1. 高二某班4名同學(xué)分別從3處不同風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（ ）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【正確答案】D
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.
【詳解】由題意知每位同學(xué)都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學(xué)選擇，
故共有種選擇方法.
故選：D.
2. 設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【正確答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.
【詳解】由依題意，知，
則.
故選：C.
3. 已知函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A B. C. D.
【正確答案】A
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.
詳解】由已知可得，，
則，
所以，.
故選：A.
4. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】求導(dǎo)，代入得切線斜率，利用點(diǎn)斜式，寫出切線方程.
【詳解】依題意，，
因?yàn)椋?br>所以，所以切線方程為，
即，
故選：D.
5. 一個(gè)口袋里裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中取3個(gè)球，則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有（ ）
A. 35種B. 32種C. 16種D. 14種
【正確答案】C
【分析】求出從裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋里取3個(gè)球的取法，求出其中全部為白球的取法即可求解.
【詳解】從裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋里取3個(gè)球有種取法，
其中全部為白球有種取法，
則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有種.
故選：C.
6. 某市的5個(gè)區(qū)縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（ ）
A. 24種B. 36種C. 48種D. 72種
【正確答案】D
【分析】先對(duì)A，B，C三個(gè)區(qū)域染色，再討論B，E是否同色
【詳解】當(dāng)B，E同色時(shí)，共有種不同的染色方案，
當(dāng)B，E不同色時(shí)，共有種不同的染色方案，
所以共有72種不同的染色方案.
故選：D
7. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)后結(jié)合已知可得在上單調(diào)遞減，再由可得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再利用為奇函數(shù)，可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>于是當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即.
又為上的奇函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又，
所以的解集為.
故選：A.
8. 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】D
【分析】先把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，
及時(shí)，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.

故選：D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9. 已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，極小值為.則（ ）
A.
B.
C. 有3個(gè)零點(diǎn)
D. 直線與的圖像僅有1個(gè)公共點(diǎn)
【正確答案】ACD
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極小值點(diǎn)以及極小值求參數(shù)，判斷AB，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的圖象，即可判斷CD.
【詳解】由題意得
則，解得，故A正確.
由，解得，故B錯(cuò)誤.
，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為，
畫出草圖，所以有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
直線與的圖像僅有1個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 可表示為
B. 若把英文“her”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種
C. 10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，一共握手45次
D. 學(xué)校有5個(gè)“市三好學(xué)生”名額，現(xiàn)分給3個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)名額，則有6種分法
【正確答案】BCD
【分析】利用排列數(shù)公式判斷A；利用排除法列式計(jì)算判斷B；利用組合計(jì)數(shù)判斷C；分類計(jì)算判斷D.
詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，四個(gè)字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有種，B正確；
對(duì)于C，10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，共有次，C正確；
對(duì)于D，5個(gè)名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.
故選：BCD
11. 已知函數(shù)（ ）
A. 若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
B. 若在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C. 當(dāng)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 若的單調(diào)遞減區(qū)間為，則.
【正確答案】AD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橛稍谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，得出，根據(jù)在區(qū)間上不單調(diào)，列出關(guān)于的不等式組
，求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)D，由的單調(diào)遞減區(qū)間為，可知是的一個(gè)根，即可求出.
【詳解】由函數(shù)可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù).
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分離出參數(shù)，可得在上恒成立.
又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上，
所以，故選項(xiàng)A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，
所以在上有解，即在上有解，
分離出參數(shù)，可得在上有解.
又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上，
所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，.
令，解得.
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
所以導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，
則，解得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，
所以是的一個(gè)根，即，
解得：，故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 求的值為__________.
【正確答案】18
【分析】利用排列數(shù)公式計(jì)算.
【詳解】
故18
13. 用“實(shí)”?“驗(yàn)”?“中”?“學(xué)”?“頂”?“呱”?“呱”這七個(gè)字可以組成__________種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）
【正確答案】
【分析】在這七個(gè)文字的排列中，由于有相同元素，需要優(yōu)先用組合來計(jì)數(shù)，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】由于這七個(gè)字中有兩個(gè)重復(fù)文字，故第一步優(yōu)先擺放，共有種；
第二步擺放剩下五個(gè)文字，共有種；
根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.
故答案為.
14. 過原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為______．
【正確答案】
【分析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，
由，則，則，
則，即，即，解得，所以，
所以原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．
故
本題主要考查了過點(diǎn)出的切線方程的求解，其中解答中熟記到導(dǎo)數(shù)點(diǎn)幾何意義，以及過點(diǎn)處的切線方程的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
四?解答題（本題共5小題，共77分）
15. 已知函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與極值；
（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．
【正確答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，極大值為，極小值為
（2）最大值為1，最小值為
【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，再利用函數(shù)的極值的定義，即可求解；
（2）根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，極值，區(qū)間端點(diǎn)值即可確定在區(qū)間上的最大值與最小值．
【小問1詳解】
，令，得或，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，
所以的極大值為，極小值為．
【小問2詳解】
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，，
所以在區(qū)間上的最大值為1，最小值為．
16. 求下列問題的排列數(shù)：
（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；
（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；
（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.
【正確答案】（1）720(種)
（2）1440(種) （3）1440(種)
【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行排列計(jì)算可得結(jié)果；
（2）利用插空法先排男生，再將女生插空排列計(jì)算可得結(jié)果；
（3）根據(jù)特殊元素排法將兩端排上男生再進(jìn)行全排列即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個(gè)元素，再和其余4名男生一起排列，
共有(種)不同的安排方法.
【小問2詳解】
根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進(jìn)行全排列，再將3名女生插在5個(gè)空位上，
共有(種)不同的排列方法.
【小問3詳解】
先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個(gè)位置上，
共有(種)不同的排列方法.
17. 由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．
（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？
（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？
【正確答案】（1）96 （2）60
（3）65
【分析】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個(gè)數(shù)字即可計(jì)算得解；
（2）選偶數(shù)先排個(gè)位數(shù)，分個(gè)位數(shù)字為0和個(gè)位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；
（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計(jì)算作答.
【小問1詳解】
先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個(gè)數(shù)位，有種排法，
再排四個(gè)非0數(shù)字有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，
所以能組成96個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；
【小問2詳解】
當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，
當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2或4時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，
即可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；
【小問3詳解】
計(jì)算比21034大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)分兩類：
萬位比2大的五位數(shù)個(gè)數(shù)是，
萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個(gè)，千位是1，百位比0大的有個(gè)，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個(gè)，
由分類加法計(jì)數(shù)原理得，
所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個(gè).
18. 設(shè)函數(shù)．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
【正確答案】（1）；
（2）存在，.
【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.
（2）利用導(dǎo)數(shù)按分類討論函數(shù)在上單調(diào)性，并求出最小值即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式?br>令，依題意，恒成立，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【小問2詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，解得，無解；
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，符合題意，
所以存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
【分析】（1）分和，兩種情況分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即得函數(shù)單調(diào)性；
（2）先化為恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最值，即可得參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?
因?yàn)?，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
若，即時(shí)，令，得；
令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
因?yàn)?，恒成立?br>所以，則，
令且，則，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
又，所以時(shí)，；時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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