一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 已知集合，，則( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求出結(jié)果.
【詳解】依題意，，又因為，
則.
故選：D.
2. 計算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求解.
【詳解】.
故選：D.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B. 是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)
C. 是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)D. 是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，然后利用單調(diào)性的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可求解.
【詳解】函數(shù)定義域R．又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在R上是減函數(shù).
故選：C.
4. 已知關(guān)于x函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】由題意，在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且對于恒成立，
則，解得.
故選：A.
5. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增的，設(shè)，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及特殊角的正切比較的大小，再利用函數(shù)的性質(zhì)比較即可.
【詳解】依題意，，
由函數(shù)是偶函數(shù)，得，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
所以的大小關(guān)系為.
故選：C.
6. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 是第二象限角的必要不充分條件是且
C. 函數(shù)的零點是
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)含有一個量詞的否定，判斷A；根據(jù)三角函數(shù)在各象限的正負，以及充分條件和必要條件的定義，判斷B；根據(jù)零點的定義判斷C；結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，判斷D.
【詳解】對于A，根據(jù)含有一個量詞的否定，命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；
對于B，當(dāng)且時，能推出是第二象限角，
反過來當(dāng)是第二象限角，也能推出且，
所以是第二象限角的充要條件是且，故B錯誤；
對于C，函數(shù)的零點滿足，即，所以零點是1，不是，故C錯誤；
對于D，函數(shù)結(jié)合對勾函數(shù)的圖象，可知單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確，
故選：D.
7. 已知函數(shù)（，且）圖象經(jīng)過定點，若正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出經(jīng)過的定點的坐標(biāo)，再利用基本不等式即可求解
【詳解】函數(shù)
令，可得，代入函數(shù)可得，所以定點的坐標(biāo)，
代入可得，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不同的實根，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)圖象可得，即，再由二次函數(shù)圖象關(guān)于對稱，可得，求得可得結(jié)果.
【詳解】由關(guān)于x的方程有4個不同的實根，得函數(shù)與圖象有4個交點；
作出函數(shù)與的圖象，如圖：

觀察圖象得，，
由，得，即，則，
而二次函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則，因此，
由，解得或，則，
所以.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的圖象，借助對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.
二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9. 已知、、、均為非零實數(shù)，則下列一定正確的有（ ）
A. B.
C. 若，則D. 若，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式可推出，由此可判斷A;
利用基本不等式可判斷B;舉例可判斷C；利用不等式的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】、、、均為非零實數(shù),則 ，故 ，即，故A正確；
由題意可知 ，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時取等號，故B正確；
若，比如a=1，b=-1，則不成立，故C錯誤；
若，，則若，，故，故D正確，
故選：ABD
10. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 最小正周期為B. 其圖象關(guān)于點對稱
C. 對稱軸方程為D. 單調(diào)增區(qū)間
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；
對于B選項，，B錯；
對于C選項，由，可得，
即函數(shù)的對稱軸方程為，C對；
對于D選項，由，解得，
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，D錯.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)的定義域為R，且的圖象關(guān)于直線對稱，，又，，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 的圖象關(guān)于點中心對稱
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用給定的對稱軸推理判斷A；求出的值判斷B；探討函數(shù)的周期，并賦值計算判斷CD.
【詳解】對于A，由的圖象關(guān)于直線對稱，得，
即，而函數(shù)的定義域為R，則，為偶函數(shù)，A正確；
對于B，由，得，即，解得，B錯誤；
由，得，
則，函數(shù)的周期為4，
由，得，
，函數(shù)的周期為4，
對于C，，C正確；
對于D，由，得，則，
由，得，，
，
所以，D正確.
故選：ACD
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，
①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.
②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
三、填空題：（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）
12. 若，則______ .
【答案】
【解析】
【分析】本題首先可對分式的分子分母同時除，然后借助公式以及即可得出結(jié)果．
【詳解】，故答案為．
【點睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查利用同角三角函數(shù)公式進行化簡求值，考查的公式有，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是簡單題．
13. 某種藥物作用在農(nóng)作物上的分解率為，與時間（小時）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中為非零常數(shù)），若經(jīng)過12小時該藥物的分解率為，經(jīng)過24小時該藥物的分解率為，那么這種藥物完全分解，至少需要經(jīng)過_____________小時（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】52
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立方程組，可求得，，即得，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，代值估算即得.
【詳解】經(jīng)過12小時該藥物的分解率為，經(jīng)過24小時該藥物的分解率為，
，解得，，則，
當(dāng)這種藥物完全分解，即時，得，得，
即，兩邊取對數(shù)得
.
故答案為：52.
14. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)法可求得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】對于，有，
所以，，即，
可得，解得，
所以，函數(shù)的定義域為，
令，，，
因為函數(shù)、都為增函數(shù)，故函數(shù)為增函數(shù)，
由得，
即函數(shù)在上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的增區(qū)間為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；
（2）討論和兩種情況，分別求滿足題意的取值范圍即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
∵，
因此，；
【小問2詳解】
∵．
①當(dāng)時，即，
∴，此時滿足題意；
②當(dāng)時．則或，
解得或．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
16. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，進而求出，再利用誘導(dǎo)公式求得值.
（2）由（1）的信息，利用齊次法求得值.
【小問1詳解】
由，
得，所以.
【小問2詳解】
.
17. 已知是函數(shù)的零點，.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)零點的定義代入求解即可；
（2）將原不等式化為，利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求解.
【小問1詳解】
是函數(shù)的零點，
，得；
【小問2詳解】
，，
則不等式在上恒成立，
等價為在上恒成立，
，，
上述不等式兩邊同時除以，得在上恒成立，
令，，則在恒成立，
所以，
令，，
的圖象開口方向向上，對稱軸為，
所以在單調(diào)遞減，所以，
則，即實數(shù)的取值范圍為.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義加以證明；
（3）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù) （2）增函數(shù),證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性的定義可得結(jié)論；
（2）在上為增函數(shù)，運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和下結(jié)論等步驟；
（3）由的奇偶性和單調(diào)性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范圍．
【小問1詳解】
由解得，
函數(shù)定義域為，
，
可得是定義域為的奇函數(shù)；
【小問2詳解】
函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明：設(shè)，，且，
，
由，可得，所以，
由，可得，,
所以，則，所以，
即，
所以在上為增函數(shù)；
【小問3詳解】
因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，
不等式化為，
因為在上為增函數(shù)，所以，
解得：或，
，解得：
，解得：,
綜上：實數(shù)的取值范圍
19. 若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱具有性質(zhì)．
（1）試判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；
（2）證明：函數(shù)具有性質(zhì)；
（3）若函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)取值范圍．
【答案】（1）不具有性質(zhì)
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義判斷即可；
（2）函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)的定義證明即可；
（3）由已知可得，令，則問題轉(zhuǎn)化為存在的根，計算求解即可得出解.
【小問1詳解】
假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，
則存在，使得，
即，即，顯然不成立，
假設(shè)不成立，即不具有性質(zhì)．
【小問2詳解】
證明：，
，，，
令，得，
即，即，
又函數(shù)的定義域為，，
函數(shù)具有性質(zhì)．
【小問3詳解】
函數(shù)的定義域為，且具有性質(zhì)，
，
即，
令，則，
，
，
解得或，
當(dāng)方程有一個正根時，即， 即，此時．
當(dāng)方程有兩個正根時，當(dāng)，即時，此時．
實數(shù)的取值范圍為

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