1. 下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】B
【分析】利用平面向量基底的定義，逐項判斷即得.
【詳解】對于A，，A不是；
對于B，由，得不共線，B是；
對于C，，向量共線，C不是；
對于D，，向量共線，D不是.
故選：B
2. 已知，，，則（ ）
A. A、B、D三點共線 B. A、B、C三點共線
C. B、C、D三點共線D. A、C、D三點共線
【正確答案】A
【分析】利用向量的加法法則，得到，從而可得結論.
【詳解】，，，
，，與共線，
因為兩向量有一個公共點B，、B、D三點共線，故A正確．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三點不共線，故B不正確；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三點不共線，故C不正確；
因為，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三點不共線，故D不正確；
故選：A.
3. 已知方向相同，且，則等于（ ）
A. 16B. 256C. 8D. 64
【正確答案】A
【分析】根據向量的模的計算公式計算即得.
【詳解】因
,則.
故選：A.
4. 已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據在方向上的投影向量為即可求解.
【詳解】，，
所以在方向上的投影向量為
故選：B.
5. 在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（ ）
A. B. C. 2D.
【正確答案】B
【分析】直接利用正弦定理，結合題中所給的條件，求得結果.
【詳解】根據正弦定理可得，
即，解得，
故選：B.
該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有利用正弦定理解三角形，屬于基礎題目.
6. 在中，為邊上的中線，，則（ ）
A. B.
C D.
【正確答案】A
【分析】根據圖形的幾何性質，以及向量加減法、數乘運算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因為，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
7. 如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】方法1，將作為與夾角，利用向量知識結合題目數據可得答案；
方法2，如圖建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積坐標表示完成運算；
方法3，利用余弦定理計算可得答案.
【詳解】法一：分別是的中點，.
與的夾角等于，
，
則；
法二：以為軸，過點作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，則
，
則
；
法三：在中，由余弦定理，
又因為P為的重心，則，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，則
.
故選：D.
8. 在中，內角A，，的對邊分別為，，，已知，則（ ）
A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046
【正確答案】A
【分析】根據同角的三角函數關系結合兩角和的正弦公式化簡可得，利用正余弦定理角化邊可得，即可得答案.
【詳解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故選：A.
二、多選題
9. 已知向量和實數，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則或
B. 若且，則當時，一定有與共線
C. 若
D. 若且，則
【正確答案】BC
【分析】根據平面向量的共線定理、向量數乘和向量數量積的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于A選項：若，則或或，A錯誤；
對于B選項：根據共線定理，若且，則當且僅當有唯一實數，使得時，一定有與共線，B正確；
對于C選項：當與均不是零向量時，由，可得，即，
故與的夾角為或，可得；
當與至少有一個是零向量時，顯然；
綜上所述：，C正確；
對于D選項：∵且，則，
∴，但不能確定，D錯誤．
故選：BC．
10. 已知函數部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）.
A.
B. 的圖象關于點對稱
C. 在單調遞增
D. 將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象
【正確答案】ACD
【分析】先根據圖象求得的解析式，然后根據對稱性、單調性、圖象變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】根據圖象可知，即，
所以，解得，所以A選項正確，
此時，
將代入得，即，
所以，解得，
又，所以，，
B選項，，所以B選項錯誤.
C選項，由得，，
是正弦函數的單調遞增區(qū)間，所以在單調遞增，C選項正確.
D選項，將函數的圖象向右平移個單位得到
，
所以D選項正確.
故選：ACD
11. 若的內角的對邊分別是，外接圓的半徑為，若，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】對于A項，由邊化角計算即可，對于B項，由切化弦計算即可，對于C項，及計算即可，對于D項，由與可判斷范圍，進而可得.
【詳解】對于A項，，則，即，故A項正確；
對于B項，，則，故B項不成立；
對于C項，因為，
所以，故C項正確；
對于D項，，
由，可知均為銳角，所以，
又，所以，
所以，
所以，故D項正確.
故選：ABD.
三、填空題
12. 已知向量，，若，則________.
【正確答案】0
【分析】根據向量垂直列方程，化簡求得.
【詳解】，由于，
所以.
故0
13. 在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，若，且，則三角形的形狀為________.
【正確答案】等腰三角形
【分析】先根據余弦定理和三角形面積公式對進行化簡，得出角的值，再根據向量條件判斷三角形的形狀.
