1. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】A
【分析】根據(jù)零向量的定義，可判斷A項(xiàng)正確；根據(jù)共線向量和相等向量的定義，可判斷B，C，D項(xiàng)均錯(cuò).
【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；
時(shí)，只說明向的長度相等，無法確定方向，
所以B，C均錯(cuò)；
時(shí)，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，
不能確定相等，所以D錯(cuò).
故選：A.
本題考查有關(guān)向量的基本概念的辨析，屬于基礎(chǔ)題.
2. 設(shè)，是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量不能作為一組基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正確答案】B
【分析】根據(jù)基底的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，不共線，
A選項(xiàng)，不存在，使得，
所以和可以作為基底.
B選項(xiàng)，由，
得，解得，所以和共線，不能作基底.
C選項(xiàng)，由，
得，方程組無解，所以和可以作為基底.
D選項(xiàng)，不存在，，
所以和可以作為基底.
故選：B
3. 已知，則和同向的單位向量是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】和同向的單位向量是.
【詳解】因?yàn)?，所以和同向的單位向量?
故選：A.
4. 在中，已知，則等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【正確答案】C
【分析】
根據(jù)余弦定理化角為邊即可求解.
【詳解】由余弦定理可得：
故選：C
本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.
5. 設(shè)，向量且，則（ ）
A. B. C. D. 10
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直、平行列方程，求得，進(jìn)而求得正確答案.
【詳解】由于，
所以，解得，
所以，
所以.
故選：C
6. 在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，則（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】D
【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.
【詳解】由余弦定理可知，
即，
整理得，解得或（舍去）.
故選：D
7. 已知向量且向量方向相反，則可以是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用向量相反的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄壳蚁蛄糠较蛳喾矗?br>當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，解得，且，
所以，，且，
經(jīng)檢驗(yàn)只有滿足題意，
故選：D
8. 已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由已知可得，結(jié)合已知計(jì)算可求得，進(jìn)而可求夾角.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)?，所?
所以與的夾角為.
故選：A.
9. 如圖，在一條河上有兩座橋和，已知，又測得，則河寬為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用等面積法來求得.
【詳解】設(shè)，
根據(jù)海倫公式有,
解得.
故選：C
10. 在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得
，
所以，故選A.
該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.
11. 已知向量不共線，，則（ ）
A. 三點(diǎn)共線B. 三點(diǎn)共線
C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量定理逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】對(duì)于A，令，即，則有，無解，
因此不存在t，使得，即 三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則，又直線MN，NQ有公共點(diǎn)N，
因此 ，，三點(diǎn)共線，B正確；
對(duì)于C，，令，即，
則有，無解，因此不存在m，使得，即三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，即，則有，無解，
因此不存在n，使得，即三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.
故選：B
12. 設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，，則（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【正確答案】C
【分析】由可得，，結(jié)合即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)椋?br>所以,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以,
故選C.
本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
13. 若點(diǎn)E是的中線上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則的最小值為（ ）
A. 4B. 8C. 6D. 12
【正確答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則可得，再由，，三點(diǎn)共線，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．
【詳解】解：因?yàn)闉槿切蔚闹芯€，所以，
所以，
又，，三點(diǎn)共線，所以且，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為8．
故選：B．
14. 已知在中，，則的形狀為（ ）
A. 等邊三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【正確答案】D
【分析】利用正弦定理與二倍角公式化簡，再根據(jù)三角形的內(nèi)角范圍分析即可
【詳解】由正弦定理有，因?yàn)?，故，故，即，又，故或，即或，故的形狀為等腰三角形或直角三角?br>故選：D
15. 在中， ，，，點(diǎn)滿足 ，則（ ）
A. 0B. 2C. D. 4
【正確答案】A
【分析】用，，表示和，最后代入進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可。
【詳解】由題可得：，
，
所以
由于，，，
則，，
所以，
故選：A
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以三角形為背景，把平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算巧妙的結(jié)合在一起，用基底，，表示和是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.
16. 已知在上的投影向量為，則的值為__________.
【正確答案】
【分析】利用投影向量的定義及平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
故
17. 已知的內(nèi)角為所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且．則角的大小為_______.
【正確答案】
【分析】由正弦定理得，由三角形內(nèi)角的關(guān)系得.
詳解】由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)?，所以，所以?br>故答案為.
18. 設(shè)向量，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【正確答案】且
【詳解】因?yàn)榈膴A角為銳角，所以解得，又當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以且.
19. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，b=2，A=60°，則sin B=___________，c=___________．
【正確答案】 ①. ②. 3
【詳解】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c.
詳解：由正弦定理得,所以
由余弦定理得（負(fù)值舍去）.
點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.
20. 在中，若，則角等于_____．
【正確答案】
【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可求角.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
由余弦定理可得：，
又為三角形內(nèi)角，所以.
故
21. 如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為_______.
【正確答案】
【分析】本題首先可以設(shè)向量與的夾角為，然后根據(jù)以及向量的運(yùn)算法則得出，再然后建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則，，最后根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最值.
【詳解】因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角和向量與的夾角相等，
設(shè)向量與的夾角為，
因?yàn)?，所以?br>即，
整理得，解得，，
如圖，過點(diǎn)作垂線，垂足為，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
易知，，，，
則，，，
，，，
，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，
故答案為.
方法點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積的求法，可通過建立直角坐標(biāo)系的方式進(jìn)行求解，考查向量的運(yùn)算法則，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題.
三、解答題：本題共4小題，共45分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
22. 已知，
（1）求；
（2）設(shè)與的夾角為，求的值；
（3）若向量與互相垂直，求k的值.
【正確答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由題意可得，進(jìn)而求出它的模即可；
(2)根據(jù)公式計(jì)算即可；
(3)由可得，結(jié)合、計(jì)算即可.
【詳解】解：；
故
；
因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以，即，
因?yàn)?，?br>所以
23. 已知中是直角，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).
（1）設(shè)，，當(dāng)，請(qǐng)用，來表示，.
（2）當(dāng)時(shí)，求證.
【正確答案】（1），
（2）證明見解析
【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算求解；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為，軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．
【小問1詳解】
∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵.
【小問2詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為，軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，另設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
又∵，∴，∴，，
所以，，
所以，
∴.
24. 在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知, ,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面積為,求的周長
【正確答案】(1)；(2)
【分析】
（1）由向量垂直關(guān)系得到數(shù)量積為零的等式，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、誘導(dǎo)公式可化簡得到，進(jìn)而求得；
（2）根據(jù)三角形面積公式構(gòu)造方程求得，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到所求周長.
【詳解】（1）
由正弦定理得：
即：



（2）
由余弦定理得：
的周長
本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、利用兩角和差公式和誘導(dǎo)公式化簡、平面向量數(shù)量積、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于?？碱}型.
25. 已知在中，的對(duì)邊分別為，滿足．
（1）若，求的面積；
（2）已知向量，且，求的值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理對(duì)等式化簡得到角，由向量的數(shù)量積公式求得，再由三角形面積公式求得結(jié)果；
（2）利用向量平行建立等式求得的正弦值，利用和差角公式即可求得的值.
【小問1詳解】
，
，
，
，
，
．
，．
，．
．
【小問2詳解】
，且，，
，
，
．

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