本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁.時量120分鐘，滿分150分.
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系，以及交并補運算的定義，結(jié)合選項即可逐一求解.
【詳解】集合
，，故選項A錯誤；
顯然且，故選項B錯誤；
，故選項C正確；
，選項D錯誤.
故選：C
2. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】舉出反例即可判斷AD；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷B；利用作差法即可判斷C.
【詳解】對于A，，不妨取，則，
此時，故A錯誤；
對于B，，由不等式的可乘性得，故B錯誤；
對于C，由B知，即，故C正確；
對于D，不妨取，則，故D錯誤.
故選：C.
3. 已知隨機變量，且，則的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可得解.
【詳解】隨機變量，且，
.
故選：A
4. 已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（ ）
A. 66B. 72C. 132D. 198
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項公式求解.
【詳解】因為等差數(shù)列的公差,
所以，則 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 或12時，該數(shù)列的前項和取得最大值，
最大值為，
故選：A
5. 如圖所示是一個無蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺組成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積和體積公式求解即可.
【詳解】設(shè)圓柱和圓臺的高為，圓臺的母線為，則.
瓶子的側(cè)面積，解得.
瓶子的體積.
故選：A
6. 已知平面向量，，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量的平行和數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換及性質(zhì)，得到和的等價結(jié)果做出判斷.
【詳解】若，則有，即，
則，解得.
若，則有，即，
則或，
解得或，
顯然由可以推出，但由不一定能推出，
因此“”是“”的充分不必要條件.
故選：C
7. 函數(shù)的最大值為（ ）
A. B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：對函數(shù)求導(dǎo)得出其在上的單調(diào)性，即可求得其最大值；方法二：利用向量數(shù)量積的坐標表示以及向量不等式計算可得結(jié)果.
【詳解】方法一：由題可得函數(shù)的定義域為，
由解得，
可得當時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，；當時，；當時，；
.
方法二：令.
.
由，可得.
當且僅當與共線同向，即時取等號.
函數(shù)的最大值為.
故選：D
8. 如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 點第一次到達最高點需要20秒
B. 當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點距離水面1米
C. 當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點在水面下方，距離水面2米
D. 點距離水面的高度（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出點距離水面的高度（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為，結(jié)合選項依次判斷即可.
【詳解】設(shè)點距離水面的高度為（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為，
，
由題意，，，解得,
，則.
當時，，則，
又，則.
綜上，，故D正確；
令，則，
若，得秒，故A正確；
當秒時，米，故B不正確；
當秒時，米，故C正確.
故選：B.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由函數(shù)奇偶性的概念及函數(shù)解析式直接判斷單調(diào)性，即可求解.
【詳解】對A函數(shù)為奇函數(shù).且當時，
單調(diào)遞增；
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上也單調(diào)遞增，在上為增函數(shù)，故A正確；
對B函數(shù)的定義域為函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；
對C函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；
對D為奇函數(shù)，
且均隨的增大而增大，即在上為增函數(shù)，故D正確.
故選：AD
10. 某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁四名醫(yī)生奔赴某市的四個區(qū)參加防疫工作，每名醫(yī)生只能去一個區(qū)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若四個區(qū)都有人去，則共有24種不同的安排方法
B. 若恰有一個區(qū)無人去，則共有144種不同的安排方法
C. 若甲不去 區(qū)，乙不去 區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有18種不同的安排方法
D. 若該醫(yī)院又計劃向這四個區(qū)捐贈18箱防護服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，則共有84種不同的安排方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】全排列可得A正確；先將人員分組為2,1,1，再將三組人員送到三個地方可得B正確；全排中除去甲去 區(qū)，乙去 區(qū)，再加上多減的即可判斷C錯誤；隔板法，先每個區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，再計算后可得D正確.
【詳解】A：若四個區(qū)都有人去，則共有種不同的安排方法，故A正確；
B：若恰有一個區(qū)無人去，則共有種不同的安排方法，故B正確；
C：若甲不去 區(qū)，乙不去 區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有種不同的安排方法，故C錯誤；
D：若該醫(yī)院又計劃向這四個區(qū)捐贈18箱防護服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，先每個區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，則共有種不同的安排方法，故D正確；
故選：ABD.
