一、單選題（本大題共8小題）
1．若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．2C．D．
2．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變
B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變
C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變
D．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變
3．已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．8C．16D．32
4．已知拋物線，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的條數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．記雙曲余弦函數(shù)為，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．0B．1C．D．
6．已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
7．已知一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．5
8．兩個(gè)項(xiàng)數(shù)均為的數(shù)列和，稱它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)差的絕對(duì)值之和為數(shù)列與的“距離”.設(shè)是項(xiàng)數(shù)均為4且每項(xiàng)為0或1的個(gè)數(shù)列，它們中任意兩個(gè)數(shù)列的“距離”不小于2，則的最大值為（ ）
A．6B．8C．9D．10
二、多選題（本大題共3小題）
9．對(duì)于任意兩個(gè)非零向量和，下列命題中正確的是（ ）
A．B．
C．D．向量與向量垂直
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且不恒為，則（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．（為的導(dǎo)函數(shù)）
11．已知空間四邊形ABCD，下列條件中一定能推出的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為 .
13．已知，則 .
14．切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件的概率作出估計(jì).現(xiàn)拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，在次拋擲中，記成功次數(shù)為，為了至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)拋擲的次數(shù)的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足
(1)求角的大??；
(2)若中線的長(zhǎng)為，求面積的最大值.
16．某健身俱樂(lè)部研究會(huì)員每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)與體重減少量的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名會(huì)員的數(shù)據(jù)如下：
并計(jì)算得：
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫(huà)變量與變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果精確到 0.01 ）；
(3)該俱樂(lè)部推廣了一項(xiàng)激勵(lì)措施后，發(fā)現(xiàn)會(huì)員平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)增加2個(gè)小時(shí)，實(shí)際觀測(cè)到的平均體重減少量增加了0.8千克.請(qǐng)結(jié)合回歸分析結(jié)果，判斷該回歸模型是否具有參考價(jià)值，并給出合理的解釋.
(參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，. 參考值：)
17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形且.

