1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即求解.
【詳解】由題意，空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
所以,則，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將題中拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得解.
【詳解】由，可得，
所以準(zhǔn)線方程，
故選：C
3. 在等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可；
【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，
所以，
所以，
故選：B.
4. 若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題得，等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，解不等式組即得解.
【詳解】由題得，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，
所以函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，
所以，
解得．
故選：B
5. 設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若數(shù)列為等差數(shù)列，則的最小值是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫(xiě)出前3項(xiàng)，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求公差d，進(jìn)而得到關(guān)于n的表達(dá)式，利用基本不等式求其最小值.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，．
設(shè)公差為d，則，其前n項(xiàng)和為，
所以，，，．
因?yàn)閿?shù)列也為等差數(shù)列，所以，
所以，解得，故，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故選：D
6. 已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的下頂點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且滿足，則的離心率為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通過(guò)余弦定理得到與的關(guān)系，即可求出離心率.
【詳解】由題意得，，令，則
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故選：A.
二．多選題（本題共2小題，每小題9分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）．
7. 已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，直線過(guò)它的焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B.
C. 若，則
D. 若以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)題意得到，即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，分別對(duì)直線斜率存在和不存在進(jìn)行討論，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)焦點(diǎn)弦的公式即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，首先過(guò)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，再結(jié)合拋物線的概念即可判斷D正確.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，
所以，，故A正確.
對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
得：，所以.
故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：

過(guò)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，
因?yàn)椋?br>所以，
即：以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故D正確.
故選：ABD
8. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)，時(shí)，最小值為
B. 當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，的截面面積為
C. 當(dāng)，且時(shí)，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為
D. 當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積為
【答案】BD
【解析】
【分析】首先分別分析個(gè)各選項(xiàng)中M點(diǎn)所處的位置，即可依次結(jié)合圖形、求點(diǎn)面距離的向量法、錐體體積公式判斷各個(gè)選項(xiàng)正誤.
【詳解】以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
故，
對(duì)于選項(xiàng)A，由題，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，故在線段上，
沿將平面翻折使得平面與平面處于同一平面內(nèi)（如圖所示），
連接，易得，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由題，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，故為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，如圖所示，
則，又，所以，
所以平面即為過(guò)點(diǎn)，，的截面，
易知此截面等腰梯形，如圖所示，其高為，
故其面積為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)，
由上得，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，
則點(diǎn)到平面的距離為 ，
又，所以在平面以為半徑的圓上，
由等面積法可知正的內(nèi)切圓半徑為，
所以的軌跡為三段圓弧，其長(zhǎng)度一定小于圓的周長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由題，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，故在上，
故，故D正確.
故選：BD.
三. 填空題（本題共3小題，每小題8分，共24分）．
9. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則邊上的高所在直線的方程為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)與直線垂直可求得斜率，又過(guò)點(diǎn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，所?
則邊上的高所在直線的斜率為，
又該直線過(guò)點(diǎn)，
所以所求直線方程為，
即，
故答案為：.
10. 若在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，平面OMQ的一個(gè)法向量，則直線OP與平面OMQ所成角的大小為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用向量法求線面角的大小即可.
【詳解】由題設(shè)，且平面OMQ的一個(gè)法向量，
令直線OP與平面OMQ所成角為，
則，所以.
故答案為：
11. 若數(shù)列滿足，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合累乘法求解即可.
【詳解】因?yàn)棰伲?br>所以②，
②①得，，
所以有，
所以．
故答案為：.
四. 解答題（本題共3小題，共60分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．
12. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）將遞推公式左右兩邊同時(shí)除以，整理化簡(jiǎn)后即可由等比數(shù)列定義證明是等差數(shù)列，再結(jié)合其首項(xiàng)和公差，即可求得；
（2）根據(jù)（1）中所求，根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由，則，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由，
則，
所以，
所以.
13. 設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程.
（2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，是切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求切線方程即可；
（2）先對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值和區(qū)間的邊界值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋裕?br>則，
所以，切線方程為
即
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上大于零，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上小于零，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上小于零，在區(qū)間上大于零，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而.
當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知，當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).
14. 已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）借助點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得，再代入點(diǎn)計(jì)算即可得，即可得；
（2）分直線斜率不存在、斜率存在進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，借助韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
由點(diǎn)到直線的距離公式可知：
右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又雙曲線C過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以雙曲線C的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知：右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)，聯(lián)立
消去y得：，
所以，
設(shè)，則，
所以
．
則，解得，即，滿足；
所以直線的方程為 ，或．

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