1. 若向量，，則=（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)向量，得到其相反向量，然后與利用加法求解.
【詳解】因為向量，
所以向量，
又
所以，
故選：A.
本題主要考查平面向量的坐標運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.
2. 設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的條件是（ ）
A B. C. D. 且
【正確答案】C
【詳解】若使成立，則選項中只有C能保證，故選C
[點評]本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.
3. 設，向量，，，且，，則 ＝
A. B. C. D. 10
【正確答案】B
【詳解】試題分析：∵，∴，即，∵，∴，即，
∴，∴，∴．
考點：向量的垂直、平行的充要條件，向量的模．
4. 函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則的值分別是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)周期即可求解，代入最高點即可求解.
【詳解】由圖象知函數(shù)周期 ，
， 把?代入解析式， 得， 即?.
?
又?
故選：A
5. 是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【詳解】試題分析：設，，∴，，
，∴.
【考點】向量數(shù)量積
【名師點睛】研究向量數(shù)量積問題，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質(zhì)相同，坐標法更易理解和化簡. 平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來．
6. 點在所在的平面內(nèi)，以下說法錯誤的是（ ）
A. 若，則點為的重心
B. 若，則點為的外心
C. 若，則點為的內(nèi)心
D. 若，則點為的垂心
【正確答案】C
【分析】利用向量的線性運算即可判斷A；根據(jù)模長相等結合外心的性質(zhì)即可判斷B，利用向量的數(shù)量積和外心的性質(zhì)判斷C，利用和向量的線性運算和垂心的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A：設邊，，的中點分別為，∴，∵，∴，∴，
∴三點共線，即點在中線上，同理可得點在中線上，
∴點是的重心，故A正確；

對于B：若，∴點為的外心，故B正確；
對于C：設邊，，的中點分別為，
則，∴，∴為線段的垂直平分線，
同理可得分別為線段的垂直平分線，
∴為三角形三條邊垂直平分線的交點，∴點為的外心，故C錯誤；
對于D：由已知可得，
即，∴點在邊邊上的高上，
同理可得點在邊邊上的高上，點在邊邊上的高上，
∴點是的垂心，故D正確.
故選：C
7. 在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉后，得向量則點的坐標是
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【詳解】試題分析：設，再設，則，由題意可得，從而可得，故答案選A.
考點：平面向量.
8. 已知向量，且．若，則的最小值為（ ）．
A. B. 26C. D. 24
【正確答案】B
【詳解】作正方形，連接對角線，令、分別為對角線、邊上一點，使得，，，.
故.
二、多選題（每題均不止一個正確選項，請把選好的選項填涂到答題卡相應位置，每小題6分）
9. 如圖，正方形的邊長為1，延長至，使，連接、，則下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)給定條件，取定平面的一個基底，再利用向量運算逐項求解判斷.
【詳解】在邊長為1的正方形中，令，，
對于A，，A正確；
對于BD，，，
，，
因此，B D正確；
對于C，，，C錯誤；
故選：ABD
10. 以下各組向量中，可以作為平面向量的一組基底的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【正確答案】BC
【分析】利用和差角的正余弦公式、二倍角的正弦公式，結合基底的意義逐項判斷.
【詳解】對于A，，，A不是；
對于B，，不共線，B是；
對于C，，不共線，C；
對于D，，，D不是.
故選：BC
11. 已知，則下列結論正確的是（ ）
A. 的圖象關于直線對稱
B. 的圖象可由向左平移得到
C. 若的定義域為，則值域為
D. 集合，若，且，則
【正確答案】ACD
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再結合對稱性、函數(shù)圖象變換、最值及零點問題依次求解判斷.
【詳解】依題意，，
對于A，，的圖象關于直線對稱，A正確；
對于B，，，B錯誤；
對于C，由，得，，C正確；
對于D，由，得，則或，
因此，D正確.
故選：ACD
三、填空題：（每小題5分，請把答案填寫在答題卡相應的位置）
12. 已知點，，則與向量同方向的單位向量的坐標是__．
【正確答案】
【分析】與向量同向的單位向量為，根據(jù)坐標形式求得向量及模長即可求得.
【詳解】點，，
，可得，
因此，與向量同方向單位向量為：
故
13. 已知向量夾角為，且，則__________．
【正確答案】
【詳解】試題分析：的夾角，，，，.
考點：向量的運算.
【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙? 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).
14. 函數(shù)的所有零點之和等于__________.
【正確答案】60
【詳解】函數(shù) 的零點，即為方程在區(qū)間上的解.等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，在區(qū)間上的交點的橫坐標.因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，均關于點（5，0）對稱，且在區(qū)間上共有12個交點（6組對稱點），每組對稱點的橫坐標之和為10，即這12個點橫坐標之和為60.所以函數(shù) 的所有零點之和等于60.
四、解答題（共5題，請把詳細計算和推理過程書寫在答題卡相應的位置，超出答題框部分無效）.
15. 在平面直角坐標系中，已知，，.
（1）若、、三點共線，求實數(shù)的值；
（2）若，求的面積.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用向量的坐標表示及共線向量的坐標表示，列式計算即得.
（2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐標表示列式求解.
【小問1詳解】
依題意，，由、、三點共線，得，
則，所以.
【小問2詳解】
由，得，則，解得，
則
所以的面積為.
16. 已知向量，函數(shù)的最大值為.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.
【正確答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【詳解】：（Ⅰ）
因為的最大值為，所以
（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，
得到
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，
得到
因所以
的最小值為最大值為
所以在上的值域為
【考點定位】本題通過向量運算形成三角函數(shù)問題，考查了向量的數(shù)量積運算、三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)的值域等主干知識，難度較小
17. 從低壓變壓器輸出的電路中，輸送的是交流電，其電壓變化規(guī)律符合三角函數(shù)，原理圖如圖（1）所示，線路為零線，線路、、均為火線.如圖（2）則是變壓器的簡單模型，.其中，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：，以此類推，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：交流電的頻率一般是赫茲，即每秒變化次，其中頻率是周期的倒數(shù).
（1）求的值；
（2）之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長；同理，之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長；之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長，其中向量、、的模長均為它們對應電壓三角函數(shù)的最大值，用戶張先生連接的家庭用電連接的是，用戶李先生的工廠若連接的是，其中之間的電壓等價于之間的電壓，其大小為向量的模長.請分別求出張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值.
【正確答案】（1）
（2）張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值分別為、
【分析】（1）求出交流電的最小正周期，結合正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值；
（2）由題意可得出張先生家庭電壓的最大值，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求出的值，即可得出李先生工廠電壓的最大值.
【小問1詳解】
由題意可知，交流電的最小正周期為，
則.
【小問2詳解】
由題意可知，張先生家庭電壓的最大值為，
且，，
所以，
.
故李先生工廠電壓的最大值為.
18. 在中，為邊的中點，為線段的中點.若，，設，.
（1）把和分別用和表示；
（2）求的最小值.
【正確答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）利用向量的線性運算，用，表示；
（2）利用數(shù)量積運算求出，再利用基本不等式求出它取最小值.
【小問1詳解】
在中，由是邊的中點，得，
由是線段的中點，得
【小問2詳解】
由，，得，解得，
因此
，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
19. 已知函數(shù)，其中，，且.
(1)若對任意，都有，求的取值范圍.
(2)若，且存在，使，求的取值范圍.
【正確答案】（1）（2）
【詳解】（1）.
令.則.
由題設知
解得的取值范圍為.
（2）因為，所以，.故.
從而，.由題設知.
解得.故的取值范圍是.

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