1. 如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】依題意在平行四邊形中，，
又是的中點(diǎn)，則，
又與交于點(diǎn)，
所以，則，
所以，
又，
所以
故選：A.
2. 在中，，，，則為（ ）
A. B. C. 或D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件利用正弦定理并結(jié)合大邊對(duì)大角求解即得.
【詳解】在中，因，，，則由正弦定理得：，
因，則，于是得，
所以為.
故選：B
3. G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若，則角（ ）
A. 90°B. 60°
C. 45°D. 30°
【正確答案】D
【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得a∶b∶c＝1∶1∶1，由此應(yīng)用余弦定理可求得．
【詳解】因?yàn)镚是的重心，所以有.
又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1，
設(shè)c＝，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，csA＝，所以A＝30°，
故選：D.
4. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（ ）
A. 3B.
C. D. 3
【正確答案】C
【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)合余弦定理可得，再由三角形的面積公式求解即可；
【詳解】因，，且，
所以，化為.
所以，解得.
所以.
故選：C
5. 已知滿足，，且向量在向量上的投影向量為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】C
【分析】令，過作于，利用投影向量的意義求出，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，由給定向量等式確定點(diǎn)的位置即可求解.
【詳解】在中，令，過作于，，
由向量在向量上的投影向量為，得，
解得，則，由，得
，解得，由，
得，即，因此，
在中，.
故選：C

6. 已知非零向量與滿足，且，，點(diǎn)是的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. －1B. C. D.
【正確答案】C
【分析】分析題目條件可得，取的中點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】∵分別表示與方向的單位向量，
∴以這兩個(gè)單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，故所在直線為的平分線所在直線，
∵，∴的平分線與垂直，故.
取的中點(diǎn)，連接，則，
由題意得，，
∴.

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，故.
設(shè)，則，∴，
∴，，
∴，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：C.
7. 在中，，，最短邊的長(zhǎng)為，則最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D. 5
【正確答案】D
【分析】易得，則，再利用兩角和的正切公式求出，即可得出最長(zhǎng)邊和最短邊，再利用正弦定理即可得解.
【詳解】由，，
所以，所以，
又，
所以，所以，所以，
故，為最長(zhǎng)的邊，
由，得，
則，
所以（舍去），
由正弦定理得，所以.
即最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為.
故選：D.
8. 某同學(xué)用3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊△，已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】設(shè)，在中，分別利用正弦定理和余弦定理，求得邊長(zhǎng)AC，再利用三角形面積公式求解.
【詳解】解：在中，，
又，則，設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，又，解得，則，
所以，
故選：B
二、多選題（每題6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分，全部選對(duì)得6分，3題共18分）
9. 在中，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，且結(jié)合BC的長(zhǎng)解三角形，有兩解，則BC長(zhǎng)的取值范圍是
【正確答案】AB
【分析】對(duì)A，根據(jù)及角A、B的范圍，可判斷A的正誤；對(duì)B，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，可判斷B的正誤；對(duì)C，根據(jù)條件及余弦定理，可判斷C的正誤；對(duì)D，利用三角形個(gè)數(shù)的情況，可判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，且?br>所以，所以是等腰三角形，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，由，則，可得，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，由，以及余弦定理可得，
又，所以，但不知角的值，
不一定為銳角三角形，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，若三角形有兩解，則，
所以長(zhǎng)的取值范圍是，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABC
【分析】利用歐拉線的幾何性質(zhì)，再結(jié)合平面幾何中的平行性質(zhì)，以及向量的線性運(yùn)算，即可作出判斷.
【詳解】
對(duì)于A，由是的中點(diǎn)，又由是外心，是垂心，可知:
所以，根據(jù)平行線分線段成比例可知：，
又由歐拉線的性質(zhì)可知：，所以，即，故A正確；
對(duì)于B，由于是重心，所以，
而是的中點(diǎn)，所以，代入上式可得：，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)槭峭庑?，所以，故C正確；
對(duì)于D，由向量的加法可知：，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11. 已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 面積最大值為B.
C. 周長(zhǎng)的最大值為6D. 的取值范圍為
【正確答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項(xiàng)，利用余弦定理計(jì)算可判斷；C選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解周長(zhǎng)的最大值；D選項(xiàng)，用進(jìn)行變換得到，結(jié)合A的取值范圍得到的取值范圍.
【詳解】解：對(duì)于A，由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，故，故A正確；
對(duì)于B，，故B不正確；
對(duì)于C，由余弦定理得：，解得：，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)的最大值為6，故C正確；
對(duì)于D，，
因?yàn)?，所以?br>所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題（每題5分，3題共15分）
12. 設(shè)是單位向量，且，則的最小值為__________．
【正確答案】
【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算將化為關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.
【詳解】，且均為單位向量，
∴，
||=1，,
∴
設(shè)與的夾角為θ，
則.
故的最小值為
故
13. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的面積為_____．
【正確答案】
【分析】由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化得，結(jié)合余弦定理可得，利用三角形面積公式可得結(jié)果.
【詳解】∵，∴由正弦定理得，
∴，即，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，∴，
由余弦定理得，得，
∴的面積．
故．
14. 作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，已知，，的夾角為，則與夾角的大小為______.
【正確答案】
【分析】結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的計(jì)算公式求解，由，可得，從而利用數(shù)量積的定義列式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，所以，則，
所以，
設(shè)夾角的大小為，由得，
所以，所以，又，所以，
即與夾角的大小為.
故
四、解答題（3題共47分）
15. 已知，，與夾角為.
（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求的值；
（3）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用向量共線定理得到方程組，解出即可；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可；
（3）根據(jù)向量夾角為銳角，則向量數(shù)量積大于0，并去掉共線同方向的情況即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榕c共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
所以，解得，所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，與的夾角為，
所以，
所以，
則；
【小問3詳解】
向量與的夾角是銳角，
可得，且與不同向共線，
即為，
即有，解得，
由與共線，可得，
解得，當(dāng)時(shí)，兩者同向共線，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知分別為的角所對(duì)的邊，且滿足，．
（1）求；
（2）若外接圓的半徑為，求.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；
（2）先利用三角形內(nèi)角和定理和兩角差的正弦公式求得的值，再根據(jù)正弦定理求解即可.
【小問1詳解】
，由正弦定理可得，
，.
，.
【小問2詳解】
由（1）知，.
，，.
由正弦定理可知，.
17. 如圖，在中，為 邊上一點(diǎn)，且.

（1）求的長(zhǎng)及的值；
（2）若，求周長(zhǎng)；
（3）若，求中邊上的高.
【正確答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和得正弦公式即可求出；
（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；
（3）先根據(jù)三角形的面積公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，即，
在中，由（1）結(jié)合正弦定理得，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以的周長(zhǎng)為；
【小問3詳解】
，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
在中，由余弦定理得
，
解得（舍去），
所以中邊上的高為.
方法點(diǎn)睛：已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法：
先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解思路有兩種：
（1）利用余弦定理求出其它角；
（2）利用正弦定理（已知兩邊和其中一邊的對(duì)角）求解.
若用正弦定理求解，需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這個(gè)問題（在上，余弦值所對(duì)的角是唯一的），故用余弦定理較好.

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