題：
（1）此次調(diào)查共抽取了______名選手，______，______；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是______度；
（3）賽后若在三個(gè)項(xiàng)目的冠軍中隨機(jī)抽取兩人訪談，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂(lè)跑冠軍的概率．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了列表法求概率，頻數(shù)分布表以及扇形統(tǒng)計(jì)圖；
（1）根據(jù)等級(jí)的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得的值；
（2）根據(jù)等級(jí)的占比乘以，即可求解；
（3）設(shè)三個(gè)項(xiàng)目的冠軍分別為，根據(jù)列表法求概率，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：依題意，名選手，，
∴
故答案為：，，．
【小問(wèn)2詳解】
扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是，
故答案為：．
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)三個(gè)項(xiàng)目的冠軍分別為，列表如下，
共有6種等可能結(jié)果，其中恰好抽到馬拉松和歡樂(lè)跑冠軍的有2種情形，
∴恰好抽到馬拉松和歡樂(lè)跑冠軍的概率為
19. 如圖，線段、相交于點(diǎn)．且，于點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)、連接、；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的字母）
（2）若，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（若前問(wèn)未完成，可畫(huà)草圖完成此問(wèn)）
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定：
（1）先根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作出點(diǎn)F，再連接、即可；
（2）先證明，得到，再證明，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
20. “三匯彩婷會(huì)”是達(dá)州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨(dú)有的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)、起源于漢代、融數(shù)學(xué)，力學(xué)，鍛造，綁扎，運(yùn)載于一體，如圖1，在一次展演活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學(xué)站在處．借助測(cè)角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點(diǎn)的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學(xué)在觀測(cè)點(diǎn)處借助無(wú)人機(jī)技術(shù)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得平行于水平線，中軸上的點(diǎn)的仰角，點(diǎn)、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學(xué)的眼睛到地面的距離米，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求中軸上的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，）

【答案】中軸上的長(zhǎng)度為米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求得的長(zhǎng)，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

依題意，四邊形是矩形，
∴，
∴
米
答：中軸上的長(zhǎng)度為米．
21. 如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)．且．求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型，也考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．
（1）用待定系數(shù)法先求反比例函數(shù)解析式，再求一次函數(shù)解析式即可；
（2）過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，設(shè)，先求得得到，即，得出等量關(guān)系解出即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：將代入得
將代入得
將和代入得
解得
故反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為和；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，
即
設(shè)，則，
解得（舍去）或
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
．
22. 為拓寬銷(xiāo)售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個(gè)品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價(jià)少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價(jià)共元．
（1）求、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為多少元？
（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷(xiāo)活動(dòng)中售出、兩種柑橘禮盒共盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過(guò)品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過(guò)元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷(xiāo)售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷(xiāo)活動(dòng)中的最大收益為多少元？
【答案】（1）、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元
（2）要使農(nóng)戶收益最大，銷(xiāo)售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為a元，b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，即可求解；
（2）設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意列出不等式組，得出，設(shè)收益為元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元，b元，根據(jù)題意得，
解得：
答：、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意得，
解得：
設(shè)收益為元，根據(jù)題意得，
∵
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為（元）
∴售出種柑橘禮盒（盒）
答：要使農(nóng)戶收益最大，銷(xiāo)售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元．
23. 如圖，是的直徑．四邊形內(nèi)接于．連接，且，以為邊作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，求的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，導(dǎo)角可證明，進(jìn)而得到，據(jù)此即可證明是的切線；
（2）延長(zhǎng)交于H，延長(zhǎng)交于G，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，證明，得到，接著證明，得到，進(jìn)一步證明，得到，設(shè)，則，，進(jìn)而得到，則，由勾股定理得到，，則，進(jìn)一步可得．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖所示，連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，延長(zhǎng)交于H，延長(zhǎng)交于G，連接，
∵是的直徑，
∴，即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求角的余弦值，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）或；
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
由，當(dāng)時(shí)，，則
∵，則，對(duì)稱軸為直線
設(shè)直線的解析式為，代入，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將代入得，
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：，
∴
綜上所述，或；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，，
∴
∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中
∴，
①當(dāng)時(shí)，，解得：或
②當(dāng)時(shí)，，解得：
③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）
綜上所述，或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖1．
（1）四邊形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化簡(jiǎn)整理得______．
【類比探究】
（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明邊長(zhǎng)與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理補(bǔ)充過(guò)程，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，，證明，
得，，，根據(jù)勾股定理得， ，繼而得出的值即可；
（3）由（2）可得得出，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據(jù)勾股定理以及已知條件，分別求得，根據(jù)得出，根據(jù)得出，進(jìn)而勾股定理，即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形是菱形，
，，．
．
又，，
．
化簡(jiǎn)整理得
故答案為：，，．
（），理由如下，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
，
∴
（）∵四邊形是平行四邊形，，，，
∴由（）可得
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，
∵分別為的中點(diǎn)，
∴
∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．等級(jí)
分?jǐn)?shù)段
頻數(shù)
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