(1)若平面，，求二面角的正弦值；
(2)若平面平面，求四棱錐體積的最大值.
18．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上不與頂點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，直線、分別交于另一點(diǎn)、.
(1)設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，求直線斜率的取值范圍；
②求證：；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)：直線與直線的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說(shuō)明理由.
19．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和. 求證：
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】設(shè)，由，則，
整理可得，
可得，解得，則，
所以.
故選：D
2．【答案】B
【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變.
故選：B
3．【答案】C
【詳解】由，得或，
解得或空集，
又，所以，
則集合A的子集個(gè)數(shù)為.
故選：C
4．【答案】C
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線外，顯然過(guò)可作兩條直線與相切，
過(guò)可作一條與的對(duì)稱軸（即軸）平行的直線，它與也只有一個(gè)公共點(diǎn).
所以滿足條件的直線有3條，
故選：C.
5．【答案】A
【詳解】，
令，
則，
所以，
所以的最小值為0，
故選：A.
6．【答案】B
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由依次成等差數(shù)列可得，即，
因，可得，解得或.
當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；
由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，
故有，因，且，化簡(jiǎn)得：，解得或，
當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，而，
故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.
綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B.
7．【答案】C
【詳解】如圖所示：
取的中點(diǎn)為，則，
設(shè)圓的半徑為，則，
設(shè)點(diǎn)，圓心，所以，
，時(shí)，，
所以的最小值為3.
故選：C
8．【答案】B
【詳解】因?yàn)閿?shù)列每項(xiàng)為0或1，前三項(xiàng)至多有種組合，
若，則中必有兩個(gè)數(shù)列前三項(xiàng)相同，不妨設(shè)該二者為，
則當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)也相同時(shí)，它倆的“距離”為0；
當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)相異時(shí)，它倆的“距離”為1，都不滿足題意，故不成立.
當(dāng)時(shí)，可構(gòu)造，，，，
，，，滿足題意；
還可構(gòu)造，，，，，
，，滿足題意（構(gòu)造不唯一），
故的最大值為8．
故選：B.
9．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，，所以A正確；
對(duì)于B，，
所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以C正確；
對(duì)于D，，這樣向量與垂直，所以D正確.
故選：ACD.
10．【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，令，，
又因?yàn)椴缓銥?，則，所以A正確；
對(duì)于B，令，可得，因此，所以B正確；
對(duì)于C，令，可得，所以；
又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù)，
又不恒為0，這樣不可能是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由B的推導(dǎo)過(guò)程知，
兩邊求導(dǎo)得
所以，故D正確.
故選：ABD
11．【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，舉反例：將一矩形ABCD沿對(duì)角線BD翻折，在翻折過(guò)程中，始終滿足
，但不一定成立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以?br>且平面，平面，平面，進(jìn)而，故B正確；
對(duì)于C，過(guò)A作平面，垂足為，連，
，又，平面，
所以平面，平面，進(jìn)而；
同理可證：，所以為△的垂心，
這樣，又，所以平面，平面，可得：，故C正確；
對(duì)于D，由條件知，則
∴， ，∴，即，所以D正確.
故選：BCD.
12．【答案】270
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，得，即，故含項(xiàng)的系數(shù)為270.
故答案為：270
13．【答案】
【詳解】因?yàn)?，即?br>所以.
故答案為：
14．【答案】400
【詳解】由題意知：成功次數(shù)，所以，，
要使，則，即：，
由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，
則，所以拋擲的次數(shù)的最小值為400.
故答案為：400.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
所以，
所以，
又因?yàn)?，所以，所以?
又因?yàn)椋裕?br>（2）因?yàn)闉橹芯€，所以，
所以，
所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，符合題意；即的最大值為.
16．【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)；
(3)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）由表可知：
所以= ,
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近1,
所以與的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）由題可知： =
，
所以
（3）由(2)可知：根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)，會(huì)員平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)增加2個(gè)小時(shí)，
預(yù)測(cè)平均體重減少量增加0.84千克，與實(shí)際增加值0.8千克較為接近，
因此實(shí)際結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致，說(shuō)明該回歸模型具有參考價(jià)值；
造成一定差異的原因可能是由于樣本數(shù)據(jù)過(guò)少，
或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，
比如睡眠，飲食、鍛煉強(qiáng)度以及效果等.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由題可知：
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
所以，令，則，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
所以，令，則，
所以
設(shè)二面角的平面角為，則
所以，即二面角的正弦值為
（2）

過(guò)點(diǎn)作直線， 過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，即?br>又因?yàn)椋謩e在平面、平面內(nèi)，
所以即為二面角的平面角
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?
又因?yàn)榍?，都在平面?nèi)，
所以平面，又在平面內(nèi)，
所以，
所以，
所以
又因?yàn)?，所?br>又因?yàn)椋侄荚谄矫鎯?nèi)，
所以平面
在直角三角形， 得：
又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）
所以
18．【答案】(1)①；②證明見(jiàn)解析；
(2)為定值.
【詳解】（1）（1）①直線交雙曲線于左右支上，
因?yàn)殡p曲線：的漸近線的斜率為，
所以直線斜率的取值范圍為.
②設(shè)，，由雙曲線方程知：，

，又
兩式相減得：
∴
由同理
，又
兩式相減得：
∴ .
可得：，所以.
（2）由（1）②知：且
可得
同理又因?yàn)?且
可得
所以直線的斜率
又直線的斜率，所以為定值.
19．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，極大值，無(wú)極小值；
(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
由，得；由，得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為0，無(wú)極小值.
（2）①用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（i）當(dāng)時(shí)，，，不等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立，
由函數(shù)在上遞增，得，
而，即成立，則當(dāng)時(shí)，不等式成立，
綜合（i）（ii）得：當(dāng)時(shí)，成立.
②令函數(shù)，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上遞減，，即成立，
由（i）知，當(dāng)時(shí)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)，成立.會(huì)員序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
鍛煉時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）
3
4
2
5
6
4
5
3
4
4
40
體重減少量（千克）
1.0
1.5
1.0
2.0
2.5
1.8
2.0
1.0
1.6
2.0
16.4

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