【詳解】由余弦定理，移項可得，
由三角形的面積公式得.
將上述兩個公式代入可得：
，所以.
所以，又因為，所以.
表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量.
以這兩個單位向量為鄰邊作平行四邊形，
則其對角線平分（菱形的對角線平分一組對角），
所以表示的角平分線方向的向量.
因為，所以的角平分線垂直于，
根據等腰三角形三線合一的性質可知.
所以是等腰三角形，又因為，所以，.
綜上，三角形的形狀為等腰三角形.
故等腰三角形
14. 已知是面積為的等邊三角形，且 其中實數滿足 ，則的最小值為__________.
【正確答案】
【分析】延長至，使得，化簡所給條件可知三點共線，取線段的中點，連接，利用向量的加法減法及數量積運算化簡，轉化為求的最小值.
【詳解】依題意，解得，延長至，使得，如圖，
因為，
所以點在直線上，取線段的中點，連接，
則，
顯然當時，有最小值，
又易知，，所以的最小值為，所以，
故的最小值為，
故．
四、解答題
15. 已知，，且與的夾角為120°，求：
（1）；
（2）若向量與平行，求實數的值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用平方的方法來求得正確答案.
（2）根據向量平行列方程來求得.
【小問1詳解】
，
所以.
【小問2詳解】
由于向量與平行，
所以存在實數，使得，
所以，解得.
16. 在中，角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求的面積.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理化簡得到，求得，即可求解；
（2）由余弦定理列出方程求得，結合三角形的面積公式，即可求解.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理，可得，
即，
化簡得，
因為，可得，所以，
因為，所以.
【小問2詳解】
因為且，
由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
故的面積為.
17. 某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距海里.現有一艘輪船在點發(fā)出求救信號，經探測得知點位于點北偏東，點北偏西，這時，位于點南偏西且與點相距海里的點有一救援船，其航行速速為海里/小時.
（1）求點到點的距離；
（2）若命令處的救援船立即前往點營救，求該救援船到達點需要的時間.
【正確答案】（1）
（2）2小時
【分析】（1）中利用正弦定理，求出；
（2）在中，利用余弦定理求出，根據速度求出時間．
【小問1詳解】
由題意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
【小問2詳解】
在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），則需要的時間（小時）．
答：救援船到達點需要2小時．
18. 在平面四邊形中，，且.
（1）中，設角、、的對邊分別為、、，若.
①當時，求的值；
②當時，求ac的最大值.
（2）若，當變化時，求長度的最大值.
【正確答案】（1）①16；②
（2）
【分析】（1）①根據正弦定理結合三角恒等變換與化簡即可；
②作于，根據幾何關系可得，再根據基本不等式求解即可；
（2）設，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根據余弦定理可得，進而可得長度的最大值.
【小問1詳解】
①當時，由正弦定理可得，故
.
②當時，因為，故均為銳角，作于.
由圖可得，，由可得
，故，則
.
.
故
，當且僅當，
即時取等號，故的最大值為
【小問2詳解】
設，由余弦定理，即.
由正弦定理可得.
則，
.
故當時，取最大值，即最大值為.
19. 定義函數的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數”為，其中為坐標原點．
（1）若向量的“伴隨函數”為，求在的值域；
（2）若函數的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內切于正（頂點恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；
（3）在中，角的對邊分別為，若函數的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）根據“伴隨函數”定義可得，可得值域；
（2）利用向量的坐標運算即可求得；
（3）由余弦定理并利用二次函數性質即可得的取值范圍.
【小問1詳解】
函數的“源向量”為，
所以，，
則，則當時，
則當時，，
所以函數的值域為
【小問2詳解】
因為，則，則，
又，所以），
且，從而，
，
則
；
因此可得為定值.
【小問3詳解】
如下圖所示：
函數的“源向量”為，
則，則
則
則又，
即，
所以，
因為，即，當且僅當時取等號，
又因為當頂點無限接近頂點，邊無限接近0，即無限接近0，
綜上所述，
令，則
從而，其中，
所以，
即取值范圍．
關鍵點點睛：本題關鍵在于理解“源向量”和“伴隨函數”的定義，并能寫出“源向量”的伴隨函數以及某函數的“源向量”，再根據三角函數性質、平面向量運算法則求得結果.

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