11. 已知拋物線的準線，直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則以為直徑圓與相交
B. 若，則為坐標原點
C. 過點分別作拋物線的切線，，若，交于點A，則
D. 若，則點到直線的距離大于等于
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，再結(jié)合各個選項的條件，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】由題可得拋物線，設(shè)，，
對于選項A，當時，直線過的焦點，
此時，
又的中點到準線的距離為，
則以為直徑的圓與相切，故選項A錯誤；
對于選項B，當時，直線，
將代入，得，則，
又易知，
所以，故選項B正確；
對于選項C，由題可設(shè)拋物線在點處的切線方程為，
由，消得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以在點處的切線方程為，整理得到，
同理可得拋物線在點處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，故，故選項C正確；
對于選項D，由拋物線的對稱性，可知當軸時，點到直線的距離最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，點到直線的距離為，故選項正確．

故選：BCD.
【點睛】方法點睛：與弦端點相關(guān)問題的解法
解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．
第II卷
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 甲、乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機.已知甲、乙兩人擊中無人機的概率分別為、，且甲、乙射擊互不影響.若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為，那么無人機被擊落的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】對無人機被一人擊中或被兩人擊中進行分類討論，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件
的概率.
【詳解】若無人機被一人擊中，則該無人機被擊落的概率為，
若無人機被兩人都擊中，則該無人機被擊落的概率為.
綜上所述，無人機被擊落的概率為.
故答案為：.
13. 已知，為橢圓的左右焦點，，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則橢圓的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，是關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且知四邊形為矩形，進而得到，，的比例關(guān)系，求出離心率.
【詳解】連接，，，
，為橢圓上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，為的中點，
又為的中點且，四邊形為矩形，
不妨設(shè)，則，
.
故答案為：
14. 歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個數(shù).知，其中，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)
中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)新定義求出，利用等比數(shù)列的求和公式得解.
【詳解】由題意可得，
則，
當時，，
則.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 竹編是某地的地方特色，某地區(qū)相關(guān)部門對該地居民在過去兩年內(nèi)學(xué)習(xí)竹編次數(shù)進行了詳盡統(tǒng)計，然后隨機抽取了80名居民的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，現(xiàn)將整理后的結(jié)果呈現(xiàn)如下表：
（1）若將這兩年學(xué)習(xí)竹編的次數(shù)為3次及3次以上的，稱為學(xué)習(xí)竹編“先鋒”，其余的稱為學(xué)習(xí)竹編“后起之秀”．請完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)習(xí)竹編有關(guān)系；
學(xué)習(xí)竹編次數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
合計
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合計
6
9
12
14
15
14
10
80
性別
學(xué)習(xí)竹編
合計
（2）若將這兩年內(nèi)學(xué)習(xí)竹編6次的居民稱為竹編“愛好者”，為進一步優(yōu)化竹編技術(shù)，在樣本的“愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男性人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，
【答案】（1）據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認為性別因素與學(xué)習(xí)竹編有關(guān)系；
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.8.
【解析】
【分析】（1）完善列聯(lián)表，再計算的觀測值，與臨界值比對作答.
（2）求出的可能值，并求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.
【小問1詳解】
根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：
后起之秀
先鋒
男生
女生
合計
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
學(xué)習(xí)竹編
合計
后起之秀
先鋒
男生
9
31
40
女生
18
22
40
合計
27
53
80
零假設(shè)為：性別與學(xué)習(xí)竹編情況獨立，即性別因素與學(xué)習(xí)竹編無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即該地區(qū)性別因素與學(xué)習(xí)竹編有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．
【小問2詳解】
樣本中“愛好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
則的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
所以所求分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
16. 已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱平面ABCD，點M在棱DP上，且，點N是在棱PC上的動點（不為端點）.
（1）若N棱PC中點，完成：
（i）畫出的重心G（在圖中作出虛線），并指出點G與線段AN的關(guān)系：
（ii）求證：平面AMN；
0
1
2
3
（2）若四邊形ABCD是正方形，且，當點N在何處時，直線PA與平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【答案】（1）答案見解析.
（2）當點N在線段PC靠點P的三等分點處時，直線PA與平面AMN所成角的正弦值最大.
【解析】
【分析】（1）（i）連接PO后確定點G，再通過在中的重心來確定PO線上的比例關(guān)系，進而得出的重心.
（ii）利用（i）中得出的比例關(guān)系與原題中相同的比例關(guān)系構(gòu)建相似三角形即可證明.
（2）先設(shè)出N位置，即PN與PC的關(guān)系，建立空間直角坐標系求出直線PA與平面AMN所成角帶參數(shù)的正弦值，通過線面角正弦值的范圍與分式、根式的最值即可求出答案.
【小問1詳解】
（i）設(shè)AC與BD的交點為O，連接PO與AN交于點G，
點O為AC中點，點N為PC中點，
PO與AN的交點G為的重心，
，
又PO為在BD邊上的中線，
點G也為的重心，即重心點G在線段AN上.
（ii）
證明：連接DG并延長交PB于點H，連接，
點G為的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN內(nèi)，BP不在平面AMN內(nèi)，
所以PB∥平面AMN.
【小問2詳解】
四邊形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP兩兩垂直，
以A為坐標原點，方向為x軸正方形建立空間直角坐標系，如圖所示，
則點，，，，
則，，，
設(shè)則，
，
設(shè)平面AMN的法向量為，
則有，
化簡得：，
取則，，
設(shè)直線PA與平面AMN所成角為，
則，
當時的值最大，
即當點N在線段PC靠點P的三等分點處時，直線PA與平面AMN所成角的正弦值最大，最大值為.
17. 已知在鈍角中，角所對的邊長分別為，，且為正整數(shù).
（1）求邊長；
（2）已知，求.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形的任意兩邊之和大于第三邊，即可求解；
（2）在中，先由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理即可求解；
【小問1詳解】
為鈍角三角形，
又角鈍角，
，
，
三角形的任意兩邊之和大于第三邊，
，即，即，
為正整數(shù)，.
【小問2詳解】
由（1）知：，
，
，
在中，，
在中，，即，解得.
18. 已知雙曲線的左?右焦點分別為，且焦距為4，左頂點為，過右焦點的動直線交雙曲線于兩點，當直線垂直于軸時，.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若動直線與雙曲線的左支交于點，右支交于點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)，求得雙曲線方程；
（2）先表示出，聯(lián)立由韋達定理，找出，又，解得，故而得解.
【小問1詳解】
由題意知，雙曲線的焦距為4，所以，
當直線垂直于軸時，，可得.
把代入雙曲線中得，①，又①，
則聯(lián)立方程①②解得，.
雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
如圖，由雙曲線的性質(zhì)可得：.
設(shè)，
則，
.
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，得，
則恒成立，
，
由于直線與雙曲線交于左?右兩支，則，解得，
又，
且.
令，且，則，
，
的取值范圍為.
19. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點.
（i）求實數(shù)的取值范圍；
（ii）求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，且.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，由點斜式得直線方程并整理即可；
（2）（i）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)分類討論，分和兩類，對還需對導(dǎo)函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，極值點； （ii）在（i）的基礎(chǔ)上，先證明是唯一零點，然后證明：求出，利用是極值點，化簡消去，得的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明，最后由的單調(diào)性得證結(jié)論成立．
【小問1詳解】
當時，，
，即切點為，
故曲線在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
（i）函數(shù)，
①當時，當時，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；
②當時，設(shè)，
則在區(qū)間上恒成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又在區(qū)間上有唯一零點，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，符合題意，
綜上，的取值范圍是.
（ii）由（i）知，當時，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
時，，則，
又在區(qū)間上有唯一零點，
即在區(qū)間上有唯一零點.
，
由①知，
則，
設(shè)，
則，
，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
又.
.
由前面討論知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
.
【點睛】方法點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值點與零點問題，屬于難題．證明，考慮到的來源，因此聯(lián)想用的單調(diào)性，只要證明，這是關(guān)鍵，為此計算，并由是極值點得出與的關(guān)系，從而消去參數(shù)，只剩下一個未知數(shù)，引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出結(jié)論．

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2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷 PDF版

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